以趣促學(xué)正弦定理

遠(yuǎn)麗曉

新課程理念指出：興趣是最好的老師。我認(rèn)為數(shù)學(xué)興趣是推動學(xué)生積極學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種巨大動力。有了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)生在學(xué)習(xí)中就能產(chǎn)生很大的積極性，從而產(chǎn)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)需求，最終體驗到學(xué)習(xí)的樂趣。在新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修五第一章的正弦定理的學(xué)習(xí)中，先提出現(xiàn)實問題來引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，進(jìn)而引入課堂知識。

一、情景假設(shè)，引入課題

在河岸一邊有一棵樹，在河岸另一邊也有一棵樹，給予量角及皮尺，考慮如何在不過河的情況下測得兩棵樹之間的距離？那么在這個問題中可以構(gòu)造三角形來求解。

三角形是最簡單的平面圖形，同學(xué)們從初中就開始研究三角形，會求面積，周長，證明三角形全等及相似，知道三角形的分類以及直角三角形滿足勾股定理。在必修四中利用直角三角形學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)。小小圖形中隱藏了無限的寶藏，這節(jié)課我們繼續(xù)踏上刺激的尋寶之旅，去尋找一般三角形中邊、角關(guān)系的準(zhǔn)確量化關(guān)系——正弦定理。

二、溫故知新，提出猜想

如圖，在[Rt?ABC]中，角C為直角，角A，B，C的對邊分別為a，b，c。

由銳角三角函數(shù)的定義，可以寫出[sinA=ac]，[sinB=bc]，[sinC=cc=1。]各個式子中都含有相同邊c，那么可以把式子拓展為[asinA=bsinB=csinC。]

這是我們要尋的寶藏嗎？此式僅僅適用于直角三角形，還是適用于所有三角形？可見尋寶之旅才剛拉開帷幕。

三、抽絲剝繭，水落石出

如圖，當(dāng)[ΔABC]為銳角三角形時，我們可以通過作三角形的高來

構(gòu)造直角三角形，作AC邊高BD，在[RtΔBCD]中，[BD=asinC]，在[RtΔABD]中，[BD=csinA]，于是有[asinC=csinA]，寫成比例式為[asinA=csinC。]同理，作BC邊的高，可以得到[bsinB=csinC。]由此可得，在銳角三角形中，總有[asinA=bsinB=csinC。]

在此，我們運用轉(zhuǎn)化的思想，將銳角三角形中的問題，轉(zhuǎn)化到直角三角形中去解決。所以，當(dāng)[ΔABC]為鈍角三角形時，我們也可以通過作三角形的高來構(gòu)造直角三角形，進(jìn)而得到在鈍角三角形中[asinA=bsinB=csinC]也成立。

在教與學(xué)的關(guān)系上，古人強(qiáng)調(diào)教必有趣，以趣促學(xué)，而現(xiàn)代教學(xué)理念更加強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣來提高學(xué)習(xí)的自覺性。那么有了正弦定理，課堂開始的問題也就迎仞解決，在河岸邊隨便選取一點，使其與兩棵樹構(gòu)成三角形，用皮尺量出此點與同一側(cè)樹之間的距離，再用量角器量出同側(cè)兩個角，利用正弦定理來求出兩棵樹之間的距離即可。

對于正弦定理的推導(dǎo)，方法并不唯一。三角形中蘊藏的寶藏遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出我們的想象。利用幾何法進(jìn)行推導(dǎo)，需要引入三角形外接圓及其半徑，從而證明[asinA=bsinB=csinC=2R。]

如圖，當(dāng)[ΔABC]為銳角時，角A，B，C對邊分別為a，b，c。通過作AB邊高CH，可以得到[asinA=bsinB]，作三角形另外兩條高，可以得到式子[asinA=bsinB=csinC]成立。此時，作三角形外接圓，過B作圓直徑BD，即[BD=2R。]在圓中，根據(jù)等弧對等角，[∠ACB=∠ADB]，在[Rt?BAD]中，[BD=ABsin∠ABD=csin∠ACB]，整理即為[csinC=BD=2R]，同理，過A作直徑可以證得[bsinB=2R]，過C作直徑可以證得[csinC=2R。]所以，在銳角三角形中總有[asinA=bsinB=csinC=2R。]

對于直角三角形，作三角形外接圓，直徑就是三角形斜邊，很容易得到[asinA=bsinB=csinC=2R。]成立

如圖，在鈍角三角形ABC中，過A作外接圓直徑AD，則[∠ADC=180°-∠ABC]，在[Rt?ACD]中，[2R=AD=ACsin∠ADC=bsin（180°-∠ABC）=bsin∠ABC]，即[bsinB=2R]，同理也可以證得[asinA=2R]，[csinC=2R。]所以在鈍角三角形中[asinA=bsinB=csinC=2R]也成立。

綜上可見，在一般三角形中，總有[asinA=bsinB=csinC=2R。]

四、鞏固訓(xùn)練，深化提高

我們把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形。由正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，我們可以解決兩種解三角形的問題：

1.已知任意兩角及一邊；

2.已知任意兩邊及其中一邊對角。

例1：在[?ABC]中，已知[A=45°]，[B=60°]，[c=4]，解這個三角形。

解：由三角形內(nèi)角和定理得

[C=180°-A+B=180°-45°+60°=75°]

由正弦定理[asinA=bsinB=csinC]得

[a=csinAsinC=4sin45°sin75°=4sin45°sin30°+45°=4*2212*22+32*22=43-4]

[b=csinBsinC=4sin60°sin75°=4sin60°sin30°+45°=4*3212*22+32*22=62-26]

例2：在[?ABC]中，[a=3]，[b=6]，[A=23π]求B。

解：由正弦定理[asinA=bsinB]，得

[3sin23π=6sinB]，得[sinB=22]

因為[a>b]，所以[B=π4。]

興趣是人們活動強(qiáng)有力的動機(jī)之一，它能調(diào)動起人的生命力，使大家對于自己熱衷的事情樂此不疲。將正弦定理的學(xué)習(xí)過程視為尋寶的旅途，最終得到鉆石級別的寶藏——正弦定理，原來任意三角形的各邊和它們所對角的正弦值的比是相等的，而且這個寶藏還能幫助我們解三角形。