多元函數條件極值的求解問題探討

鄒嘉政+葉博

摘 要：本文主要研究的上海某企業生產的手工品產銷問題，通過仔細查閱相關資料，對此問題可以使用求多元函數條件極值的方法來求解，其目標函數就是產品的生產成本最小化，以期利潤的最大化，其約束條件就是與各成本有關的各個因素。為此，建立了求解多元函數條件極值的數學模型，并利用線性和非線性問題最優化求解軟件——LINGO，進行數學模型的求解。對此產銷問題，論文著重解決的了兩方面的內容：

（1）盡地闡述了產品在生產過程中，哪些因素對產品的成本產生影響。具體情況如下：若當月需求不能得到滿足，顧客可在后續某月得到滿足，但公司需對產品進行打折，這就需要考慮產品的缺貨成本。

（2）闡述了降價促銷的策略。利用第一個項內容數學模型和計算的基礎上，可以得出降價促銷方案的利潤值。通過計算，所得結論是：雖然降價促銷可以使得總成本降低，可降低幅度不大，同時卻交大幅度地降低產品的總銷售額，使得降價促銷時產品的總利潤亦隨之減少了。因此，從最大利潤角度考慮，舍去促銷方案，即得到所得到的產銷方案就是最優的。

關鍵詞：多元函數條件極值；最小成本；最大利潤；LINGO

一、多元函數條件極值的問題

求函數z=f（x，y） （1）

在條件 （2）

下的取得條件極值的條件。

若是在P0（x0，y0）處取得條件極值，必滿足方程（2），

（3）

方程（2）可確定一個隱函數y=φ（x），代入（1）

z=f[x，φ（x），] （4）

函數（1）在P0（x0，y0）取得條件極值，相當于函數（4）在x=x0處取得無條件極值。

據一元函數取得極值的必要條件有

（5）

由（2）式有

代入到第（5）式有

（6）

由討論可知，（3）與（6）便是函數在點（x0，y0）取得條件極值的必要條件，我們作適當的變形。

令，有

這三個式子恰好是函數

的三個偏導數在點（x0，y0）的值。

1.產銷問題

表1 產品需求預測估計值（件）

7月初人數為12，每月工作21天，每天工作8小時，工人每個月加班時間不得超過10個小時。7月初的庫存量為400臺。銷售價格為260元/件。銷售特點是，如果當月的需求不能得到滿足，顧客愿意等待該需求在后續的某個月內得到滿足，但公司需要對產品的價格進行打折，可以用缺貨損失來表示。12月末的庫存為0。

表2 產品各項成本費用

（1）建立數學模型并制定出一個成本最低、利潤最大的最優產銷方案；

（2）公司銷售部門預測：在計劃期內的某個月進行降價促銷，當產品價格下降為240元/件時，則接下來的兩個月中6%的需求會提前到促銷月發生。試就7月份（淡季）促銷和11月份（旺季）促銷兩種方案以及不促銷最優方案（1）進行對比分析，選取最優的產銷規劃方。

2.問題分析

通過分析，該題可以歸結產品生產銷售的非線性規劃問題，根據該題目所列的約束條件和決策變量，列出目標函數，將該題目轉化為一個數學規劃模型，進行分析和討論。建立了一個針對多變量求解目標函數最小成本的非線性規劃模型。并在一定假設的條件下，應用lingo軟件對該問題進行相關的分析及求解。

3.模型假設

（1）認為產品的銷售價格、預計需求量以及各種成本因素不受市場供需或其他因素的影響而出現變化。

（2）當月的產品不產生庫存費。

（3）可認為各個月的招聘人和解聘人之間是相互無關的變量，各自獨立，忽略工人的病假和事假情況。

（4）假設題中七月初的工人數為前一月月末的工人人數。

4.變量符號

5.模型分析

首先對此存在外包情況進行定量分析，將所得結果與雇傭工人生產產品的單件成本對比，根據成本最小化原則進行取舍。計算以雇傭工人方式生產一件產品最大成本為：

最大成本=原料成本+缺貨損失+勞動力花費：

最大成本=100+20+（50+100）*1.6÷（32*8）+1.6*18=150.23元小于外包成本的200元，舍去外包情況。

二、總結

此產銷數學模型的優點為：

1.建立模型簡單易懂，容易編程。

2.模型注重效率的提高，通過的數據的篩選，用matlab軟件大大減少了處理數據的時間。

3.在分析不同年份并且不完整數據的時候，從大的方面開始處理，然后再一步步細化，直到分的很詳細為止，討論問題的方法簡潔易懂，具有很高的可讀性。

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