高超聲速飛行器單因素融合魯棒預測控制

付亮，馬亞磊，蔡遠利

(西安交通大學 控制工程研究所，陜西 西安710049)

0 引言

高超聲速飛行器飛行高度高、速度快和突防能力強的特點，使其具有巨大的軍事價值和經濟價值，成為航空航天領域的研究熱點。高超聲速飛行器的氣動特性和飛行動力學特性變化劇烈，參數存在較強的不確定性，迎角和舵偏等受到嚴格的約束條件限制［1-2］，使其成為學術研究的難點。

近年來，一些先進的控制算法被用于高超聲速飛行器的控制器設計中，如魯棒控制［3］、模型參考控制［4］和自適應控制［5］等。這些算法無法顯式處理約束條件，只能通過調節設計參數或者調節參考軌跡的變化速率來保證狀態和控制在給定約束條件內，但是，這是以犧牲部分控制性能為代價的。針對上述問題，文獻［6-7］提出將預測控制方法應用于高超聲速飛行器，該方法可以在設計控制器時即考慮控制和狀態的約束，是非常有效的處理多變量、受約束系統的控制方法。但是由于其需要在每一步進行在線優化計算，在線計算時間較長，無法滿足高超聲速飛行器控制的實時性要求。針對在線魯棒預測控制的計算時間問題，文獻［8］提出離線魯棒預測控制算法，把在線優化轉化為離線優化，極大地減少了計算時間;但是其在設計控制律時是對系統進行整體設計的，忽略了各個因素對控制的影響程度，導致系統調節時間較長。

本文考慮各個因素對控制的影響程度，提出了單因素融合預測控制方法，并將其應用于高超聲速飛行器的控制器設計中。首先在平衡點將高超聲速飛行器的動力學模型進行小擾動線性化得到預測模型;然后，給定一系列離散的單因素狀態，離線設計單因素橢圓不變集序列和相應的控制量序列，在線時將離線獲得的單因素控制量序列進行融合獲得最終控制規則，作用到高超聲速飛行器(非線性模型)，仿真結果驗證了方法的有效性。

1 問題描述

高超聲速飛行器的運動可以分解為縱向運動和側向運動。本文針對高超聲速飛行器的縱向運動進行研究，其典型的非線性運動模型為:

式中:V，γ，H，α，q 分別為飛行速度、彈道傾角、飛行高度、飛行迎角和俯仰角速度。考慮典型的高超聲速飛行器模型［9］，飛行器飛行參數為:

將式(1)寫成向量形式，離散化為:

式中:狀態變量 x=［V，γ，H，α，q］T;控制變量 u=［η，δz］T。本文控制目標是通過控制舵偏和發動機節流閥開度，使得飛行器高度和速度快速跟蹤參考指令信號。

2 單因素融合魯棒預測控制

2.1 魯棒預測控制基本原理

本文采用不確定性描述方式，考慮時變不確定系統:

即存在 L 個非負系數 λi(k)，i∈{1，…，L}，使得

控制及狀態約束為:

魯棒預測控制即:對于式(3)，最小化最壞情況的性能指標［6］:

對于式(3)，在約束式(6)下，定義 Qt=γP－1及Yt=FQt，上式等價于最小化性能指標上界 γ＞0，即:

式中:j=1，2，…，L。

求解式(8)～式(11)，若該優化問題存在可行解，定義橢圓不變集為，則控制律為若優化初始可行，則閉環系統為魯棒漸近穩定的。

2.2 離線魯棒預測控制原理

2.2.1 離線設計橢圓不變集

在狀態可行域中設計一系列離散狀態點xi，i∈{1，2，…，N}，用 xi代替式(9)中的 x(k)，優化式(8)～式(11)，得到相應的控制增益和橢圓不變集}，將和 Fi存儲于可查詢表中。xi應滿足條件，?i=2，…，N，即橢圓 εi－1包含橢圓 εi。

2.2.2 在線查找控制規律

對于k時刻系統狀態x(k)，在上述表中查找i，使得x(k)TQi－1x(k)≤1且(i=1，2，…，N －1);或者(i=N)，那么在線實時控制律為u(k)=Fix(k)。初始狀態x(0)滿足x(0)TQ1－1x(0)≤1 時，狀態x最終收斂于平衡原點，控制器使得閉環系統漸近穩定。

2.3 單因素融合魯棒預測控制算法

傳統離線魯棒預測控制器在離線生成橢圓不變集序列的同時，考慮了狀態變量中所有子變量，生成了一組橢圓不變集序列，忽略了各子變量在橢圓集中的“權重”。因此，本文將狀態變量單獨研究，提出了單因素融合魯棒預測控制算法。

2.3.1 離線計算單因素橢圓集序列及其控制增益

對于系統式(3)，假設系統狀態變量為 x=［x1，x2，…，xn］，針對系統狀態中需要跟蹤的 m 個狀態子變量xi單獨離散取點，得到系統變量m個一維子空間xi(i=1，2，…，m)，用xi代替式(8)中的x(k)，優化式(8)～式(11)，生成m組單因素橢圓不變集序列εi，其中每組橢圓不變集序列包含N個橢圓，將m×N個離線控制律參數和橢圓不變集(i=1，2，…，m;j=1，2，…，N)存入可查詢表中。

2.3.2 在線插值融合計算

其中，α滿足如下條件:

根據單因素控制律權重系數，將上述所得單因素控制律進行加權融合，可得系統控制律為:

3 高超聲速飛行器單因素融合魯棒預測控制器設計

3.1 預測模型

本文采用小擾動線性化模型作為高超聲速預測模型。在平衡點(V=16 635 km/h，γ =0°，H=33.56 km，α =1.79°，q=0 rad/s)將式(2)進行小擾動線性化，得到預測模型:

3.2 高超聲速飛行器控制規則設計

根據高超聲速飛行器飛行特點，為使高超聲速飛行器跟隨給定高度和速度參考指令信號，分別在速度和高度平衡點附近取離散狀態點:

分別針對速度和高度離散狀態點，運用單因素魯棒預測控制算法，可得速度和高度的單因素橢圓集序列與單因素控制量序列，并將單因素控制參數分別存儲于表V和表H。分別將基于速度和高度的單因素橢圓集映射到速度-高度平面，如圖1和圖2所示。

在線時，根據高超聲速飛行器當前狀態，分別在表V和表H中查找包含當前狀態的最小橢圓對，計算獲得高度和速度的單因素控制律，最后根據2.3.2節所述方法，將單因素控制律融合計算，最終獲得高超聲速飛行器控制律。由于上述控制律是針對偏量系統進行設計的，在實施控制規則時，應在控制量中加上相應的平衡點才能施加到原來的非線性系統中。

圖1 速度離散單因素橢圓集Fig.1 Univariate ellipse set based on the discrete velocity

圖2 高度離散單因素橢圓集Fig.2 Univariate ellipse set based on the discrete altitude

4 仿真試驗及結果分析

假設平衡點為高超聲速飛行器期望巡航狀態，給定初始狀態為(V0=16 525 km/h，γ0=0°，H0=33.528 km，α0=1.79°，q0=0 rad/s)?？刂谱兞亢蜖顟B變量的加權參數選取為合適維數的單位矩陣，考慮迎角約束－4°≤α≤8°，節流閥設定值與升降舵偏轉角的約束為0≤η≤4，－20°≤δz≤20°。仿真過程中質量在±50%之間攝動，攝動規則為m(t)=m0(1+0.5 sinθ)，其中θ為［－π/2，π/2］之間的隨機值，m0為飛行器參考質量。

分別采用在線魯棒預測控制算法［6］、離線魯棒預測控制算法［8］和單因素融合魯棒預測控制算法對高超聲速飛行器進行控制。所有的仿真均在Intel(R)Core(TM)i3-2310M CPU 2.10 GHz，2.00 GB，Matlab2009a上進行。仿真時間設置為20 s，在線魯棒預測控制算法仿真運行時間為259.5 s，離線魯棒預測控制算法仿真運行時間為2.5 s，單因素融合魯棒預測控制算法仿真運行時間為3.6 s。仿真結果如圖3和圖4所示。

圖3 系統部分狀態響應曲線Fig.3 Response curves of the state of the system

圖4 控制律變化曲線Fig.4 Varying curves of control law

由圖3和圖4可知，三種方法均可以實現對速度和高度參考指令信號的跟蹤，且系統狀態和控制變量滿足約束條件。在線魯棒預測控制算法在每一個采樣時間都需要求解關于線性矩陣不等式的優化問題，獲得最優控制律，因此，系統調節時間最短，振蕩較小，系統穩態偏差幾乎為0，但是需要的計算時間較長，不能滿足控制器實時性要求，以時間換取性能。離線魯棒預測控制算法與單因素融合魯棒預測控制算法將在線優化問題轉化為搜索與融合問題，以次優控制律代替最優控制律，在仿真運行時間驟減的同時系統調節時間變長，以控制性能換取仿真運行時間，滿足控制器實時性要求。由于單因素融合魯棒預測控制算法需要計算兩組橢圓集序列，因此，仿真運算時間多于離線魯棒預測控制算法。相比于離線魯棒預測控制算法，單因素融合魯棒預測控制算法在線計算控制律時考慮各狀態子空間對控制律的影響，將單因素控制律融合，控制“目的”更加明確，在減小仿真時間的同時，系統穩態偏差和系統調節時間明顯減小，系統振蕩較小，控制效果大大改善。

5 結束語

針對傳統離線魯棒預測控制忽略各個因素對控制律的影響程度，本文提出了單因素融合魯棒預測控制方法，并將其應用于高超聲速飛行器的控制器設計中。該方法將在線預測控制的優化問題轉化為離線計算，極大地減小了仿真運行時間，并且由于在在線控制律計算中，充分考慮了各個因素對控制律的影響程度，從而改善了離線魯棒預測控制的控制性能。

［1］ 黃琳，段志生，楊劍影.近空間高超聲速飛行器對控制科學的挑戰［J］.控制理論與應用，2011，28(10):1496-1505.

［2］ Fidan B，Mirmirani M，Ioannou P A.Flight dynamics and control of air-breathing hypersonic vehicles:review and new directions［J］.AIAA-2003-7081，2003.

［3］ Wang Q，Stengel R F.Robust nonlinear control of a hypersonic aircraft［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2000，23(4):577-585.

［4］ Wilcox Z D，Mackunis W，Bhat S，et al.Lyapunov-based exponential tracking control of a hypersonic aircraft with aerothermoelastic effects［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2010，33(4):1213-1224.

［5］ 高道祥，孫增圻，羅能，等.基于Backstepping的高超聲速飛行器模糊自適應控制［J］.控制理論與應用，2008，25(5):805-810.

［6］ Kothare M V，Balkrishnans V，Moraris M.Robust constrained model predictive control using linear matrix inequalities［J］.Automatica，1996，32(10):1361-1379.

［7］ 華晨.高超聲速飛行器縱向通道的預測控制器設計及可視化仿真［D］.上海:上海交通大學，2011.

［8］ Wang Zhaoyang，Kothare Mayuresh V.An efficient off-line formulation of robust model predictive control using linear matrix inequalities［J］.Automatica，2003，39(5):837-846.

［9］ Xu H J，Mirmirani M D，Ioannou P A.Adaptive sliding mode control design for a hypersonic flight vehicle ［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2004，27(5):829-838.