如何求概率

□秦振

如何求概率

□秦振

一、列舉法

就是根據(jù)題意列舉出事件的所有可能的n種結果，從中找出事件A的所有可能的m種結果，再利用公式計算其概率.

例1小穎準備了10張形狀、大小完全相同的不透明卡片，上面分別寫有整數(shù)－10、－9、－8、－7、－6、－5、－4、－3、－2、－1，將這10張卡片寫有整數(shù)的一面向下放在桌面上，從中任取一張，以卡片上的數(shù)作為不等式ax＋3＞0的系數(shù)a，求該不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率.

分析：用列舉法，將卡片上的10個數(shù)分別代入不等式求解.

解：當a＝－1時，不等式為－x＋ 3＞0，解不等式，得x＜3，不等式有正整數(shù)解.當a＝－2時，不等式為－2x＋3＞0，解不等式，得不等式有正整數(shù)解.當a＝－3時，不等式為－3x＋3＞0，解不等式，得x＜1，不等式?jīng)]有正整數(shù)解.當a＝－4時，不等式為－4x＋3＞0，解不等式，得，不等式?jīng)]有正整數(shù)解.……，當a取－3至－10中任意一個整數(shù)時，不等式?jīng)]有正整數(shù)解.所以不等式?jīng)]有正整數(shù)解的概率為

點評：應用列舉法解題時，在計算時應該及時觀察、歸納解題過程及計算結果的規(guī)律，通過猜想，減少運算量，簡化解題過程.

二、樹狀圖法

在求概率的過程中，為了分析出所有可能出現(xiàn)的結果，我們采用“樹狀圖”的方法，將所有結果都列出來，這樣既避免了重復和遺漏，又直觀且有條理.

例2從一副撲克牌中取出兩組牌，分別是黑桃1、2、3、4和方塊1、2、3、4.將它們背面朝上分別重新洗牌后，從兩組牌中各摸一張，那么摸出的數(shù)字之和等于5的概率是多少？

分析：根據(jù)題意，可以用樹狀圖法，列出從兩組牌中各摸一張的所有可能情況，從中找出其數(shù)字之和為5的所有情況，再計算其概率.

解：從兩組牌中各摸一張的所有可能情況：如圖1所示.從圖中可知共有16種機會均等的結果，而兩張牌的牌面數(shù)字之和等于5的結果有4種，因此P（摸出的數(shù)字之和等于

圖1　

點評：利用樹形圖時，務必注意各種情況出現(xiàn)的可能性相同.

三、列表法

對于比較復雜的問題，可以用列表的方法將所有可能的結果全部列出，然后再求解.它適合出現(xiàn)的結果比較多的情況.

例3已知甲袋中有四張除數(shù)字外完全相同的標有1、2、3、4的卡片，乙袋中有三張除數(shù)字外完全相同的標有1、2、3的卡片，從甲袋和乙袋中分別抽出一張卡片.

（1）分別用a、b表示從甲袋、乙袋抽出的卡片上標有的數(shù)字，請用列表法寫成（a，b）的所有取值；

（2）求在（a，b）中關于x的一元二次方程x2－ax＋2b＝0有實數(shù)根的概率.

分析：（1）a可以取不同的4個值，b可以取不同的3個值，所以（a，b）有12個可能的結果.

（2）方程x2－ax＋2b＝0有實數(shù)根的條件是Δ＝a2－8b≥0，在（1）的結果中，選出滿足這個條件的（a，b）的個數(shù)，然后求概率.

解：（1）（a，b）所有可能如下表：

1234 1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）ab

（2）要使方程x2－ax＋2b＝0有實數(shù)根，則需Δ＝a2－8b≥0.而使Δ＝a2－8b≥0成立的（a，b）有（3，1）、（4，1）、（4，2），因此所求概率為P＝

點評：列舉法、樹狀圖法和列表法是求概率的三種基本方法.解題時，可以根據(jù)問題的特點，選擇適當?shù)姆椒ǎ菇忸}思路更清晰、過程更簡潔.

四、利用幾何圖形長度的比求概率

例4將長為18cm的鐵絲任意剪成兩段，N表示“較長的一段大于或等于較短一段的2倍”，求N的概率.

分析：如圖2所示，設分點為M，分析M的位置變化，歸納出點N的可能位置.

圖2　

解：如圖2所示，設分點為M，AM＝x，根據(jù)題意0＜x＜18.當有0＜x＜6或12＜x＜18時，滿足較長的一段大于或等于較短一段的2倍，所以

點評：如果試驗的可能性結果用線段的長度n表示，A可能發(fā)生的可能性用線段的長度m表示，則由概率的定義可得

五、利用幾何圖形面積的比求概率

根據(jù)概率的定義可知，在幾何圖形中，事件發(fā)生的概率就是該圖形的面積與總圖形面積的比.

例5如圖3所示，趙爽弦圖是由四個全等的直角三角形與中間的一個正方形拼成的一個大正方形.小穎同學隨機地在大正方形及其內(nèi)部區(qū)域投針，若直角三角形的兩條直角邊的長分別為2和1，則針扎在小正方形（陰影）區(qū)域的概率是（）

圖3　

分析：分別求出大正方形和小正方形的面積，其概率為小正方形與大正方形面積的比.

點評：這類問題可歸納為：設在面積為S的區(qū)域中有任意一個區(qū)域A，它的面積為SA，如果任意投擲一點，點落入?yún)^(qū)域A中的可能性大小與SA成正比，而與A的位置和形狀無關，點落入A的概率為

六、利用頻率估計概率

在相同的條件下進行多次重復試驗后，事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定，穩(wěn)定后的頻率可以作為概率的估計值，反之，如果知道一個事件發(fā)生的概率，就可以由此推斷出在多次重復試驗后，該事件發(fā)生的頻率.

例6某出版社對其發(fā)行的雜志的寫作風格進行了5次“讀者問卷調(diào)查”，結果如下：

（1）計算表中的各個頻率；

（2）讀者對該雜志滿意的概率P（A）大約是多少？

?

（2）用穩(wěn)定的頻率值估計概率.

解：（1）表中的頻率分別為：0.998、0.998、0.998、0.999、1.

（2）由（1）的結果可知，出版社在5次“讀者問卷調(diào)查”中，收到的反饋信息是：讀者對該雜志滿意的概率大約是P（A）＝0.998.

點評：有的問題從表面上看是偶然性起作用，實際上這種偶然性始終是受內(nèi)部隱藏著的規(guī)律支配的，關鍵在于發(fā)現(xiàn)這些規(guī)律.

列表法和樹狀圖法是計算概率常用且有效的兩種方法，是解決概率問題的左膀右臂.樹狀圖法適合于涉及3個或3個以上因素的較復雜的事件.有些可能的結果沒法一一統(tǒng)計，例如雨點落在地面上的位置，轉盤上的指針最后停下來的位置等等，這時可以借助幾何圖形的面積或線段的長度來計算.