Hilbert空間中一類新廣義非線性變分不等式組問題

Hilbert空間中一類新廣義非線性變分不等式組問題

羅靜1， 隆建軍2

(1.四川理工學(xué)院理學(xué)院， 四川自貢643000；2.攀枝花市大河中學(xué)， 四川攀枝花617061)

摘要：變分不等式原理是當(dāng)今數(shù)學(xué)技術(shù)中一個有力的研究工具，有重要的學(xué)術(shù)研究價值和意義。在運(yùn)籌學(xué)、計算機(jī)科學(xué)、系統(tǒng)科學(xué)、工程技術(shù)、交通和經(jīng)濟(jì)與管理等方面有著廣泛而重要的應(yīng)用。利用η-次微分算子的預(yù)解算子技巧和輔助原理技術(shù)，研究Hilbert空間中的一類廣義非線性變分不等式組問題，得出該問題的解。在此基礎(chǔ)上，引入一個帶有Lipschitz連續(xù)、強(qiáng)單調(diào)和松弛單調(diào)映射的輔助性問題，并且利用預(yù)解算子和集值壓縮映像的不動點(diǎn)定理證明了解的存在性與唯一性，這一結(jié)果推廣、改進(jìn)和發(fā)展了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果。

關(guān)鍵詞：廣義非線性變分不等式組；預(yù)解式技術(shù)；輔助原理技術(shù)；迭代算法；收斂性

文章編號：1673-1549(2015)04-0080-06

DOI:10.11863/j.suse.2015.04.17

收稿日期:2015-06-11

作者簡介:羅靜(1980-)，女，四川自貢人，助教，主要從事數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)理論方面的研究，(E-mail) 379040763@ qq．com

中圖分類號：O177.91

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

引言

眾所周知，預(yù)解算子技巧和輔助原理技術(shù)[1]在變分不等式問題中有著十分廣泛的應(yīng)用。近年來，許多學(xué)者借助預(yù)解算子技巧和輔助原理技術(shù)，研究了了Hilbert空間的非線性變分不等式組問題[2-12]。本文在文獻(xiàn)[1-5]的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論了一類新廣義非線性變分不等式組解存在的唯一性，所得結(jié)果是文獻(xiàn)[2-5]的推廣和改進(jìn)。

其中，ρi>0為常數(shù)。

其中，ρ,γ>0為常數(shù)。此問題代宏霞在文獻(xiàn)[3]中已經(jīng)研究。

1基本定義和引理

定義1設(shè)非線性映射A(·,·):H×H→H。

(1)稱A(·,·)關(guān)于第二變元是(a,b)-松弛余強(qiáng)制的，若?a>0,b>0，使得

[A(·,u1)-A(·,u2),u1-u2]≥-

?u1,u2∈H

當(dāng)a=0時，映射A(·,·)就是b-強(qiáng)單調(diào)的；因此A(·,·)關(guān)于第二變元是(a,b)-松弛余強(qiáng)制映射比A(·,·)是b-強(qiáng)單調(diào)映射更具一般性。

(2)稱A(·,·)關(guān)于第二變元是β-Lipschitz連續(xù)的，若?β>0，使得

(3)稱A(·,·)關(guān)于第一變元是γ-Lipschitz連續(xù)的，若?γ>0，使得

定義2設(shè)η:H×H→H,φ:H→R∪{+∞}，稱φ在x處是η-可微的，若?f∈H使得：φ(y)-φ(x)≥[f,η(y,x)],?y∈H，并稱f為φ在x處的次η-梯度，記?ηφ(x)為φ在x處所有次η-梯度全體，即

?ηφ(x)={f∈H:φ(y)-φ(x)≥

[f,η(y,x),?y∈H]}

2主要結(jié)論及其證明

其中，ρi>0為常數(shù)。

證明對?x∈H，廣義非線性變分不等式組問題1可化為：

(1)

由η-次微分的定義，不等式組(1)等價于

即

于是廣義非線性變分不等式組問題1的解為

證畢。

(2)

其中，ρi>0為常數(shù)。

定理2映射Ai(·,·):H×H→H，Ai(·,·)關(guān)于第二變元是(ai,bi)-松弛余強(qiáng)制的，且關(guān)于第二變元是βi-Lipschitz連續(xù)的(i=1,2,…,n)，η:H×H→H滿足引理1的條件，假設(shè)

(3)

成立，則輔助性問題不等式組(2)有唯一解。

證明定義映射Fw:H→H為：

對任意x,y∈H，有：

(4)

由A1(·,·)關(guān)于第二變元是(a1,b1)-松弛余強(qiáng)制的，且關(guān)于第二變元是β1-Lipschitz連續(xù)的，所以有

(5)

把(5)式代入(4)式，可得

(6)

又

(7)

由A2(·,·)關(guān)于第二變元是(a2,b2)-松弛余強(qiáng)制的，且關(guān)于第二變元是β2-Lipschitz連續(xù)的，所以有

(8)

把(8)式代入(7)式，得

(9)

把(9)式代入(6)式，可得

(10)

在(10)式中由Ai(·,·)關(guān)于第二變元是(ai,bi)-松弛余強(qiáng)制的，且關(guān)于第二變元是βi-Lipschitz連續(xù)的(i=3,4,…,n)，所以有

(11)

把(11)式代入(10)式，故有

由定理2的輔助性問題(3)式可確定單值映象G;H→H如下：G(w)=x1，其中

定理3假設(shè)定理2的所有條件都成立，A(·,·)關(guān)于第一變元是γ-Lipschitz連續(xù)的，且

成立，那么廣義非線性變分不等式組問題1的解存在且唯一。

(12)

其中

即

(13)

又由條件A(·,·)關(guān)于第一變元是γ-Lipschitz連續(xù)的，故有

(14)

由(12)式、(13)式、(14)式得

即

因為

即

(15)

由(15)式知G(w)=x1是壓縮映像，從而存在唯一x1∈H使得G(x1)=x1，即x1是映像G(w)=x1的唯一不動點(diǎn)。由定理2的證明過程中所定義的映象Fw:H→H，令

則

參 考 文 獻(xiàn)：

[1]夏錦,苗放.解一類似變分不等式問題的預(yù)解式技術(shù)和輔助原理技術(shù).四川師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2002,25(5):85-486.

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A New Class of Generalized Nonlinear Variational Inequalities Problem in Hilbert Space

LUOJing1,LONGJianjun2

(1.School of Science, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China; 2.Dahe Middle School of

Panzhihua, Panzhihua 617061, China)

Abstract:Variational inequality principle is a powerful research tool in the current mathematical technology, and has important academic research value and significance. It is widely and importantly applied in operations research, computer science, system science, engineering technology, transportation, economic and management and other aspects. In this essay, by using the resolvent operator technique and the auxiliary principle technique of η a differential operator, a class of generalized nonlinear variational inequalities problem in Hilbert space is researched, and the solution of the problem is obtained. On this basis, a auxiliary problem with Lipschitz continuous, strongly monotone and relaxed monotone mapping is introduced, and the existence and the uniqueness of the solution are proved by using the resolvent operator and the fixed point theorem of set-valued contractive mappings. This result has extended, improved and developed the results in relevant literatures.

Key words: generalized nonlinear variational inequalities; preconditioning techniques; auxiliary principle technique; iterative algorithm; astringency