雙渦卷Jerk非線性系統混沌電路設計

陳嬌英，彭宇寧，唐英姿( .廣西大學電氣工程學院，南寧　50004; 2.廣西工業職業技術學院，南寧　5000; .廣西師范學院，南寧　5000)

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雙渦卷Jerk非線性系統混沌電路設計

陳嬌英1，2，彭宇寧1，唐英姿3
( 1.廣西大學電氣工程學院，南寧530004; 2.廣西工業職業技術學院，南寧530001; 3.廣西師范學院，南寧530001)

摘要:為進一步探討非線性混沌系統的可控規律，實現對混沌現象的利弊進行有效控制，根據雙渦卷Jerk混沌系統狀態方程，采用模塊化電路設計理論設計了雙渦卷Jerk非線性混沌電路，并使用Matlab軟件仿真其數學模型，Multisim軟件仿真其硬件電路。仿真結果證明:設計的雙渦卷非線性混沌電路能產生與數學模型仿真結果一致的混沌波形，驗證了所設計雙渦卷Jerk混沌電路的正確性。

關鍵詞:非線性系統;雙渦卷Jerk混沌電路;模塊化電路設計理論

混沌系統是一門交叉學科，屬于物理、數學和控制的交叉研究領域［1］。混沌自20世紀90年代以來一直都是非線性學科研究的熱點。正如人類如果沒有發現“黑色黃金”——石油的價值所在，今天就不會擁有如此發達的交通工具——飛機;如果人類沒有認識到電磁感應現象，就不會有現在的萬家燈火和高科技。混沌現象廣泛存在于各種非線性控制系統中。廣泛地發現混沌現象，探索新型混沌系統，用電子器件構造和演示混沌現象，做出典型混沌系統的實物模型，在演示器上尋找和研究混沌系統控制方法，通過模擬尋求共性，實時控制趨利避害，具有一定的現實意義和實用價值。

筆者采用直接觀測法［2］對混沌系統進行研究，分析混沌現象產生的原因及原理，通過動力學系統的數值和器件仿真相軌跡在相空間中隨時間的變化及狀態方程中變量隨時間的走向，對數值器件仿真和硬件電路圖產生的混沌相圖進行對比，總結混沌的規律。用模塊化電路設計方法設計雙渦卷Jerk非線性系統混沌電路，從仿真結果相圖中觀察變量運動的軌跡，得到完整清晰的雙渦卷Jerk混沌波形。

1　雙渦卷Jerk混沌系統數學模型

雙渦卷Jerk非線性混沌系統是2000年美國科學家J C Sportt提出來的［3－4］，其無量綱狀態方程為式中的各參數取值:β為0. 45～0. 7，x、y、z、τ均為無量綱變量。當式f( x) = | x |－1時，該狀態方程將產生單渦卷混沌現象;而當f( x) = sgn( x)－x時，該狀態方程將產生雙渦卷混沌現象。非線性函數f( x) = sgn( x)－x為鋸齒波，而F( x) = sgn( x)是階梯波，由此可知鋸齒波和階梯波其實只是通過增加或者減少一個線性函數便可以實現兩者之間的相互轉換。如果將鋸齒波的函數f( x) = sgn( x)－x改成由階梯波函數F( x) = sgn( x)來代替，則式( 1)變換為

2　數學模型Matlab仿真

利用Matlab軟件對雙渦卷Jerk系統的數學表達式式( 2)進行仿真(取β= 0. 5)。在仿真前需要對仿真時間T、步長Step和雙蹤示波器的坐標范圍進行適當的調整，以便對波形進行觀察和分析。

從圖1所示的仿真波形可以觀察到清晰的雙渦卷混沌波形。在雙渦卷系統數學模型仿真中發現，雖然β在0. 45～0. 7間任意取值時產生的波形有所不同，但是都能產生穩定相似的混沌波形;如果β的取值不在此范圍內，將不會產生混沌波形，而會產生以下的兩種情況:

①當β＜0. 45時仿真的波形將向外發散，無法形成穩定的混沌波形;

②當β＞0. 7時，仿真的波形將由外向內運動逐漸終止，最后也無法形成穩定的混沌波形。

可見，混沌系統參數對混沌系統的初值有決定性作用。如果系統各參數取值不當或者有微小的變化，隨著混沌軌跡的不斷變化將會產生巨大偏差，最終將不能產生標準的混沌波形或者波形將消失。參數取值的不同對混沌造成的影響，證明了混沌系統的可控性。混沌系統表面看上去都是一些無規則、雜亂無章的運動軌跡，并沒有什么規律可言，但其系統內部是遵循一定的規律的，運動軌跡始終在一定范圍內作非線性運動，似乎有一種無形的吸引力在約束它。對此可以利用混沌現象原理對一些非線性系統進行控制，利用類似“混沌吸引子”系統將難以控制的非線性動力學控制在安全穩定的范圍之內，使之發揮有利作用，同時去除造成危害的部分。

圖1　雙渦卷Jerk系統數學模型仿真波形Fig. 61Jerk system state equation simulation phase diagram

3　雙渦卷Jerk混沌電路的設計

采用模塊化電路設計方法［5－9］，設計過程主要分為3個步驟。

1)進行變量的比例壓縮變換。通常所用的運算放大器芯片的電源電壓為±15 V，而運算放大器的線性動態范圍是±13. 5 V，所以首先利用Matlab對該系統進行仿真，觀察該系統相圖中的變量是否超出線性動態范圍(±13. 5 V)。如果沒有超出這個范圍，則該系統無量綱方程不需要作比例壓縮變換;如果超出這個范圍就需要作變量比例壓縮變換。在對雙渦卷系統的狀態方程進行數學仿真過程中可以觀察到圖1中各相圖的變量變化范圍都沒有超過運算放大器±13. 5 V的動態范圍，因此在進行電路設計時不需要對狀態方程作變量比例壓縮。

2)作時間尺度的變換、微分－積分轉換、標準化處理。對狀態方程進行積分－微分的轉換及時間尺度的變換，然后將積分方程標準化，得到的狀態方程:

其中: R0、C0為積分時間常數; f( x) = sgn( x)－x為非線性函數，其模塊電路設計如圖2所示。

3)根據標準積分方程設計出相應的模塊化電路。系統模塊化電路設計如圖3所示。運算放大器采用LF353P型號，芯片采用±15 V雙電源供電方式;電阻采用固定阻值的電阻和可調電位器，主要是方便對電路中的可調系數進行調整，同時通過對可調電位器的調整探索參數變換對于整個混沌系統的影響。

圖2　非線性函數電路圖Fig. 62Diagram of nonlinear function circuit

4　系統電路Multisim仿真

在Multisim仿真軟件中，對圖3雙渦卷Jerk系統電路進行仿真。電容采用無極性電容。電路及元件參數見圖3。仿真結果在泰克示波器上輸出(圖4)，輸出波形圖見圖5。

將電路輸出的混沌波形與Matlab數值仿真的混沌波形圖1進行對比，結果表明兩種仿真的波形是一致的，說明所設計的電路是正確的。

圖3　雙渦卷Jerk系統模塊電路圖Fig. 63Jerk system module circuit diagram

圖4　雙渦卷Jerk混沌系統硬件電路3個輸出端波形仿真Fig. 64Three output waveform simulation of Jerk system hardware circuit

圖5　雙渦卷Jerk混沌系統硬件電路仿真Fig. 65Jerk system hardware circuit chaos waveforms phase diagram

5　結論

本文研究了雙渦卷Jerk混沌系統模塊化電路的設計方法。通過Matlab數值仿真、Multisim器件仿真的對比，找出了混沌系統的一般規律以及參數取值的不同對混沌造成的影響，證明了雙渦卷Jerk混沌系統的可控性。對非線性控制領域發掘更多新的混沌系統和混沌現象，對混沌的利弊實現有效控制，減少混沌現象對人類的影響有一定參考價值。特別是就電力系統而言，掌握對混沌現象的控制方法和手段、探索混沌現象的應用前景具有很大的實際意義。

參考文獻:

［1］Agiza H N，Yassen M T．Synchronization of Rossler and Chen chaotic dynamical systems using active control［J］．Physics Letters A，2001，278 ( 4) : 191－197．

［2］Ma C Y，Wang L S，Yin Z，et al．Sliding mode control of chaos in the noise-perturbed permanent magnet synchronous motor with non-smooth air-gap［J］．Mining Science and Technology ( China)，2011，21 ( 6) : 835－838．

［3］Yu J P，Chen B，Yu H S，et al．Adaptive fuzzy tracking control for the chaotic permanent magnet synchronous motor drive system via backstepping［J］．Nonlinear Analysis: Real World Applications，2011，12 ( 1) : 671－681．

［4］Li T Y，Yorke J A．Period three implies chaos［J］．The A-merican Mathematical Monthly，1975，82 ( 10) : 985－992．

［5］禹思敏．混沌系統與混沌電路［M］．西安:西安電子科技大學出版社，2011．

［6］黃曼磊，劉宏達，許夢琪．柴油發電機組并聯運行的混沌振蕩分析［J］．哈爾濱工程大學學報，2012，33 ( 2) : 192－196．

［7］王學梅，張波．H橋直流斬波變換器邊界碰撞分岔和混沌研究［J］．中國電機工程學報，2009，29 ( 9) : 22－27．

［8］劉崇新．一個超混沌系統及其分數階電路仿真實驗［J］．物理學報，2007，56 ( 12) : 6865－6873．

［9］孫連新，王忠林，韓敬偉．一個新的三維混沌系統分析及電路實現［J］．四川兵工學報，2010，31( 2) : 116－118．

Chaotic circuit design for double turbination Jerk nonlinear system

CHEN Jiao-ying1，2，PENG Yu-ning1，TANG Ying-zi3
( 1. College of Electrical Engineering，Guangxi University，Nanning 530004，China; 2. Guangxi Vocational and Technical Institute of Industry，Nanning 530001，China; 3. Guangxi Normal Institute，Nanning 530001，China)

Abstract:In order to explore the control rule of nonlinear chaotic system and realize the pros and cons of chaos phenomenon under effective control，based on double turbination Jerk chaos system state equation，and the theory of modular circuit design，double turbination Jerk nonlinear chaotic circuit is introduced，its mathematical model by Matlab software simulation，Multisim software simulation of hardware circuit．The simulation results prove that the design of double turbination nonlinear mathematical model for the simulation results is in agreement with the chaotic circuit and can produce chaotic waveform．The correctness of the design of double turbination Jerk chaotic circuit has also been verified，with reference for the control and application of the chaotic phenomenon in the future．

Key words:modular circuit design theory; dual-scroll chaotic nonlinear phenomena demonstrator; Matlab and Multisim simulation

作者簡介:陳嬌英( 1966—)，女，碩士，副教授，研究方向:電力系統分析與控制，cjy-6647@163. com。

基金項目:廣西自然科學基金項目(桂科基0663022)

收稿日期:2014－12－08

doi:10. 3969/j．issn. 1674－9057. 2015. 01. 035

文章編號:1674－9057( 2015) 01－0213－04

文獻標志碼:A

中圖分類號:TM13

引文格式:陳嬌英，彭宇寧，唐英姿．雙渦卷Jerk非線性系統混沌電路設計［J］．桂林理工大學學報，2015，35( 1) : 213－216．