關于運算意義構建的思考

俞正強，浙江省小學數學特級教師，北京師范大學教育家書院兼職研究員，浙江師范大學碩士生導師，浙江省金華師范學校附屬小學校長。

小學數學中的運算主要有加、減、乘、除四種。目前，我們對加、減、乘、除這四種運算的定義基本上是這樣的：加法，將兩個數合并成一個數的運算叫加法;減法，已知兩個數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算叫減法;乘法，求幾個相同加數和的簡便運算;除法，已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算。

從這些運算定義來看，加法是所有運算的源頭。減法是依據加法來定義的，是加法的逆運算;乘法也是依據加法來定義的，是加法的簡便運算;除法是乘法的

逆運算。

由此看來，所有的運算在本質上都是加法。

那么，這樣的定義合理嗎？

一、意義構建的兩種基本樣式

我在《小學數學概念教學的兩種基本樣式》一文中，對概念的意義構建做過

分類。

類型一：概念本身能夠在生活中找到原型。學生在生活中因為對原型的經歷，已經具備該概念所包含的內涵和外延的理解。我們把這種概念的意義構建表述為：

類型二：概念本身在生活中找不到原型。學生在生活中沒有關于該概念的任何經歷。我們把這種概念的意義構建表述為：

按照這兩種分類考察我們對運算意義的定義，應該屬于第二種：將學生視為空白定義運算意義。先定義一個加法，再以加法為標準，定義減、乘、除，形成小學階段的運算系統。這樣的意義構建合理嗎？

二、加、減、乘、除的運算原型

加、減、乘、除在生活中是各有原型的。生活中的所有運算可分為兩類：分與合。這兩種運算用政治語言來表達即統一與分裂，用物理語言可以描述為聚與裂，用倫理語言可描述為結婚與離婚等，用數學語言來表述就是加與減。

由部分而為整的，我們稱之為合，即加。由整而為部分的，我們稱之為分，即減。生活中，是先有分還是先有合？若先有合，那部分從何而來？若先有分，那整體又從何而來？因此，分與合可以轉化，卻不可從屬。分與合是獨立而又彼此相通的兩種運算。合久必分，分久必合。合就是合，分就是分。

何為合，何為分？學生在生活中已經有了充分的認識，絕不會混淆。那“比”是“分”，還是“合”呢？

生活中有許多關于“比”的原型。就“境”而言，“比”應該屬于分，即把一個比較物分為另一比較物與比余部分。

討論完加與減之后，再來討論乘和除，乘、除有原型嗎？

生活中的運算分為分與合，這個世界是秩序井然的，是賦予生命以安全感的，那這種秩序井然與安全感是怎么來的呢？因為世界的分與合充滿規律，這種規律性表現在運算上就是等合與等分。

什么是等合？比如，今天合進來的一天有24小時，明天合進來的一天也是24小時，不會突然變成2小時。這種等合是世界有序與安全的原因。這種等合原型，生活中比比皆是，將此種原型定義為乘法。

那么等分呢？這種分法當然就更普遍了，我們將等分定義為除法。除法首先是獨立于乘法而存在的一種運算，其次是可以與乘法相轉化的一種運算。如果這一認識成立，那小學數學的運算體系可以描

述為：

三、為什么要討論這個問題

我們為什么要討論加、減、乘、除的意義構建呢？我們先來分析一個案例。

小學一年級數學教師都有一種糾結，這個糾結來自以下類型的題目。

這幅圖用一個算式來表示，正確的算式是：

但學生很喜歡用下列算式來表示：

教師怎么跟學生講也講不明白，結果是，現在許多地方在改革的旗幟下變成這樣的題目：

讓學生填出三個算式：

5-2=3

5-3=2

2+ 3=5

教師千萬不要小看這種對題目題意的隨意給學生數學學習帶來的傷害，造成這種困頓的原因來自我們對運算意義構建的不合理。

現在，我們看這幅圖。就圖境而言，是在分還是在合？顯然，所有學生會認為這是一個“分”境，飛走兩只天鵝，飛走了，用減法。但就量而言，是兩個部分，即飛的部分與不飛的部分，這兩部分在同一幅畫中，自然要用加法。

而小學數學加法的運算意義正是基于量的判斷而建立起來的，學生正是用我們所教的意義來認識的。因此，我們教學中遇到問題，沒有真正認識問題，而是用一種和稀泥的方法掩蓋過去，美其名曰“一題多解”，是一件十分有后患的事情。

四、意義，問題解決的審題抓手

課改之前，我們叫解應用題，課改之后，我們叫問題解決。課改之前，我們教學生解應用題，總是先讓學生熟背數量關系式，也叫關系等式。例如，部分數+部分數=總數、大數–小數=相差數。運用關系等式，用綜合法與分析法來解決應用題。

（2）班采摘15千克，（3）班采摘20千克，一共采摘多少千克？

分析法：

綜合法：

在課程改革時，認為這樣做比較難，放棄關系等式，不再使用分析法與綜合法。教師認為沒法教，因為沒有抓手，于是還是偷偷地用老辦法。

各個版本的教材在修訂時，似乎關系等式又有所出現，但出現得不盡興，教師摸不清是什么意圖，于是又按自己的老方法教學。

其實，解決問題不用數量關系不要緊，數量關系是建筑于相應運算意義的建構之上的，我們不用數量關系就要相應地改變運算意義的建構。再舉個例子，不同的意義建構會帶來不同的審題過程。

兩個班共采摘35千克，（1）班采摘15千克，問（2）班采摘多少千克？

版本1：讀題，已知總數和部分數，求另一個部分數，用減法。

列式：35-15=

版本2：讀題，這是一個“合”境，用加法。

列式：15+〇=35

這就是兩種不同的意義構建帶來的不同審題。

五、結語

加、減、乘、除是對生活原型的定義，而問題解決的情境就是一個理想化的原型。只有運算意義符合生活原型時，它才會成為問題解決的審題基礎。

（責任編輯：孫建輝）