例說高中數學“問題解決”的課堂教學

錢朝暉++陳宇峰

在高中數學課堂教學中實施“問題解決”教學模式，將有助于學生在掌握數學基本知識、基本技能的基礎上經歷數學化的發現問題、提出問題、解決問題的過程，從而在解決問題中提升“問題解決”的能力。如何在數學課堂教學中實施“問題解決”教學？本文以教學片段為例進行說明，供大家參考。

一、創設問題情境，感知、理解問題，提升提出新概念的能力

【課例1】“分數指數冪”的教學片段

教師：1898年12月26日，居里夫人發現了鐳。現在，人們已經知道鐳的半衰期約為1600年，即每經過1600年，有一半的鐳會變成其他物質。問：1克鐳在分別經過3200年、4800年后，還剩下多少克？

學生1：分別剩下克克。

教師：即 克和 克。假定鐳的衰變是“勻速”的，那經過2400年，1克鐳還剩下多少？

學生2：（遲疑地） 克？

（答案的怪異引起了全體學生的普遍興趣，“究竟是多少？”成為學生亟待解決的問題。）

教師： ，很怪異。能否給這個數下個定義，使它“合情合理”？

在經過了簡短討論后，有學生舉手發言。

學生3： = = =

（學生3的回答引起了同學們的一片贊嘆。）

教師：有道理。如果經過1200年，1克鐳還剩下多少？

學生4： 克，即 = = 克。

（學生4的回答得到了全體同學的贊同。）

教師：同學們似乎很贊同這個答案，但這個答案很“大膽”。所謂“大膽”，在于“分數指數”“四次根式”和運算性質“ = ”還沒有接觸過，是否成立還不知道。今天這節課就來探討這些問題。（下略）

【評析】在課例1中，分數指數冪對初學的學生來說就是一個不能直接用整數指數冪進行計算的情境狀態，需要重新定義其意義。規定相應的運算法則，這個問題一旦解決，將有助于學生形成對有理數指數冪的完整認識，進而完成從有理數指數冪到實數指數冪的認識飛躍。“問題解決”教學模式下的問題必須具備兩個顯著的特點：一是挑戰性，學生不能直接應用以前的知識和方法找到問題的解法和答案，必須經過深入探究與思考、重新整合已有知識與能力儲備才能得出答案；二是可接受性，即它能激起學生的學習興趣，使其產生較高的解決問題的欲望，愿意運用已掌握的知識和方法去解決。課例1中教師通過科學背景（鐳的半衰期）創設了問題情境，既有挑戰性又有可接受性。

二、解決問題，獲得知識，發展數學思維能力

在教師創設的問題情境中，學生發現問題、提出問題，僅是“問題解決”課堂教學的第一步，經歷解決問題的過程并從中獲得新知識、提升技能、體味成就感是“問題解決”課堂教學的核心環節。

【課例2】等比數列前n項和的推導過程

教師提出下列問題：小林、小明玩“貸款”游戲，規定：在一個月（30天）中，小明第一天貸給小林1萬元，第二天貸給2萬元……以后每天比前一天多1萬元；而小林則以這樣的方式還貸：第一天支付1分錢，第二天支付2分錢……以后每一天支付的錢是前一天的2倍。試計算30天后兩人各得的錢數。

學生很快由等差數列前n項和公式算出了小林得到的總額：1+2+3+…+30=465（萬元），而對小明獲得的總額僅僅列出了算式：1+2+4…+229（分），同時紛紛感到小明“虧大了”。

教師：同學們都感到小明“吃虧了”，那究竟“虧”了多少？1+2+4…+229的值究竟是多少？把它們逐項相加，顯然是很麻煩的。能否像等差數列前n項和求和一樣，發現規律減少運算量呢？學生感到無從下手。

教師接著點撥：算式1+2+4…+229其實就是等比數列1，2，4，…，2n-1，…前30項的和，這個等比數列的公比為2，也就是說，從第二項起每一項是前一項的2倍，能否以此作為解題的突破口？

部分學生若有所悟，在小組討論的基礎上，個別同學終于有所發現。

學生1：令S=1+2+4+…+229，則2S=2+4+8…+230，把兩式相減，可以得到：S=2S-S=230-1，即1+2+4+…+229=230-1。

解法的新奇讓其他學生恍然大悟。

教師：這位同學充分應用了等比數列的特征，通過在原式左右兩邊同乘以2，再把兩式相減，消去了中間項，簡化了計算。對于一個首項為α1，公比為q的等比數列{αn}，它的前n項和如何計算呢？（下略）

【評析】在課例2中，教師引導學生解決了等比數列前n項和的一個特殊情形問題，雖然問題比較簡單，但對學生而言，卻是一個創新過程。在教師的啟發幫助下，通過自主學習、合作交流，學生在課堂上完全能解決這一問題。解決數學問題，從根本上來講是把已學到的數學知識運用到新的情境中去的過程，是一種對已經掌握的數學概念、規則、方法和技能重新組合的創造性運用。開展問題解決教學，絕不是教師講題目、學生模仿的教學過程，需要經歷直觀感知、觀察發現、歸納類比、空間想象、抽象概括、符號表示、運算求解、數據處理、演繹證明、反思與建構等思維過程，它能引導學生主動地對問題進行思考、探索、研究、討論、解決和驗證，獲得真實的情感體驗和豐富的實踐經驗，理解數學知識間的聯系，并運用所學知識和方法解決問題。

三 、總結評價，提升自我反思和評價能力

在解決問題之前，教師應引導學生對解題活動作出整體性規劃；在問題解決以后，教師還應引導學生對求解過程和結果進行檢驗與評價，審視解題過程是否合理、簡便，有無其他解答方法，結果是否正確，能否通過一般化、特殊化、變換條件等方式對問題進行拓展與變式。如果發現過程或結論錯誤，應認真分析錯誤的原因，并及時糾正錯誤，使問題獲得正確答案。

【課例3】（接課例2）首項為α1、公比為q的等比數列{αn}的前n項和公式的推導

學生2：令S=α1+α1q+α1q2+…+α1qn-1，則qS=α1q+α1q2+…+α1qn，把兩式相減，可以得到：（1-q）S=α1-α1qn，即S= 。

教師：請同學們考慮一下，這個結果對嗎？

在小聲討論之后，學生找出了錯誤。

學生3：（1-q）S=α1-α1qn，當q≠1時，才有S= 。

當q=1時，S=nα1。

教師：很好，等比數列的公比為1時，1-q為0，此時，等式兩邊不能同時除以1-q。同學們還有其他解法嗎？

受學生2解法的啟發，其他學生紛紛發言：

學生4：令S=α1+α1q+α1q2+…+α1qn-1，則 S= + α1+α1q+α1q2+…+α1qn-2，把兩式相減，可以得到：（1- ）S=α1qn-1- ，當q≠1時，有S= 。

學生5：令S=α1+α1q+α1q2+…+α1qn-1，

則S=α1+q（α1+α1q+…+α1qn-2）=α1+q（S-α1qn-1）

變形，可得（1-q）S=α1-α1qn，當q≠1時，有S=

教師：同學們的解法很多。同學2和同學4所采用的求等比數列前項和的方法稱為“錯位相減法”，同學5則采用了整體代換的方法，這些解法都充分利用等比數列各項之間的關系減少了中間項，從而簡化了計算。在運用等比數列前項n和公式時，一定要注意對是否為1進行討論。

【評析】總結評價是構成數學問題解決過程的一個不可缺少的步驟，它對學生反省解題過程，保證解題過程及結果的正確性，養成從不同角度去分析和解決問題的能力及思維習慣，提高學生自我反思和評價能力都具有十分重要的意義。應經常要求學生反思這樣的問題：“你是怎樣想的？”“你能轉化題目中的哪些條件？”“能否把問題特殊化（一般化）？”“如果……，怎么樣？”“你認為哪個解答更好？”等，以此來吸引學生的注意力，使學生逐步具有反思的意識和習慣。

用“問題解決”方式組織課堂教學，讓學生通過觀察與實驗、分析與綜合、一般化與特殊化、類比與歸納等學習活動，經歷知識發生發展的過程，有助于激發學生的學習熱情，在發現問題、解決問題的過程中，培養學生的數學思維，提高學生的解題能力、學習能力，使其養成自我反思和自我評價的習慣。