如何構造相似三角形

□鄒興平

如何構造相似三角形

□鄒興平

學習了相似三角形以后，我們會經常遇到計算或證明問題，而事實上，許多的問題看似與相似三角形無關，但通過作適當的輔助線即可構造出相似三角形，從而使問題獲解.

一、作平行線構造相似三角形

例1如圖1，M、N分別在△ABC的邊AB、AC上，且BM＝CN，MN、BC的延長線交于點P.請說出AC· NP＝AB·MP的理由.

圖1

分析：本題的題設中有BM＝ CN，自然會想到用等線段代換.但光有等線段代換還不夠，觀察AC· NP＝AB·MP，即，還必須尋求第三個比作為中間量.由條件和圖形又找不到相似三角形或平行線，此時我們就會想到添加輔助線，即過某分點作某線的平行線.這里我們可以過點N作NQ∥AB交BC于Q，得△CNQ∽△CAB和△PNQ∽△PMB，則，又BM＝CN，故本題可證.

說明：過點N作NQ∥AB交BC于Q，所以△CNQ∽△CAB，得又△PNQ∽△PMB，所以，而BM＝CN，則，所以，故AC·NP＝ AB·MP.

點評：作平行線構造相似三角形是解決此類問題的首選，值得注意的是當圖形中沒有相似三角形或平行線時，可以過分點作平行線，過分點作平行線的原則是不能破壞待證結論中的線段.另外，證明比例式或等積式的基本方法是證明包含比例式或等積式中的四條線段所在的兩個三角形相似.如果直接證明不容易，則可借助等線段轉化或等比轉化.

二、借助于全等構造相似三角形

例2如圖2，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，D是垂足.試說明：BC2＝2CD·AC.

圖2

分析：題目中給出的條件和圖形都很簡單、明確，但是待證的結論卻與我們熟悉的情況不同，除了有四條線段外，還多了一個系數“2”.因此首先要先處理這個“2”，若能把“2”看成是CD的系數，即可設x＝2CD，則待證式就轉化為BC2＝x· AC，顯然這又是我們平常所熟悉的式子，于是我們可以設法轉化這個系數“2”，即在DA上截取DE＝CD，則CE＝2CD，連結BE，即可證得△CBE∽△CAB，使本題獲證.

說明：在DA上截取DE＝CD，連結BE，則CE＝2CD.因為BD⊥AC，所以∠BDC＝∠BDE＝90°.因為BD＝BD，所以△BDC≌△BDE，所以∠C＝∠CEB.又AB＝AC，所以∠C＝∠CBA，即∠CEB＝∠CBA，所以△CBE∽△CAB，所以，即BC2＝ CE·AC.而CE＝2CD，所以BC2＝2CD·AC.

點評：為了處理結論中的“2”，結合圖形的特征，可從構造全等三角形入手.事實上，本題中的“2”還可以看成是AC的系數，這樣就可以通過延長CA到E，使AE＝AC，連結BE；也可以把結論的兩邊同除以2，得到BC2前面的系數是“”，這時可以取BC的中點E，連結AE.在證明帶有倍、分線段的結論時，關鍵要處理好倍、分的關系，從不同角度去分析，從而構造出相似三角形.另外，在處理這類問題的時候，我們還應注意數形結合的思想方法的運用，以便很快找到問題的切入點.