具有丟包的異采樣率雙環網絡控制系統

梁澄河，劉電霆(桂林理工大學機械與控制工程學院，廣西桂林　541004)

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具有丟包的異采樣率雙環網絡控制系統

梁澄河，劉電霆
(桂林理工大學機械與控制工程學院，廣西桂林541004)

摘要:研究了一類存在數據包丟失的異采樣率雙環網絡控制系統。該系統由內控制環和外控制環組成，內、外控制環的采樣周期不同，且由于網絡的存在，傳輸過程會出現數據包丟失問題。采用提升技術將內環擴展成多采樣周期模型來解決內環和外環統一建模的問題，利用馬爾可夫鏈來描述數據包丟失情況，并建立綜合系統模型。基于李雅普諾夫方法，給出了網絡控制系統隨機穩定的充分條件，提出控制器的設計方法，并通過數值算例驗證了方法的有效性。

關鍵詞:網絡控制系統;異采樣率;馬爾可夫鏈;數據包丟失

網絡控制系統( networked control systems，NCSs)正越來越廣泛應用于工業中［1］。異采樣率雙環NCSs是一種新模型，反映了生產中控制系統具有雙環結構且被控量變化速率不同的問題，如電機具有電流環和轉速環。雙環模型、采樣周期不同步和網絡時延丟包是異采樣率雙環NCSs的特點。

目前對于NCSs控制的研究主要集中在單環系統和串級控制系統的建模、穩定性分析、保性能問題和控制器設計方面，對于異采樣率NCSs的研究還很少。文獻［2－5］研究了具有數據包丟失的單環NCSs建模問題;文獻［6－10］分析了多輸入輸出NCSs建模并推導了保性能穩定條件;文獻［11－12］討論了網絡化串級控制系統穩定性問題。由于常規NCSs方法難以適用于異采樣率雙環NCSs，因此有必要對此進行特別分析。

筆者研究了異采樣率雙環NCSs建模和穩定性，利用提升技術對內環和外環統一建模、馬爾可夫鏈描述網絡節點丟包，采用Lyapunov方法得出隨機穩定的充分條件。

1　網絡控制系統建模

異采樣率雙環NCSs結構如圖1所示。系統包括被控對象(分解為被控對象1和被控對象2，兩者為串聯)、2個傳感器、2個控制器和1個執行器。內控制環由被控對象1、傳感器1、控制器1和執行器組成，外控制環由被控對象1、被控對象2、傳感器2、控制器2、控制器1和執行器組成。考慮以下連續時間NCSs模型:

被控對象1

其中:被控對象1狀態xp1( t)∈Rn;被控對象1輸入up1( t)∈Rm;被控對象1輸出yp1( t)∈R; A1，B1，C1是系數矩陣。

被控對象2

其中:被控對象2狀態xp2( t)∈Rn;被控對象2輸入up2( t)∈Rm;被控對象2輸出yp2( t)∈Rp; A2，B2，C2是系數矩陣。

假設傳感器節點為時間驅動，控制器和執行器為事件驅動。內環采樣周期為T1，外環采樣周期T2，T1＜T2。各個節點間的網絡誘導時延是時變不確定的，分別表示為τca、τsc1、τss、τsc2，令τ1=τca+τsc1、τ2= τca+τss+τsc2，且均小于內環采樣周期T1。數據采用單包傳輸，傳輸過程存在數據包丟失問題，丟包符合馬爾可夫鏈過程。

圖1　異采樣率雙環網絡控制系統Fig. 61Double-loop network control system in different sampling periods

在此只考慮系統的內外環采樣周期成整數倍關系的情況，即T2= mT1( m為正整數)。在T2≠mT1或T1＞T2時，同理。

離散NCSs模型( 1)和( 2)，有

被控對象1:

被控對象2:

系統內環和外環存在T2= mT1的關系，直接建立模型難以說明內外環采樣周期不同的特點，故采用提升技術，將內環采樣周期T1選定為基本周期，以單位外環采樣周期T2為大周期，將內環變量處理成多周期采樣系統(圖2)。m不為正整數，亦可以采用提升技術，只需將T1和T2的最小公約數選定為基本周期即可。

采用提升技術擴展變量，包括內環狀態量和被控對象2輸入量:

圖2　采用提升技術的系統示意圖Fig. 62Lifting technology of schematic diagram

對角陣M( k1)和Λ( k1)表示控制器1與執行器和傳感器1的網絡通信情況;引入Π( k1)和Δ( k1)表示控制器2與控制器1和傳感器1的網絡通信狀況。采用δt分別表示網絡節點t的通信成功情況，假設函數δt( k)是取值為0或1的馬爾可夫鏈，且相互獨立，當δt( k) = 0時，說明網絡發生數據信號丟失，則有下述關系:

1，則M( k1)，Λ( k1)，Π( k1)和Δ( k1)分別為

其中:矩陣M( k1)中每一個變量都由前一周期的轉移概率決定，則矩陣M( k1)馬爾可夫鏈的狀態轉移概率仍為

prob{ M( k1+ 1) | M( k1) } =αij。

同理可知prob{Λ( k1+ 1) |Λ( k1) } =βsr。令M = M( k1)，Λ=Λ( k1)，Π=Π( k1)，Δ=Δ( k1)且考慮數據包丟失，被控對象和控制器輸入為

設系統狀態增廣量可以表示為

z( k) =［xep1xp2ue1p1ue2p1ue1c1u2c1uc2］T，

其中:且W1= Aep1+ Be11p1W4W6; W2= Be11p1( I－M) + Be12p1; W3= Be21p1( I－M) + Be22p1; W4= Mke1c1; W5= Mke2c1; W6=ΛCep1; W7=Πkc2; W8=ΔCp2。

2　穩定性分析

引理1［13］( Schur補定理)給定常數矩陣A，P，Q，其中Q = QT，PT= P＞0，則ATPA + Q＜0成立，當且僅當

定理1如果存在正定矩陣P［δ1( k)，δ2( k)，δ3( k)，δ4( k)］使下式成立:

其中:

則閉環系統( 3)是隨機穩定的。

證明構造李雅普諾夫函數: V［z( k)］= z( k)TP［δt( k)］z［( k)］，

其中，P［δt( k)］是待定正定矩陣。

其中，

如果F［δt( k)］＜0，則有

其中，Γ=－λmin{ F［δt( k)］}＞0，則當T≥1時，

故閉環系統是隨機穩定的。

3　控制器設計

利用Schur引理，式( 4)可等價于

其中: Nd=［N1…Ni］; P = P(δt( k) ) ;

參考文獻［9］，利用錐補線性化算法，記矩陣( 5)為Ψ［δt( k)］，用Ω［δt( k)］記作矩陣中的+ 1)］，則優化問題為

優化問題通過迭代算法求解:

(ⅰ)由式( 1)解出式( 6)的一組可行解P0［δt( k)］，Ω0［δt( k)］和K0，迭代次數j = 0;

(ⅲ)若P［δt( k)］符合式( 5)，則停止，得到可行解。否則令j = j + 1，重復上述步驟。

4　仿真實例

離散化后系統模型為τ1和τ2為內環網絡時延和外環網絡時延。

仿真時間為200 s，內環采樣周期為1 s，外環采樣周期為3 s，網絡丟包率為0. 2，系統初始值為［2－0. 5］。由錐補線性化法，得控制器增益矩陣參數為kc1=－0. 19，kc2= 0. 35。

對比采用文獻［14］中的魯棒控制器設計方法計算異采樣率雙環NCSs控制器，則增益矩陣參數為kzc1=－0. 2，kzc2= 0. 12。

對比圖3、圖4和圖5、圖6 (圖中Y1、Y2分別是控制系統中被控對象1、2的輸出)，可以發現魯棒控制器設計難以適用于異采樣率雙環NCSs，系統達到穩定的時間更久，且波動幅度更大，而錐補線性化法設計控制器效果更優。證明了文中對異采樣率雙環NCSs的建模、穩定性分析和錐補線性化法設計控制器是正確的。

5　結論

圖3　時延為0.5s的系統輸出曲線Fig. 63Output curve at 0.5s delay time

圖4　時延為0.5s存在丟包的系統輸出曲線Fig. 64Output curve of packet dropout system at 0.5 s

討論了存在數據包丟失的異采樣率雙環NCSs建模和控制器設計問題。將異采樣周期系統內環建模成多采樣周期模型，使系統變量統一到單位外環采樣周期內，并利用馬爾可夫鏈描述數據包丟失，綜合建立狀態增廣矩陣。利用李亞譜諾夫理論給出系統的隨機穩定充分條件，設計了控制器，并以實例來證明方法的有效性。

圖5　時延0.5s魯棒控制器的輸出曲線Fig. 65Output curve of robust controller at 0.5 s delay time

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Double-loop network control system
in different sampling periods and data packet dropout

LIANG Cheng-he，LIU Dian-ting
( College of Mechanical and Control Engineering，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China)

Abstract:A class of multi-rate double-loop network control system is studied．The system is composed of innerloop and outer-loop with different sampling periods and packet loss．In the paper，the inner loop was extended to multi-sampling cycle model by lifting technology to solve the problem of unified modeling of the inner-loop and outer-loop．Then Markov chain is used to describe the packet loss process by lifting technology．Based on the method of Lyapunov，sufficient conditions for stochastic stability of network control systems are given．The controller design method is discussed．Finally，numerical examples are studied to verify the effectiveness of the proposed method．

Key words:network control system; differential sampling rate; Markov; packet dropout

通訊作者:劉電霆，博士，教授，liudian@163. com。

作者簡介:梁澄河( 1988—)，男，碩士研究生，研究方向:檢測技術與自動化裝置，lch5639355@163. com。

基金項目:廣西高校優秀人才項目(桂教人［2009］62) ;廣西汽車零部件與整車技術重點實驗室項目( 2013KFMS03) ;廣西高校重點科研項目( 201202ZD048) ;廣西研究生教育創新計劃項目( YCSZ2014153)

收稿日期:2013－03－13

doi:10. 3969/j．issn. 1674－9057. 2015. 01. 034

文章編號:1674－9057( 2015) 01－0207－06

文獻標志碼:A

中圖分類號:TP273

引文格式:梁澄河，劉電霆．具有丟包的異采樣率雙環網絡控制系統［J］．桂林理工大學學報，2015，35 ( 1) : 207－212．