正交加筋圓柱殼-球殼組合結構自由振動分析

正交加筋圓柱殼-球殼組合結構自由振動分析

李正良，胡浩，于偉

(重慶大學土木工程學院，重慶400045)

摘要：研究不同邊界條件下光滑、正交加筋圓柱殼-球殼組合結構的自由振動。通過對圓柱殼與球殼連接處簡化處理，視球殼為自由約束，圓柱殼為簡支約束，據Flügge薄殼理論利用Rayleigh-Ritz法求得結構頻率，與有限元軟件ANSYS結果比較，驗證該方法的適用性及有效性；分析球殼扁率及組合殼體長徑比對頻率影響。結果表明，球心半角Φ增大結構自振頻率降低；長徑比L/Rc增大球心半角Φ對組合結構頻率影響逐漸減弱，結構自振頻率逐漸降低，且降幅減小。

關鍵詞：加筋圓柱殼-球殼組合結構；Flügge理論；Rayleigh-Ritz法；自由振動

中圖分類號:TB123文獻標志碼：A

Free vibration of joined and orthogonally stiffened cylindrical-spherical shells

LIZheng-liang,HUHao,YUWei(College of Civil Engineering, Chongqing University, Chongqing 400045, China)

Abstract:The free vibration of a joined, smooth and orthogonally stiffened cylindrical-spherical shell under various boundary conditions was studied.Based on the simplification of the joined part, the spherical shell is of free boundary condition and the cylindrical shell is of simply supported boundary condition. The Rayleigh-Ritz method was applied to solve the natural frequencies of the structure according to the Flügge’s thin shell theory. The natural frequencies were calculated and compared with those by the finite element software ANSYS to confirm the applicability and validity of the simplification. The effects of the shallowness of the spherical shell and the length-to-radius ratio of the joined shell on the free vibrational behavior of the joined structure were investigated. The results indicate that as the semi-angle Φ of the sphere increases, the natural frequencies decrease. As the length-to-radius ratio L/Rc increases, the influence of the semi-angle Φ of the sphere on the natural frequencies decreases, the natural frequencies decrease gradually and their reducing magnitude descends.

Key words:stiffened and joined cylindrical-spherical shell; Flügge’s theory; Rayleigh-Ritz method; free vibration

組合殼體結構廣泛用于航天器、導彈、壓力容器、潛艇及建筑等結構中。雖對圓柱殼[1-4]、加筋圓柱殼[5-8]及球殼[9-11]的振動特性已有諸多研究，但對組合殼體結構分析較少，尤其對加筋組合殼體的研究分析更少。

Saunders[12]用Rayleigh-Ritz法獲得圓錐殼-球殼組合結構的自振頻率，與試驗結果對比表明吻合較好。Galletly等[13]用有限差分及有限元等數值方法研究一端固定，一端有不同封蓋(如圓錐殼、半球殼、橢圓殼等)圓柱殼組合結構的自振頻率。Yim等[14]研究一端固定一端自由且在軸向任意位置帶圓板的圓柱殼自振特性。Lee等[15]通過簡化圓柱殼-半球殼組合結構，在半球殼與圓柱殼連接處視半球殼為自由約束，圓柱殼為簡支約束，據Flügge薄殼理論用Rayleigh-Ritz法獲得不同邊界條件下圓柱殼-半球殼組合結構的頻率方程，將計算結果與試驗及有限元分析對比表明，結果吻合較好。Yusefzad等[16]進一步分析兩端自由約束半球殼-圓柱殼-半球殼預應力組合殼體的自振特性，與試驗及有限元結果對比表明吻合較好。Qu等[17]用改進的變分法研究不同邊界條件下帶環向加勁肋的圓錐殼-圓柱殼-半球殼組合殼體自振特性，分析加勁肋分布及尺寸對結構自振頻率影響。Kouchakzadeh等[18]用冪級數位移形式、據Donnell扁殼理論用Hamilton原理推導出正交鋪設層合圓錐殼組合殼體的動力方程及連續性條件，分析圓錐半頂角、子午線長度及殼體厚度對組合結構自振頻率影響。

本文在已有研究成果基礎上，分別計算不同邊界條件下、不同L/Rc值及不同扁率時光滑、正交加筋圓柱殼-球殼組合結構自振頻率；分析L/Rc及扁率對兩種組合結構自振頻率影響，并與有限元ANSYS結果對比，證明該簡化方法的有效性及適用范圍。

1理論分析

本文討論的加筋圓柱殼-球殼組合結構見圖1。其中L為圓柱殼長；Rc為半徑；h為厚度。Rp為球殼曲率半徑；Φ為球心半角；t為厚度；ρ為材料密度；ν為泊松比；E為彈性模量；G為剪切模量；hs，hr分別為縱向、環向加勁肋高度；寬度為br，bs。

球殼本身自由振動中彎曲應變能占主要部分，薄膜應變能占比較小，球殼主要發生橫向振動[20]。設球殼對組合結構頻率影響較小且在圓柱殼與球殼連接處，球殼對圓柱殼約束較強，對光滑圓柱殼-球殼組合結構及正交加筋圓柱殼-球殼組合結構在球殼與圓柱殼連接處簡化處理，視球殼為自由約束，圓柱殼為簡支約束，分別求得二者動、勢能，利用Rayleigh-Ritz法求解該組合結構在固定-自由及簡支-自由邊界條件下的自振頻率，并與有限元結果對比，證明簡化方法的合理性及有效性。

據Flügge薄殼理論，應變位移關系[19]為

(1)

圓柱殼應變能為

(2)

圓柱殼動能為

(3)

任意邊界條件下圓柱殼振動位移函數設為

(4)

式中：A，B，C為振幅；m，n為軸向、周向波數；ω為固有圓頻率；uc，vc，wc分別為軸向、環向、徑向位移；φm(x)為特征梁函數，見文獻[15]。

縱橫向加勁肋、質心位移分量為

(5)

縱向加勁肋軸向應變為

(6)

環向加勁肋周向應變為

(7)

縱向加勁肋應變能為

(8)

環向加勁肋應變能為

(9)

式中：Ns，Nr，Ask，Ark，GJsk，GJrk分別為縱向、環向加勁肋數量、第k根加勁肋截面積及扭轉剛度。

縱向加勁肋動能為

(10)

環向加勁肋動能為

(11)

球殼殼體中面曲率為

(12)

據無薄膜力理論，球殼應變能為

(13)

球殼動能為

(14)

自由邊界條件下球殼位移分量設為

(15)

式中：D為振幅；up，vp，wp分別為軸向、環向、徑向位移。

能量函數為

Π=Uc,max-Tc,max+Us,max-Ts,max+

Ur,max-Tr,max+Up,max-Tp,max

(16)

式中：Umax，Tmax分別為結構最大應變能、最大動能。

利用Rayleigh-Ritz法，取函數Π關于參數A、B、C、D的極值，得聯立方程為

(17)

由式(17)可導出振動特征方程，用于確定加筋組合殼體結構的固有頻率及模態。

(18)

式中：aij取決于結構參數及兩端邊界條件。

由矩陣對應行列式為零可得頻率方程。

2數值算例及有限元分析

2.1ANSYS分析模型建立

結構參數為：E=210 GPa，ρ=7 850 kg/m3，Rc=175 mm，t=h=2.2 mm，hs=hr=6 mm，br=bs=3 mm，Ns=20，Nr=15，ν=0.3。在ANSYS有限元模型中，加勁肋采用Beam188單元考慮其拉壓、彎曲及扭轉；模型中球殼及圓柱殼為彈性薄殼，不計入剪切變形，故采用Shell63單元。光滑組合結構有限元模型共3 528個單元，3 856個節點；正交加筋組合結構有限元模型共9 972個單元，13 563個節點。三維ANSYS有限元模型見圖2。

圖2　三維有限元模型 Fig.2 ANSYS model of 3D

2.2球殼扁率對組合殼體頻率影響及簡化方法適用范圍

所求簡支-自由邊界條件下不同L/Rc值、不同球心半角的光滑圓柱殼-球殼組合結構自振頻率見圖3。其中Ritz為由式(18)所得結構自振頻率，FEM為ANSYS有限元分析所得結構自振頻率；Φ為球心半角，H/Rc=(1-cosΦ)/sinΦ為扁率，m、n見式(4)。Φ=0°及90°分別表示圓柱殼頂部為圓板(H/Rc=0)及半球殼(H/Rc=1)。由圖3看出，球心半角Φ=0°～60°時，除n=2、3對應的頻率值隨Φ變化有較大波動外，其它n值對應的頻率變化幅度均較小。總體看來，組合結構各階頻率值隨球心半角Φ增大而減小，主要因Φ增大頂部球殼剛度降低，球殼對圓柱殼約束減弱。

圖4為在簡支-自由邊界條件下，簡化方法與有限元分析所得頻率值進行誤差分析比較結果。由圖4(b)看出，m=2時簡化方法所得各階頻率與有限元分析頻率值相差較大，均在10%以上，此時L/Rc較小，球殼相對圓柱殼剛度較小，連接處球殼對圓柱殼約束減弱，導致簡化方法誤差較大。Φ=0°～60°，L/Rc≥1.0時，除圖4(c)中n=2、3及圖4(d)中n=2對應的頻率值誤差曲線，各階頻率值誤差均在-5%～10%之間，為實際土木工程允許范圍，表明簡化方法具有足夠精確性。而隨Φ增大誤差絕對值|Error|逐漸上升，尤其Φ= 90°時誤差最大，表明半球殼對圓柱殼的約束最弱，此時簡化方法不適用。隨L/Rc增大誤差整體降低，表明球殼球心半角即扁率對組合結構的頻率影響逐漸減弱。誤差Error計算式為

(19)

式中：fR為由Rayleigh-Ritz法所求各階頻率；fF為由有限元分析所得各階頻率。

圖3　簡支-自由邊界條件下組合結構固有頻率 Fig.3 Natural frequencies of a joined shell for simply supported-free boundary condition

圖4　簡支-自由邊界條件下組合結構固有頻率誤差 Fig.4 Error of natural frequencies on a joined shell for simply supported-free boundary condition

計算的固定-自由邊界條件下、不同L/Rc值、不同球心半角，光滑圓柱殼-球殼組合結構自振頻率見圖5，球心半角Φ對組合結構各階頻率影響與圖3類似。

固定-自由邊界條件下，簡化方法與有限元分析所得頻率值的誤差分析比較見圖6。由圖6(b)、圖6(d)、(f)、(h)可知，Φ=0°～60°時，除圖6(f)中m=2、3及圖6(h)中n=2對應的頻率值誤差大于10%外，結構各階頻率誤差均較小。由圖6 (a)、(c)、(e)、(g)可知, 隨L/Rc增大各階頻率值誤差先增大后減小，Φ=90°時誤差仍最大。由于邊界條件變化，與圖4不同，Φ=0°～60°、L/Rc≤0.5及L/Rc≥4.0時，簡化方法可獲得較精確的計算結果。

作為比較，本文進一步分析簡支-自由及固定-自由邊界條件下帶縱橫向加勁肋的圓柱殼-球殼組合結構自振頻率，見圖7～圖10。

圖7與圖3、圖5類似，隨Φ增大加筋組合結構各階頻率逐漸降低，隨L/Rc增大降低幅度減小。L/Rc= 4.0時球心半角Φ對結構頻率的影響可忽略。與光滑結構相比，加筋圓柱殼剛度更大，球殼對組合結構頻率影響更小。

對加筋組合結構，在簡支-自由邊界條件下，計算簡化方法與有限元分析頻率值誤差見圖8。由圖8看出，Φ=0°～60°范圍內，隨L/Rc降低誤差減小。由于加筋肋的作用，盡管球殼相對柱殼剛度小，但加筋肋在球殼與圓柱殼連接處對圓柱殼約束較強，故簡化方法的誤差亦較小，滿足工程要求。L/Rc≤2.0、Φ=0°～60°時除n=2、3的頻率值誤差曲線波動較大外，各階頻率值誤均較小。可見簡化方法能取得較好的頻率值近似。L/Rc=4.0時，除n=2、3誤差值曲線隨Φ增大上升外，其它各階頻率值誤差變化均較小。Φ=0°～60°范圍內，各階頻率誤差值曲線趨于平行，與圖7相同，即L/Rc較大時Φ對結構頻率的影響可忽略。

圖5　固定-自由邊界條件下組合結構固有頻率 Fig.5 Natural frequencies of a joined shell for clamped-free boundary condition

圖6　固定-自由邊界條件下組合結構固有頻率誤差 Fig.6 Error of natural frequencies on a joined shell for clamped-free boundary condition

圖7　簡支-自由邊界條件下加筋組合結構固有頻率 Fig.7 Natural frequencies of a stiffened and joined shell for simply supported-free boundary condition

圖8　簡支-自由邊界條件下加筋組合結構固有頻率誤差 Fig.8 Error of natural frequencies on a stiffened and joined shell for simply supported-free boundary condition

圖9分析結果與圖7類似，即隨Φ增大加筋組合結構各階頻率逐漸降低；隨L/Rc增大降幅減小。L/Rc=4.0時球心半角Φ對結構的頻率影響可忽略。

圖10分析結果與圖6類似，由圖10 (b)、(d)、(f)看出，Φ=0°～60°時，除圖10(f)中m=2、3對應頻率值誤差大于10%外，結構各階頻率誤差均在10%內。由圖10 (c)、(e)、(g)看出,各階頻率值誤差均較大，Φ=90°時誤差仍最大。由于邊界條件變化，與圖8不同，Φ=0°～60°、L/Rc≤0.5時，表明該方法可獲得較精確結果。

圖9　固定-自由邊界條件下加筋組合結構固有頻率 Fig.9 Natural frequencies of a stiffened and joined shell for clamped-free boundary condition

圖10　固定-自由邊界條件下加筋組合結構固有頻率誤差 Fig.10 Error of natural frequencies on a stiffened and joined shell for clamped-free boundary condition

2.3 簡化方法與已有結果比較

為證明本文簡化方法的適用性及有效性，與文獻[13]中表8、表11結果進行對比，見表1 (L/Rc=1.0,h/Rc=0.002,ν=0.2)、表2(L/Rc=2.0,h/Rc=0.02,ν=0.2)。由表1可知，Φ=42°時本文方法所得誤差較小，在10%內，滿足工程誤差要求。Φ=90°時頻率誤差值較大，簡化方法不適用。由表2可知，此時L/Rc增大，僅n=5時誤差較小，與圖6(e)中n=3、4、5時類似。故對固定-自由約束的光滑組合結構，簡化方法計算L/Rc=2.0的結構不適用。

由以上分析知，對于部分光滑和加筋組合球殼-圓柱殼結構，滿足一定長徑比及球心半角時，均可用本文簡化方法計算結構固有頻率，且簡單實用。

表1　固定-自由邊界條件組合結構頻率對比分析

注：表中頻率值對應m=1，括號數值為Φ=90°的頻率誤差值，Φ=42°為文獻[13]中Rs/D=0.75對應的準球殼-圓柱殼組合結構。

表2　固定-自由邊界條件組合結構頻率對比分析

注：表中頻率值對應m=1，括號數值為Φ=90°的頻率誤差值，Φ=42°為文獻[13]中Rs/D=0.75對應的準球殼-圓柱殼組合結構。

圖11　簡支-自由邊界條件下不同L/R c時固有頻率 Fig.11 Fundamental frequencies with different L/R cratios for simply supported-free boundary condition

圖12　固定-自由邊界條件下不同L/R c時的固有頻率 Fig.12 Fundamental frequencies with different L/R cratios for clamped-free boundary condition

2.4長徑比對加筋組合殼體頻率影響

簡支-自由與固定-自由邊界條件下球心半角Φ=0°、45°、60°時，加筋組合結構各階固有頻率隨L/Rc值增大的變化見圖11、圖12，此時m=1。由兩圖看出，隨L/Rc增大各階頻率值都逐漸降低，且下降幅度減小，主要因L/Rc較大時結構較柔軟，頻率值不再隨其變化有較大改變。對同一球心半角Φ，L/Rc≥2.0且n≥4時，隨L/Rc與n同時增大，盡管邊界條件不同，各階頻率值分別趨于相等，表明邊界條件對高階頻率影響逐漸降低。

3結論

通過對光滑圓柱殼-球殼及正交加筋圓柱殼-球殼等組合結構進行自振分析，結論如下：

(1)球心半角Φ增大結構自振頻率降低；L/Rc增大球殼球心半角即扁率對組合結構頻率影響逐漸減弱。

(2)簡支-自由邊界條件下，對光滑組合結構，Φ=0°～60°、L/Rc≥1.0時簡化方法結果精度較高；對加筋組合結構，Φ=0°～60°、L/Rc≤2.0時簡化方法結果精度較高。

(3)固定-自由邊界條件下，對光滑組合結構，Φ=0°～60°、L/Rc≤0.5及L/Rc≥4.0時簡化方法結果精度較高；對加筋組合結構，Φ=0°～60°、L/Rc≤0.5時簡化方法結果精度較高；Φ=90°時簡化方法不適用。

(4)L/Rc值對組合結構固有頻率影響顯著，L/Rc增大，結構固有頻率逐漸降低，且降幅減小。

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