狼和鹿生態系統數學模型的穩定性分析

劉玉麗，姜玉秋

(吉林師范大學數學學院，吉林長春130103)

1 建立模型

在同一理想的小環境D中研究捕食者和食餌種群，兩種群變化的Volterra模型［1］.

其中x(t)和y(t)分別表示t時刻在小環境D中食餌和捕食者的數量，r1和r2分別表示食餌和捕食者的內稟增長率，a和d分別表示食餌和捕食者的密度制約項，b表示單位時間內捕食者吃掉食餌的數量，c表示當存在食餌種群時，被捕食者吃掉的食餌將被轉化成對捕食者有利的能量分別表示田鼠和蛇在這個小環境中的相對增長率［2］.

2 系統分析

在美國亞里桑那州北部凱巴伯森林地區的一個理想小環境中有兩個發生捕獲系統的種群——狼和鹿.利用同一種生存資源，假設這個小環境里的狼和鹿的生長都處于健康狀態.考慮到生物學意義，本文僅在區域D={(x，y)|x≥0，y≥0}［3］上研究系統(1.1).容易得到，系統(1.1)有 O(0，0)E(x*，y*)四個平衡點存在，其中x*＞0，y*＞0.在區域D上將系統(1.1)變形為

令Δ =a11a22－a12a21，δ=－(a11+a22).

定理2.1 系統(1.1)在區域D內無閉軌［4］.

定理2.2系統(1.1)的平衡點O(0，0)為鞍點.

定理2.5系統(1.1)存在唯一的正平衡點E(x*，y*)是局部穩定的.

證明 首先證明正平衡點E(x*，y*)的存在唯一性［5］.考慮代數方程組F1(x，y)=0;F2(x，y)=0，由第二個方程得，代入第一個方程得=0，引進輔助函數f(y)＜0.由零點定理知，存在，使得f(y*)=0.又因為f'(y)，即f(y)是關于y的嚴格單調減函數，故y*在是唯一的，由x=可得相應的x*.所以a＞c＞r2＞0時系統(1.1)有唯一的正平衡點E(x*，y*).

下面證明 E(x*，y*)是局部穩定［7］.

正平衡點E(x*，y*)的Jacobi矩陣

Δ=(r1－2ax*－by*)(－r2+cx*－2dy*)+bcx*y*，

δ=(r1－2ax*－by*－r2+cx*－2dy*)=r2－r1+x*(2a－c)+y*(b+2d).

當r2＞r1，2a＞c時，Δ ＞0，δ＞0.可知E(x*，y*)是局部漸進穩定的.

由定理2.1至定理2.5，易證得下面的結論.

定理2.6 a＞c＞r2＞0，r2＞r1時，系統(1.1)的正平衡點E(x*，y*)是全局漸進穩定的.

利用Matlab程序模擬出系統(1.1)在平衡點D(x*，y*)附近過不同初值點的軌線，如圖1所示.

圖1 狼與鹿兩種群數量變化圖

3 生物學意義

綜上，對系統(1.1)進行了穩定性討論與分析，得到了適合捕食者與食餌生存的數量D(x*，y*).因想要有效地保護鹿而消滅鹿的天敵狼等野獸，致使鹿群的數量得到了自由的增長，當其數量增長到一定程度時，森林中的綠色植被就遭到破壞，導致鹿大量死亡，這就違背了人們當初的意愿［6］.在自然的狀態下，可以利用此模型的平衡點D(x*，y*)進行人為干預，當鹿種群繁殖數量增大時，引入狼來控制鹿的增長速度，使兩種群的數量在各自的環境容納量下達到各自的平衡點x*和y*.這樣，森林也就不會被鹿群糟蹋得面目全非，也有效地控制了疾病對鹿群的威脅，從而實現了保護森林生態系統穩定的目的［8］.

［1］馬知恩，周義倉.常微分方程定性與穩定性方法［M］.北京:科學出版社，2001.

［2］尚玉昌.普通生態學［M］.北京:北京大學出版社，2002.

［3］姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型［M］.北京:高等教育出版社，2003.

［4］姜玉秋.Turchin－Batzli捕食者－食餌系統的定性分析［J］.東北師大學報:自然科學版，2006(4):17－21.

［5］Verhust F.Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems［M］.Berlin:Springer－ Verlag，1996.

［6］Perter Turchin，George O.Batzli.Availability of Food and the Population Dynamics of Arvicoline Rodents［J］.The Ecological Society of American，2001.

［7］柏靈，李曉月，楊帆.捕食－食餌系統的兩種群同時捕獲的最優化問題［J］.東北師大學報:自然科學版，2001，33(1):1－5.

［8］王順慶，王萬雄，徐海根.數學生態學穩定性理論與方法［M］.北京:科學出版社，2004.