《反比例函數》中的數學思想

□劉頓

《反比例函數》中的數學思想

□劉頓

數學思想是人們對數學理論和內容的本質的認識，數學方法是數學思想的具體化形式，實際上兩者的本質是相同的，差別只是站在不同的角度看問題.通?；旆Q為“數學思想方法”.常見的數學四大思想為：轉化與化歸、分類討論、數形結合、函數與方程.

一、轉化與化歸思想

例1如圖1，在平面直角坐標系xOy，一次函數y＝ax＋b的圖象與x軸交于點A（－2，0），與y軸交于點C，與反比例函數在第一象限的圖象交于點B（m，n），連結OB，若S△AOB＝6，S△BOC＝2.

（1）求一次函數的表達式；

（2）求反比例函數的表達式.

圖1　

分析：要求兩個函數的解析式，可將問題轉化為求點B的坐標，此時由△AOB、△BOC的面積可得到△AOC的面積，再由點A的坐標可得到OC的長度.同理可得到△BOC中OC邊上的高、△AOB中AO邊上的高，即點B的橫坐標和縱坐標.

解：如圖1，過點B分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為E、D，連接OB.

∵S△AOB＝6，S△BOC＝2，

∴S△AOC＝4.

又∵點A（－2，0），

∴OA＝2，∴OC＝4，

∵S△BOC＝2，∴BD＝1，

∵AO＝2，S△AOB＝6，

∴BE＝6，點B的坐標為（1，6）.

（1）∵一次函數y＝ax＋b的圖象過點A、B，

即一次函數的表達式為y＝2x＋4.

點評：求函數表達式，一般先根據題意，求出圖象上相關點的坐標，再用待定系數法列方程求解.對于一次函數，需要確定圖象上兩點的坐標，而反比例函數只要確定圖象上一點的坐標即可.

二、分類討論思想

例2如圖2，已知矩形OABC的一個頂點B的坐標為（4，2），反比例函數（k＞0）的圖象經過矩形的對稱中心E，且與邊BC交于點D.

（1）求反比例函數的解析式和點D的坐標.

（2）若過點D的直線y＝mx＋n將矩形OABC的面積分成3∶5的兩部分，求此直線的解析式.

圖2　

分析：（1）先求出點E的坐標，然后可以求出反比例函數的解析式，而點D的縱坐標和點B相同，代入反比例函數解析式可以求出橫坐標.（2）分情況求解.點D的坐標已知，可以在OA、OC、AB邊上分別作出把矩形OABC的面積分成3∶5的兩部分的點的草圖，然后求出這個點的坐標，最后利用待定系數法求一次函數的解析式.

解：（1）∵點B的坐標為（4，2），矩形的對稱中心為點E，

∴點E的坐標為（2，1）.

又∵CB∥OA，點B的坐標為（4，2），∴點D的縱坐標為2.

∴點D的坐標為（1，2）.

（2）①當直線y＝mx＋n與矩形的另一個交點在OC上時，直線y＝mx＋n左側最大面積為

而S矩形OABC＝OA×OC＝8，

不符合要求，

因此直線y＝mx＋n與矩形的另一個交點不可能在OC上.

②當直線y＝mx＋n與矩形的另一個交點在OA上時，設在OA邊上有點F，直線y＝mx＋n過點F且將矩形OABC的面積分成3∶5的兩部分，如圖2，設點F的坐標為（x，0）.

根據題意，得再分兩種情形：

解得x＝2，∴F（2，0），

∵點D的坐標為（1，2），點F的坐標為（2，0），

∴y＝－2x＋4；

解得x＝4，∴F（4，0），

此時，點F與點A重合，

∵點D的坐標為（1，2），點F的坐標為（4，0），

③當直線y＝mx＋n與矩形的另一個交點在AB上時，直線y＝mx＋n右側最大面積為

而S矩形OABC＝OA×OC＝8，

∴符合要求，通過上一步可得此時直線y＝mx＋n的解析式為y＝

點評：分情況討論是我們經常遇到的問題，解答此類題目往往丟分較多，會出現不懂什么時候分類和分類遺漏造成的錯誤.在本題中，容易出錯的地方是第（2）小題求解析式時，一是想當然地認為要求的點一定在邊OA上，忽視點在其他兩個邊上的情況；二是當點在OA上時，誤認為一定是左邊的圖形與右邊的圖形面積比是3∶5，忽視左右比是5∶3的情況.

三、數形結合思想

例3如圖3，在平面直角坐標系中，已知一次函數y＝kx＋b的圖象經過點A（1，0），與反比例函數的圖象相交于點B（2，1）.

圖3　

（1）求m的值和一次函數y＝kx＋b的解析式；

（x＞0）的圖象經過點B（2，1），

又∵一次函數y＝kx＋b的圖象經過A（1，0），B（2，1），

∴一次函數的解析式為y＝x－1.

（2）由圖象看出，當x＞2時，一次函數y＝kx＋b的圖象在反比例函數的圖象上方，即當x＞2時，成立，∴不等式的解集為x＞2.

四、函數與方程思想

例4將油箱注滿k升油后，轎車可行駛的總路程s（單位：千米）與平均耗油量a（單位：升/千米）之間是反比例函數關系（k是常數，k≠0）.已知某轎車油箱注滿油后，以平均耗油量為每千米耗油0.1升的速度行駛，可行駛700千米.

（1）求該轎車可行駛的總路程s與平均耗油量a之間的函數解析式（關系式）.

（2）當平均耗油量為0.08升/千米時，該轎車可以行駛多少千米？

（2）利用（1）的中解析式求解.

∴該轎車可行駛的總路程s與平均耗油量a之間的函數解析式為了

∴當平均耗油量為0.08升/千米時，該轎車可以行駛875千米.

點評：要利用反比例函數的關系式來解決實際問題，就得先求出反比例函數關系中的k，要知道這個k就得有一個相關的條件.