廣義拓撲的比較

廣義拓撲的比較

宋穎瀟， 丁猛， 朱培勇

(電子科技大學數學科學學院， 成都611731)

摘要：類比拓撲的比較引入廣義拓撲的粗細概念。通過廣義拓撲粗細比較，分別獲得了廣義拓撲粗細與廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內部、廣義導集和廣義閉包的包含關系之間的一系列結果。使得一般拓撲中拓撲比較的相關理論得到推廣與擴充。

關鍵詞：廣義拓撲；拓撲的比較；廣義鄰域系；廣義閉包

文章編號：1673-1549(2015)04-0086-03

DOI:10.11863/j.suse.2015.04.18

收稿日期:2015-06-20

作者簡介:宋穎瀟(1994-)，女，陜西渭南人，碩士生，主要從事拓撲方面的研究，(E-mail)SYX_0623@163．com;朱培勇(1956-)，男，四川自貢人，教授，博士，主要從事拓撲學及其應用方面的研究，(E-mail)Zpy6940@ sina．com．cn

中圖分類號：O189.11

文獻標志碼：A

引言

匈牙利數學家Csaszar A于2002年在文獻[1]中提出了廣義拓撲空間的概念，并對廣義拓撲空間進行了深入的研究，為廣義拓撲的研究奠定了初步的基礎。由此，產生一個問題：一般拓撲空間中的拓撲比較能否推廣到廣義拓撲空間？其判定條件是否可以推廣到廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內部、廣義導集和廣義閉包？ 本文通過類比的方法，對這些問題進行研究。

1預備知識

定義1[1]設X是任一非空集合，G是X的一些子集構成的集族，如果下列兩個條件被滿足：

(O1)φ∈G;

(O2)若Gλ∈G(λ∈Λ)，其中Λ為任意指標集，則∪λ∈ΛGλ∈G。

則稱G為集合上的一個廣義拓撲，并且稱有序偶(X，G)為一個廣義拓撲空間，集族G中的每一個集合都稱為廣義拓撲空間(X，G)的開集。

定義2[1]設(X，G)為廣義拓撲空間，x∈X，如果?V∈G使得x∈V，則稱V為點x的一個廣義鄰域。x點的廣義鄰域的全體稱為點x的廣義鄰域系，記作UG(x)。

定義3[2]設(X，G)為廣義拓撲空間，F?X。 若Fc=X-F∈G，則稱F是X的廣義閉集。

類比一般拓撲學中相應概念引入廣義拓撲中聚點概念與廣義拓撲的粗細概念。

定義7設G1，G2是X上的兩個廣義拓撲，如果G1?G2，則稱G1是比G2更粗的廣義拓撲，或稱G2是比G1更細的廣義拓撲。

此外，本文中涉及到的其它概念、術語和記號，如果沒有特別申明，都來自于文獻[3]。

2廣義拓撲的比較及其相關結果

定理1設G1，G2是X上的兩個廣義拓撲， 則以下三個命題等價：

(1)G1是比G2更粗的廣義拓撲。

(2)?x∈X，?U∈UG1(x)，?V∈UG2(x)使得V?U。

(3)?x∈X，有UG1(x)?UG2(x)。

證明(1)?(2) 事實上，對于?x∈X，?U∈UG1(x),?V=U∈G1使得x∈V=U。 因為G1?G2，則V∈G2。 所以V∈UG2(x)，即?V∈UG2(x)使得V?U。

(2)?(3) 對于?x∈X，?U∈UG1(x)，因為?V∈UG2(x)使得V?U，由廣義鄰域系定義，?V∈G2使x∈V，則x∈V?U。 因此U∈UG2(x)。故UG1(x)?UG2(x)。

(3)?(1) ?U∈G1, 若U=φ，由定義1,顯然U∈G2；若U≠φ，則對于?x∈U，有U∈UG1(x)。 因為UG1(x)?UG2(x)，則U∈UG2(x)。 由廣義鄰域系的定義得：U∈G2。故G1?G2。

用完全相同的方法可得：

推論1設G1，G2是X上的兩個廣義拓撲，則以下三個命題等價：

(1)G1是比G2更細的廣義拓撲。

(2)?x∈X，?U∈UG2(x)，?V∈UG1(x),使得V?U。

(3)UG2(x)?UG1(x)。

定理2設G1，G2是X上的兩個廣義拓撲，FG1與FG2分別為關于G1與G2的全體廣義閉集構成的集族。則G1是比G2更粗的廣義拓撲當且僅當FG1?FG2。

證明必要性 ?F∈FG1,有X-F∈G1，因為G1?G2，所以X-F∈G2，故X-(X-F)=F∈FG2，從而FG1?FG2。

充分性 ?G∈G1,有X-G∈FG1，因為FG1?FG2, 則X-G∈FG2。 故X-(X-G)=G∈G2從而,G1?G2。

推論2設G1，G2是X上的兩個廣義拓撲，FG1與FG2分別為關于G1與G2的全體廣義閉集構成的集族,則G1是比G2更細的廣義拓撲當且僅當FG2?FG1。

討論廣義拓撲粗細與導集以及閉包之間的關系。

引理2設(X，G)為廣義拓撲空間，A?X，則以下兩個條件等價：

3結束語

本文以拓撲學知識為基礎，借鑒近年來研究拓撲空間性質的思想與方法[5-7]，比一般拓撲粗細的概念，引入了廣義拓撲粗細的概念，對于廣義拓撲粗細比較的判定條件，探究是否可以通過廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內部、廣義導集和廣義閉包的比較得到。經過本文的討論和證明可以得出，通過對比廣義鄰域系、廣義閉集族、廣義內部、廣義導集和廣義閉包，均可得到廣義拓撲粗細比較的結論，但是廣義鄰域系、廣義閉集族和廣義內部的比較是廣義拓撲粗細比較的充分必要條件，而廣義導集和廣義閉包的比較只是廣義拓撲粗細比較的必要條件。

參 考 文 獻：

[1]Csaszar A.Generalized topology,generalized continuity.Acta.Math.Hungar,2002,96(4):351-357.

[2]LI J.Generalized topologies generated by subbases.Acta.Math.Hungar,2007,114(1-2):1-12.

[3]朱培勇,雷銀彬.拓撲學導論.北京:科學出版社,2009.

[4]Ryszard E.General Warszawa Topology.Warszawa:Polish Scientific Pulisher,1977.

[5]盧天秀,朱培勇,辛邦穎.拓撲空間中函數上(下)極限的一些性質.四川理工學院學報:自然科學版,2011,25(3):264-266.

[6]盧天秀,朱培勇.拓撲空間上半連續函數的一些性質.西南民族大學學報:自然科學版,2008(6):1133-1137.

[7]王鑫,朱培勇.關于廣義拓撲空間的分離性質的一些探究.西南民族大學學報:自然科學版,2014,40(5):750-755.

Generalized Topological Comparison

SONGYingxiao,DINGMeng,ZHUPeiyong

(School of Mathematical Sciences, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

Abstract:In this paper, the concept of the comparison of generalized topologies is introduced by the comparision of topologies. A series of results is obtained between the thickness of generalized topologies and generalized neighbourhood system, the collection of generalized closed sets, generalized interior, generalized derived sets, generali-zed closure. And then the comparative theory of general topology is generalized and extended.

Key words: topological comparison; generalized topology; generalized neighbourhood system; generalized closure