“解直角三角形應用”新題展示

□劉頓

“解直角三角形應用”新題展示

□劉頓

一、閱讀型

例1（2015·濟寧）在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即，利用上述結論可以求解如下題目，如：在△ABC中，若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b.

解：在△ABC中，

問題解決：

如圖1，甲船以每小時302海里的速度向正北方航行，當甲船位于A1處時，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1處，且乙船從B1處按北偏東15°方向勻速直線航行，當甲船航行20分鐘后到達A2處時，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，此時兩船相距海里.

（1）判斷△A1A2B2的形狀，并給出證明.

（2）乙船每小時航行多少海里？

圖1

分析：（1）利用“甲船從A1處以每小時海里的速度向正北方航行，航行20分鐘后到達A2處”，求出，又已知A2B2＝，從而得到△A1A2B2是等腰三角形.由鄰補角的性質，可得∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，從而證得△A1A2B2是等邊三角形.（2）利用平行線性質得∠CB1A1＝180°－∠B1A1A2＝180°－105°＝75°，再利用角的和差關系求出∠B2B1A1＝60°，∠B2A1B1＝45°，所以在△A1B2B1中可以利用條件中的結論求得B1B2，從而求出乙船航行的速度.

解：（1）△A1A2B2是等邊三角形.

證明：∵甲船從A1處以每小時海里的速度向正北方航行，航行20分鐘后到達A2處，

即A1A2＝A2B2，

∴△A1A2B2是等腰三角形.

∵乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處，

∴∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，

∴△A1A2B2是等邊三角形.

（2）∵△A1A2B2是等邊三角形，

∵B1C∥A1A2，

∴∠CB1A1＝180°－∠B1A1A2

＝180°－105°＝75°，

∴∠B2B1A1＝75°－15°＝60°，

∠B2A1B1＝105°－60°＝45°，

在△A1B2B1中，由條件中的結論，得

點評：解閱讀理解題的關鍵是把握實質并在其基礎上作出回答，首先仔細閱讀題目，收集處理相關信息，以領悟新的數學知識，感悟數學思想方法；然后運用新知識解決新問題，或運用范例形成科學的思維方式和思維策略，或歸納與類比作出合情判斷和推理，進而解決問題.

二、說理型

例2（2015·婁底）“為了安全，請勿超速”.如圖2，一條公路建成通車，在某直線路段MN限速60千米/小時.為了檢測車輛是否超速，在公路MN旁設立了觀測點C.從觀測點C測得一小車從點A到達點B行駛了5秒鐘.已知∠CAN＝45°，∠CBN＝60°，BC＝200米.此車超速了嗎？請說明理由.（參考數據：

圖2

分析：要說明此車是否超速，可過點C作CE⊥MN于點E，先在Rt△BCE中，利用正弦和余弦的定義求出CE和BE的長，然后在Rt△ACE中，利用正切的定義，求出AE的長，由于小車從點A行駛到點B用時5秒，可求得小車的速度，比較與60千米/小時的大小，即可判斷該車是否超速.

解：此車沒有超速.

理由：過點C作CE⊥MN于點E.

在Rt△BCE中，

∵∠CBE＝60°，BC＝200m，

在Rt△ACE中，

∴CE＝AE，

≈14.6m/s＝52.56km/s＜60km/s，

即此車沒有超速.

點評：此類問題容易出錯的地方是誤用三角函數定義，或速度沒有化成統一單位就進行判斷.

三、活動型

例3（2015·達州）學習“利用三角函數測高”后，某綜合實踐活動小組實地測量了鳳凰山與中心廣場的相對高度AB，其測量步驟如下：

圖3

（1）在中心廣場測點C處安置測傾器，測得此時山頂A的仰角∠AFH＝30°；

（2）在測點C與山腳B之間的D處安置測傾器（C、D與B在同一直線上，且C、D之間的距離可以直接測得），測得此時山頂上紅軍亭頂部E的仰角∠EGH＝45°；

（3）測得測傾器的高度CF＝DG＝1.5米，并測得CD之間的距離為288米.

已知紅軍亭的高度為12米，請根據測量數據求出鳳凰山與中心廣場的相對高度AB.

分析：由圖形可知要求的鳳凰山與中心廣場的相對高度AB＝AH＋HB，此時可分別在Rt△AFH、Rt△EGH中利用正切的定義求出HF、HG，再利用GF＝FH－HG構造方程求出AH，即可得解.

解：由題意，CF⊥BC，DG⊥BC，AB⊥BC，FH⊥AB，

∴四邊形CFGD、CFHB、BDGH均為矩形，

∴GF＝CD＝288米，BH＝DG＝CF＝1.5米.

在Rt△AFH中，∠AFH＝30°，

在Rt△EGH中，∠EGH＝45°，

∴EH＝HG.

∵紅軍亭高12米，

∴HG＝EH＝EA＋AH＝12＋AH，

而GF＝FH－HG，

≈409.8（米），

∴AB＝AH＋HB≈411（米）.

答：鳳凰山與中心廣場的相對高度AB約為411米.

點評：利用解直角三角形解決實際問題的步驟是：（1）審題，弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念，將實際問題抽象為數學問題.（2）認真分析題意，畫出平面圖形，轉化為解直角三角形問題，對于非基本的題型可通過解方程（組）來轉化為基本類型.對于較復雜的問題，往往要通過作輔助線構造直角三角形或矩形.（3）根據條件的特點，適當選用銳角三角函數等去解直角三角形.（4）按照題目中已知數的精確度進行近似計算，檢驗得到符合實際要求的解，并按照題目要求的精確度確定答案，并標注單位.對非直角三角形的求解，可以通過作輔助線的方法轉化成直角三角形解決，這種方法叫“化斜為直”法.通常以特殊角為一銳角構造直角三角形.若條件中有線段的比或銳角三角函數，都可以設一個輔助的未知數，列出方程求解.