四輪移動機器人運動各向相異性研究*

周衛(wèi)華

(臺州職業(yè)技術(shù)學(xué)院 自動化研究所，浙江 臺州 318000)

0 引 言

由全向輪構(gòu)成的移動機器人，其運動學(xué)、動力學(xué)特性與普通的多輪移動機器人或履帶式機器人相比，有著顯著的區(qū)別(后續(xù)表述的移動機器人都特指基于全向輪的移動機器人)。

國內(nèi)外的專家學(xué)者對于移動機器人的運動各向相異性做了許多研究，如Wade等[1-2]提出了一種新型的無極調(diào)速方法，通過設(shè)計一種改變輪子方向的機構(gòu)來實現(xiàn)移動機器人的調(diào)速，僅這種機構(gòu)能實現(xiàn)穩(wěn)定調(diào)速，但機構(gòu)復(fù)雜，故這種方法停留于實驗室階段；ASHMORE等[3]通過計算提出通過合理的布局，移動機器人包含的全向輪數(shù)量越多，其運動的最大速度越快，而且他們進一步分析得出，由相同數(shù)量的輪子構(gòu)成的移動機器人采用相同的布局其在各個方向上的最大速度也是不同的，表現(xiàn)為運動的各向相異性，但是他們的研究也只停留于理論階段；上海交通大學(xué)的曹其新[4]分析了由全向移動機器人的運動各向相異性，并建立Matlab—ADAMS聯(lián)合仿真及實驗驗證了理論分析，同時，根據(jù)運動相異性特性提出了優(yōu)化的控制策略[5]；劉力等[6]研究了五自由度移動機器人在平面上運動的各向相異性，為以后的路徑規(guī)劃等問題打下基礎(chǔ)。

本研究將通過ADAMS軟件驗證移動機器人運動的各向相異性，并構(gòu)建電氣控制系統(tǒng)，通過實驗驗證移動機器人加速度的各向相異性。

1 移動機器人機構(gòu)示意圖

連續(xù)切換全向輪由10個大小輥子嵌套而成，如圖1所示[7]。

圖1 連續(xù)切換輪及四輪移動機器人

大、小輥子具有公共的圓周曲線，與地面依次接觸時，可以保證接觸點的高度始終保持一致，避免移動機器人運動時出現(xiàn)顛簸的情況。輪轂中間安裝軸承，用于連接電機的輸出軸，輥子與輪轂骨架也通過軸承連接。

平面運動包含前后、左右、旋轉(zhuǎn)3個自由度，移動機器人要實現(xiàn)全向運動，必須要包含3個或3個以上電機獨立驅(qū)動的輪子。由于四輪移動機器人具有穩(wěn)定性好、結(jié)構(gòu)簡單等優(yōu)點，本研究采用四輪的方案[8]。

2 速度各向相異性分析

移動機器人四輪排布圖如圖2所示。

圖2 移動機器人排布圖r—連續(xù)切換輪的半徑；l—連續(xù)切換輪中心到車體中心的距離

為了實現(xiàn)全方位運動，四輪采用正交排布的方式，可得移動機器人的逆運動學(xué)方程為：

(1)

式中：ω1～ω4—四輪的旋轉(zhuǎn)角速度；Vx，Vy，ω—移動機器人X軸速度、Y軸速度以及繞中心軸的旋轉(zhuǎn)角速度。

不考慮輪子的打滑，車體速度分解到4個輪子方向的分速度與輪子的運動速度是相同的，故可得運動學(xué)逆矩陣R為：

(2)

通過矩陣逆運算，可得正向運動學(xué)關(guān)系：

(3)

設(shè)速度V的方向與移動機器人坐標(biāo)系XM成α角(如圖2所示)，速度V可以分解為：

Vx=VcosαVy=Vsinα

(4)

由式(3，4)可得：

(5)

移動機器人采用直流無刷電機，電機最高轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，計算可得4個輪子的速度范圍為：

-10.49(rad/s)≤ω1≤10.49(rad/s)-10.49(rad/s)≤ω2≤10.49(rad/s)-10.49(rad/s)≤ω3≤10.49(rad/s)-10.49(rad/s)≤ω4≤10.49(rad/s)

(6)

綜上分析，在式(3，6)的限制條件下，求式(5)中V的最大值，這是一個二次線性規(guī)劃問題。本研究利用Matlab軟件工具中的quaprog函數(shù)求解[9]，計算結(jié)果如圖3所示。

圖3 速度V在各個角度的最大值

由圖3可知：當(dāng)速度的方向與XM的夾角成90°的整數(shù)倍時，速度最大值的幅值最大；當(dāng)速度的方向與XM的夾角成45°的整數(shù)倍時，速度最大值的幅值最小。

筆者通過ADAMS軟件來驗證理論值，建立的仿真模型如圖4所示。

圖4 移動機器人模型

ADAMS模型中最重要的是建立連續(xù)切換輪與輥子的運動副。連續(xù)切換輪是主動施加的運動，可以設(shè)置參數(shù)及范圍。輥子繞自身軸旋轉(zhuǎn)，是一種被動的運動。同時，對于固定的一些構(gòu)件，可以作適當(dāng)?shù)暮喕?/p>

考慮到4個輪子對稱放置，根據(jù)圖2，可只考慮第一象限的情況，設(shè)速度方向與XM的夾角α∈[0，90°]。仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 速度沿各個方向的仿真結(jié)果

由圖5的結(jié)果可知：仿真值與理論值完全重合，說明理論的計算結(jié)果是正確的。該結(jié)果可用于分析移動機器人各個方向的速度極限值。

3 加速度各向相異性分析

移動機器人加速度的各向相異性，涉及到移動機器人的動力學(xué)問題。求解移動機器人的動力學(xué)方程，一般采用拉格朗日法[10]、牛頓-歐拉法[11]、高斯法等[12]。拉格朗日法可以在已知移動機器人運動學(xué)方程的基礎(chǔ)上求解；非完整約束是指含有系統(tǒng)廣義坐標(biāo)導(dǎo)數(shù)且不可積的約束；典型的受非完整約束系統(tǒng)包括車輛、移動機器人等[13]。由式(3)可知：車體的速度與輪子的速度存在不可解耦的關(guān)系。移動機器人屬于非完整系統(tǒng)。本研究采用非完整系統(tǒng)的拉格朗日法(也稱“勞斯法”)求解車體動力學(xué)問題[14]。

首先，對式(3)進行一次求導(dǎo)：

(7)

式(7)中反映的是移動機器人加速度與輪子加速度的關(guān)系，需要求解的是移動機器人加速度與電機輸出力矩之間的關(guān)系。

移動機器人廣義坐標(biāo)如圖6所示。

圖6 移動機器人廣義坐標(biāo)

取廣義坐標(biāo)q1為移動機器人在XM方向上的位移Sx，q2為移動機器人在YM方向上的位移Sy，q3為移動機器人的回轉(zhuǎn)角度θ0，q4～q7為輪子的旋轉(zhuǎn)速度φ1～φ4。

考慮移動機器人在平面運動的情況，根據(jù)勞斯方程，其動力學(xué)方程的一般形式為：

(8)

式中：T—移動機器人的動能，不考慮勢能；qj，Qj—廣義坐標(biāo)與廣義力；Bkj—由約束決定的系數(shù)；λk—待定的拉格朗日乘子。

T包括移動機器人沿3個自由度的動能以及4個連續(xù)切換輪的轉(zhuǎn)動動能。設(shè)M表示移動機器人的質(zhì)量，則移動機器人的動能為：

(9)

式中：Jω，Jm—輪子繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量及輥子繞輪子中心軸旋軸的轉(zhuǎn)動慣量。

考慮到輪子運動時，10個輥子只有1個與地面有接觸，同一時刻運動的輥子數(shù)量只有4個。且輥子的質(zhì)量相對于移動機器人來說很小，故式(9)中忽略了輥子繞自身軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量。

移動機器人在平面上運動，其勢能為0，對應(yīng)于q1的廣義力Q1=0，同理可得：Q2=0，Q3=0。

Ta1，Ta2，Ta3，Ta4代表4個輪子的有效輸出力矩[15]，則：

Qi=Taj，(i=4～7，j=1～4)

(10)

根據(jù)移動機器人的構(gòu)型及四輪的排布方式，在輪子不打滑的情況下，根據(jù)式(7)可知，約束方程為：

(11)

根據(jù)式(11)，可得式(8)中的系數(shù)Bkj為：

(12)

根據(jù)式(9，10，12)，求解式(8)，可得：

(13)

式(13)中，待定的拉格朗日乘子可以化簡為：

(14)

根據(jù)式(7，10，13，14)的關(guān)系，代入式(8)，最終可得移動機器人的加速度與電機輸出力矩之間的關(guān)系為：

(15)

式(15)也是最終的移動機器人動力學(xué)方程。設(shè)移動機器人加速度的方向與坐標(biāo)系XM成β角，ax和ay為：

ax=acosβay=asinβ

(16)

加速度a可以表示為：

(17)

筆者研究的連續(xù)切換輪采用硬質(zhì)橡膠，且輪與地面接觸面積小。通過實驗發(fā)現(xiàn)，連續(xù)切換輪的附著力比電機的最大輸出力要小，故文中電機有效輸出力矩主要考慮附著力的限制。附著力Fh與連續(xù)切換輪的壓力、附著系數(shù)成正比，可以表示為0.25Mgμh。其中，附著系數(shù)μh主要與連續(xù)切換輪的材料、受力面積相關(guān)，經(jīng)實驗測量其值為1.0[16]。同時，電機的有效輸出力矩需要減去受到的滾動摩擦力，大小為0.25Mgμf(其中：μf—輪子與地面的滾動摩擦系數(shù))。綜上所述，每個輪子的有效輸出力矩為：

(18)

正的力矩值表示力矩沿輪子前進的方向，負(fù)的力矩值表示力矩沿輪子后退的方向。綜上分析，在式(15，16，18)約束條件下，求式(17)中加速度的最大值，這是一個二次線性規(guī)劃問題，求解結(jié)果如圖7所示。

圖7 加速度a沿各個方向的最大值

為了驗證理論分析的正確性，本研究制作了移動機器人實物。控制器采用主頻為1 GHz的工控主板，電機驅(qū)動器采用美國Copley公司的直流無刷電機驅(qū)動器。工控主板通過擴展CAN卡與電機驅(qū)動器的CAN端口組成一個CANOpen通信網(wǎng)絡(luò)。移動機器人的控制系統(tǒng)框圖如圖8所示。

圖8 移動機器人控制系統(tǒng)框圖

三軸加速度傳感器MPU6050安裝在移動機器人的中心，用以測量移動機器人各個方向的加速度值。采用四輪對稱排布，故實驗中加速度a與XM的夾角β可設(shè)為：β∈[0，90°]。實驗結(jié)果如圖9所示。

圖9 加速度a沿各方向的實驗結(jié)果

由實驗結(jié)果可知，理論值與實驗值基本符合，平均偏差在5%左右。主要是以下幾個因素造成：(1)移動機器人加工的偏差。實際的移動機器人存在加工的誤差、軸承摩擦等因素；(2)輪與地面的附著力及滾動摩擦力是隨移動機器人的速度變化的；在理論計算時，附著力與滾動摩擦力都設(shè)置為了一個固定的值；(3)加速度傳感器本身的精度誤差及安裝誤差等。

4 結(jié)束語

本研究設(shè)計并制作了一種實用的連續(xù)切換輪及移動機器人，并分析了其運動學(xué)及動力學(xué)特性，結(jié)論如下：

(1)通過逆運動學(xué)求得的移動機器人速度的各向相異性結(jié)果，與ADAMS軟件仿真的結(jié)果一致；

(2)給出了移動機器人各個方向的加速度各向相異性，并進行了實驗驗證；

(3)分析了移動機器人的運動各向相異性特性，表述了其最大速度、最大加速度與運動角度的關(guān)系。

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