GM(1,1)模型及其在陜西省人口數量預測中的應用

吳瓊,陳永當,秦路宇

（西安工程大學機電工程學院，西安710048）

GM(1,1)模型及其在陜西省人口數量預測中的應用

吳瓊,陳永當,秦路宇

（西安工程大學機電工程學院，西安710048）

人口預測是制定正確人口政策的科學依據，對經濟社會的發展有著重要的作用。本文用灰色GM(1，1)模型分析陜西省歷年人口總數，統計檢驗和誤差分析的結果表明模型的精度較高，并用該模型預測未來幾年陜西省的人口總數。

GM(1，1)模型；灰色系統預測；人口預測

人口規模的大小是衡量一個地區經濟發展和社會進步的重要指標，對保護環境，資源的可持續利用也有很大的影響。因此，準確地預測人口規模，對一個地區的經濟發展及人口政策的制定具有重大的現實意義。通過對人口規模變化的歷史數據進行統計分析，可以得出人口規模的長期發展趨勢，從而預測未來人口的數量。灰色預測是一種對既含有已知信息又含有未知信息的系統進行預測的方法，所需信息量少，而且可以將無序離散的原始序列轉化為有序序列，精確度較高，能較好地反映現實情況。本文用該模型對陜西省的人口總數進行預測。

1 灰色G M(1,1)模型的建立及求解

1.1 灰色GM(1,1)簡介

灰色系統是指信息數據不明確的系統,灰色系統預測模型的構建原理是將已知的部分數據序列輸入到系統中，通過某種線性或非線性的轉換來預測未來指標的變化情況，在這個階段中遵循某種規則，反復修正結果，最終得到比較明朗的變化規律，GM(1,1)模型是在灰色系統預測中應用最為廣泛的一種模型。

1.2 灰色模型求解

設X(0)為原始數據，為了使其成為有規律的時間序列數據，對原始數據作一次累加生成運算，從而得到新的生成數列X(1)一般近似地服從指數規律，則生成的離散形式的微分方程具體的形式為

即表示變量對于時間的一階微分方程是連續的。求解上述微分方程，解為

當Δt足夠小時，變量x從x(t)到x(t+Δt)是不會出現突變的，所以取x(t)與x(t+Δt)的平均值作為當Δt足夠小時的背景值，即將其值帶入式子，整理得

由其離散形式可得到如下矩陣：

稱Y為數據向量，B為數據矩陣，α為參數向量。則上式可簡化為線性模型：

由最小二乘估計方法得：

將求得的α,u值代入微分方程的解式，則

其中，上式是GM(1,1)模型的時間響應函數形式，將它離散化得

通過計算求得a，u，將a，u的值代入微分方程的時間響應函數。

2 模型驗證

根據2013年陜西統計年鑒獲得的陜西省人口數量的數據，見表1。

表1 陜西省歷年人口總數 單位：萬人

用Excel繪制成曲線圖，如圖1所示。

圖1 1980-2012年陜西省人口總數變化趨勢圖

從圖1我們可以看出：人口總量呈遞增趨勢，其中1985-1990年的增勢最明顯。利用灰色系統理論建模系統軟件進行模型檢測，模擬結果如表2所示。

表2 陜西省歷年人口模擬驗證結果

將模擬的結果與統計年鑒中給出的實際值進行對比，用Excel繪制成折線圖如圖2所示。

從殘差檢驗結果看，平均相對誤差為0.000 13，誤差較小，累計生成數列曲線擬合較好。因此可以用該模型來預測陜西省未來幾年的總人口的數量。

圖2 陜西省歷年人口預測值與實際值對比圖

3 模擬結果

用該模型預測陜西省未來總人口數量，結果見表3。

表3 未來陜西省總人口數量預測值 萬人

4 結論

本文利用該模型對陜西省未來人口總數進行擬合和預測，預測結果表明，陜西省未來人口總數將保持持續增長的態勢，為陜西省人口政策和相關經濟發展規劃的制定提供了依據。陜西省開始推行“單獨二孩”政策，可以避開由于放開二胎政策引起的未來我省勞動年齡人口數的高峰期，雖然會暫時的引起人口數量的增加，但是它增加以后我省的勞動年齡人口數，從而增加個人及其用人單位繳納社會養老保險費的總量，可以有效緩解人口老齡化的程度。同時政府又考慮了現存的人口結構及老齡化特征，采取延遲退休年齡的措施，不僅可以提高就業率，而且相對減緩未來我省社會養老保險基金的“空賬”壓力。但是往往很多家庭因為對一個孩子的投入太大而無力撫養第二個孩子，或因其他原因不想生二胎，所以該政策的實施具有很強的主觀意愿性。但是它也在一定程度上會對我省的人口結構有所影響。

[1]鄧聚龍.灰色系統理論教程[M].武漢：華中理工大學出版社,1990.

[2]郝永紅，王學萌.灰色動態模型及其在人口預測中的應用[J].數學的實踐與認識,2002(5)：813-816.

[3]劉思峰，黨耀國，方志耕.灰色系統理論及其應用[M].北京：科學出版社，2004:126-129.

[4]Nathan Keyfitz.Applied Mathematical Demography[M].New York：Springer Verlag，2000.

10.3969/j.issn.1673-0194.2015.03.086

F224

A

1673-0194（2015）03-0156-03

2014-12-22

陜西省科學技術研究發展計劃項目（2013KRZ21）；陜西省教育廳科研項目（14JK1309）；中國紡織工業聯合會科技項目（2013059）。