一個相似模型的誕生與應(yīng)用

□王鋒

一個相似模型的誕生與應(yīng)用

□王鋒

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)“要求學(xué)生能從較復(fù)雜的幾何圖形中分解提煉出基本圖形，并掌握圖形的基本特征，從而進(jìn)一步分析其中的基本元素及其關(guān)系”.近幾年的數(shù)學(xué)中考試卷中，就經(jīng)常出現(xiàn)一些體現(xiàn)上述要求的試題.

引例（2015·德州）

（1）問題

如圖1-1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上的一點(diǎn)，∠DPC＝∠A＝∠B＝90°，求證：AD·BC＝AP·BP.

圖1-1

圖1-2

（2）探究

如圖1-2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上的一點(diǎn)，∠DPC＝∠A＝∠B＝θ時，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由.

解析：（1）∵∠A＝∠CPD＝90°，

∴∠APD＋∠ADP

＝∠APD＋∠BPC＝90°，

∴∠ADP＝∠BPC.

又∠A＝∠B＝90°，

∴△APD∽△BCP.

∴AD·BC＝AP·BP.

（2）如果我們?nèi)匀荒軌蜃C明△APD∽△BCP，則可猜想結(jié)論AD· BC＝AP·BP仍成立.

不妨類比（1）中的思路嘗試探究.

說明：∵∠DPC＝∠A＝θ，

∠APD＋∠PDA

＝∠APD＋∠CPB＝180°－θ，

∴∠ADP＝∠BPC.

又∠A＝∠B＝θ，

∴△APD∽△BCP.

∴AD·BC＝AP·BP.

點(diǎn)評：本題以“問題——探究”方式設(shè)置了一個由“特殊到一般”的數(shù)學(xué)拓展問題.首先讓同學(xué)們探索當(dāng)?shù)冉菫?0°時，兩個三角形相似，進(jìn)而得到等積式（比例線段）的情形，然后拓廣到等角為任意角情形下，探究原來結(jié)論成立的理由，實(shí)際上是特殊情形下思維的強(qiáng)化與正向遷移.

事實(shí)上上述問題中蘊(yùn)含了一個非常重要的相似模型.為了我們以后在解題時運(yùn)用其基本性質(zhì)，可以根據(jù)圖形本質(zhì)特性，抽象出圖2的相似模型.

模型發(fā)現(xiàn)通過探索猜想與推理證明，我們可以發(fā)現(xiàn)：

如圖2，如果B、P、C在同一直線上，且∠B＝∠EPF＝∠C，那么△BPE∽△CFP.否則相似關(guān)系不成立.

圖2

為了應(yīng)用的方便，我們根據(jù)圖形的特征結(jié)構(gòu)不妨把它命名為“一線三等角型”相似模型.

模型應(yīng)用上述相似的數(shù)學(xué)模型就是命題專家匠心獨(dú)運(yùn)、勇于創(chuàng)新、精心培育馴養(yǎng)的一匹“黑馬”.如果我們能夠在復(fù)雜的圖形中，慧眼觀察發(fā)現(xiàn)其中隱藏的上述基本圖形，聯(lián)想其相似的性質(zhì)，就能讓我們在相似的“沙場”上，披荊斬棘，戰(zhàn)功卓著.

例1（2015·泰安）如圖3，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且∠APD＝∠B.

（1）求證：AC·CD＝CP·BP；

（2）若AB＝10，BC＝12，當(dāng)PD∥AB時，求BP的長.

圖3

解析：（1）在△ABC中，

∵AB＝AC，∴∠C＝∠B.

又∠APD＝∠B，

∴∠B＝∠APD＝∠C.

根據(jù)相似模型可證得

△ABP∽△PCD，

即AC·CD＝PC·BP.

（2）∵PD∥AB，

∴∠BAP＝∠APD.

又∠APD＝∠B＝∠C，

∴∠BAP＝∠C，

∴△BAP∽△BCA，

又AB＝10，BC＝12，

點(diǎn)評：（1）本題以等腰三角形為載體，設(shè)計(jì)了一個“一線三等角型”相似模型的常見基本圖形.

（2）本題的另一特色在于抓住了相似形中常見的基本圖形——共邊（AB），共角（∠B）的一對相似形△BAP∽△BCA.

上述兩個基本相似模型的應(yīng)用務(wù)必引起同學(xué)們的高度重視.

例2（2015·孝感）如圖4，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，OB＝ 2OA，點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上.若點(diǎn)B在反比例函數(shù)的圖象上，求k的值.

圖4

易證△BDO∽△OCA，

若設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），

則BD＝2a，OD＝2b，

B點(diǎn)的坐標(biāo)是（－2b，2a）.

故k＝－2b·2a＝－4a·b＝－4.

圖5

點(diǎn)評：確定反比例函數(shù)的解析式，一般只要知道其圖象上一個點(diǎn)的坐標(biāo)，便可確定比例系數(shù)k，而反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)B，則須要確定點(diǎn)B坐標(biāo).為了探究點(diǎn)B的坐標(biāo)，我們根據(jù)圖形的結(jié)構(gòu)特征，通過作兩條垂線，構(gòu)造出了“一線三等角”的基本相似模型，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)——對應(yīng)邊成比例，將點(diǎn)B、A兩點(diǎn)的坐標(biāo)緊密地聯(lián)系在一起，為順利獲取k值起到了關(guān)鍵的作用.