分形原理評估特殊曲線測量精度：以海岸線為例

引文格式： 廖永生. 分形原理評估特殊曲線測量精度[J].測繪通報，2015(4)：65-68.DOI:10.13474/j.cnki.11-2246.2015.0112

分形原理評估特殊曲線測量精度——以海岸線為例

廖永生

(廣西壯族自治區地理國情監測院，廣西 南寧 530023)

TheFractalTheoryinAnalyzingSpecialCurveMeasurementAccuracy

——TakingCoastlineSurveyingasanExample

LIAOYongsheng

摘要：特長曲線的高精度測量處理一直是地理信息數據處理的難題。海岸線作為空間數據中的最長動態曲線之一，其數據精度依賴于海岸線測量點的采樣和分形。本文海岸線測量采用了高精度測量方法；同時基于海岸線分形原理，可以采用增加采樣點的方法來提高海岸線的測量精度；最終采用Beizer曲線方法對數據進行加工，生成最佳高精度海岸線。

關鍵詞：海岸線測量；分形；Beizer曲線；維數

中圖分類號：P229

收稿日期：2014-01-07

基金項目：國家海洋公益項目(201305023)

作者簡介：廖永生(1979—)，男，碩士，高級工程師，主要從事3S技術集成和地球空間信息數據應用的研究。E-mail：188249620@qq.com

一、引言

在對空間實體特別是大型空間實體測量繪制中，存在大量非直線的線狀，即空間曲線。空間曲線包括規則曲線和不規則曲線。實際測量中，規則曲線(圓、橢圓)可以采用測量多個點的坐標后建立曲線數學模型的方法繪制矢量曲線；不規則曲線一般采用測量多個點的方法來繪制曲線，如等高線的測繪。

實際測繪中，對小型實體曲線的繪制可以采用測量較多點的方法，獲得的結果和真實值差異不大。但是對于一些大型曲線的繪制，由于不可能實現曲線點的密集采樣，測量時需根據實際情況進行采樣，由于測量方法和要求不同，測量采樣點的密度和精度也不同。

在對道路、海岸線、河道，以及邊境進行測量時，由于曲線不規則且長度值較大，采樣點的密集程度將會直接影響曲線的精度。特別是海岸線的測量，由于海岸線位置測量和長度測量對海洋研究和海岸帶保護具有相當重要的意義，因此在海岸線測量時，必須盡可能獲得海洋線高精度數據，包括位置數據和長度數據。

廣西大陸海岸線測量是國家908專項廣西海洋資源調查中海岸帶調查的重要組成部分，其目標是掌握廣西海岸線的準確空間位置、長度和岸線類型。在測量和數據處理中，本文采用分形法實現對海岸線的采樣點加密和精度評估，最終獲得了較高精度的廣西大陸海岸線數據。

二、海岸線測量基本步驟

由于海岸線的動態變化，其界定比較困難，包括采用零米線界定、平均潮位線確定等方法。海岸線測量采用網絡RTK測量的方法，即一般采用平均痕跡線的界定方法。由于海岸線是非規則曲線，一般需要盡可能測量曲線的拐點，但是由于測量員自身無法真正掌握其所在海岸線曲線的情況，需要按照兩個原則進行采樣：在一般地區平均每50m采樣一次，在前后目視狀況比較復雜的地方平均每30m采樣一次，在前后目視極端的地方每10m采樣一次；每次采樣均記錄岸線性質和影像等數據。

網絡RTK測量即流動站連接廣西CORS系統進行測量，其測量平面精度可達到5cm以內。

測量完成后，直接通過采樣點連線獲得廣西海岸線數據，但是由于采樣點間隔過長，其位置精度較差，因此需要對海岸線點進行加密，才能保證海岸線長度和空間位置的精度。在廣西大陸海岸線測量中，采用了海岸線分形原理和數學模型實現了岸線采樣點的加密。

三、海岸線分形原理和模型

1. 海岸線分形基本理論

海岸線是分形領域最傳統的課題，美國科學家Mandelbrot于1967年在《科學》上發表的題為《英國海岸線有多長？》一文中就闡述了海岸線長度不確定性的問題，并由此提出了分形與分維的概念，成為分形理論的起源。

通俗地說，海岸線分形原理就是海岸線采樣點的密度差異，密度越高，其岸線長度和空間位置越準確。理論上，海岸線精度只能逼近真實值而永遠無法達到真實值。

廣西大陸海岸線測量中，根據成圖比例尺，采樣點的間隔，以及海岸線測量精度與海岸線長度也不同，如圖1所示。

圖1　不同比例尺下的海岸線采樣和分形

根據分形理論的基本觀點，由于量測標度不同，海岸線的長度不是一個確定值。隨著量測標度趨向精細，海岸線的實際長度也隨之增大。

即使是精確測量獲得的海岸線，其長度不確定性的問題仍然存在。因此，在部門決策或是執行的過程中就有可能產生下述問題，即在同樣的區域范圍內對某段海岸線進行的量測，由于使用的量測標度不同，或是雖然使用了同樣的標度，但是基于不同比例尺的地圖，就會產生一系列的數據誤差，為決策的制定與順利施行帶來不利的影響。

因此，需要根據海岸線的復雜程度，增加其采樣點，提高海岸線測量數據的精度。

2. 廣西大陸海岸線復雜度計算

目前計算分形維數的主要方法包括網格法、腳規法(量規法)、盒子法、折線法、方差圖法、函數疊加熵計算方法等。廣西大陸海岸線測量數據處理采用了量規法計算分形維值，并通過折線法檢驗其計算準確性。

分形理論基本公式如下

式中，rn為特征線度；Nn為物體數目；C為比例常數；D為分形維數。由上式推導可得

式中，Nn與岸線長度Ln成正比關系，即Ln=Nnr。

海岸線中每段都有不同的分形維數，總的分形維數計算公式為

在每段海岸線維數的計算中，不可能計算每段的海岸線的分形維數，因此可以采用統計的方法繪制每段計算值的散點分布圖，并采用最小二乘法的方法計算出最佳維數值。

廣西大陸海岸線測量成果共有31469個測量點，總長1628.59km，平均每52m一個采樣點。根據該數據，對海岸線進行分形維數計算，獲得的結果見表1。

表1　廣西海岸線不同段的分形部分計算統計表

根據對數分布統計，建立Ln—r的對數關系，則

lnL(r)=-1.819lnr+2.343

廣西大陸海岸線維數最終計算結果為D=2.784。該數值為廣西大陸海岸線測量獲得的復雜程度描述。該數值遠大于其他資料中海岸線分形維數的數值，原因是海岸線為實際測量，其精度遠高于其他資料中通過衛星影像獲得的海岸線數據計算的分形維數。

對海岸線實現采樣點的自動加密，可以進一步提高海岸線的分形維數，從而提高海岸線測量數據的精度。

四、海岸線分形插值方法

分析廣西海岸線復雜程度，可以針對不同地段的復雜程度進行內插值，增加采樣點數量，并采用分形插值的方法實現采樣點加密。

由于海岸線的繪制是采用直線連線的方法，因此在增加采樣點時，可采用趨勢值曲線變化內插采樣點的方法實現，即按照采樣點的順序，間隔一個點或兩個點預測曲線的走向趨勢，從而增加相關采樣點。

根據曲線原理，走向趨勢可以根據其線性求導實現，在參數曲線中，可以采用如下方程表示矢量曲線

p(t)=(x,y)=(x(t),y(t))t∈[a,b]

式中，(x,y)為采樣點坐標。如果采樣點坐標遵循一點的線性方程函數，則坐標為(x(t),y(t))。由于海岸線的采樣點無線性函數關系，因此，可以通過其直線趨勢，改變曲線方程，增加采樣點,曲線化后如圖2所示。

圖2　多次插值后的新曲線

根據曲線的導線公式[7]，如果曲線是導曲線，即曲線P=P(t)在t=t0處n階參數連續，如果它在t0處n階左右導數存在，并且滿足

根據Bernstein的曲線基函數公式

原有線性方程根據采樣點的數量，可以轉成曲線方程，如下

其導數方程為

其中

經過推導，可得

則根據n的數值，可以推導獲得不同階的曲線，即Beizer曲線。Beizer曲線根據其推演階數，可以分為一階、二階、三階，以及三階以上的曲線。各階Beizer趨向方程如下：

一階Beizer曲線方程為

(1-t)P0+tP1

二階Beizer曲線方程為

三階Beizer曲線方程為

P(t)=B0,3(t)P0+B1,3(t)P1+B2,3(t)P2+B3,3(t)P3

式中

一般情況下，海岸線加密采樣點采用二階和三階Beizer曲線，獲得大量的曲線加密點，特別是高加密點，從而提高海岸線的分形維數。圖3和圖4是采用Beizer曲線加密前后的對比。

圖3　實際測量點連線

圖4　Beizer插值后的光滑曲線

對500km的海岸線采用Beizer曲線化，其分形維數已經超出了一般計算值(最高超過3)，顯然超出了一般計算數據，但也說明了實際曲線的精度情況。由于自然岸線以曲線為主，只有在人工岸線的地帶(海堤、港口)，岸線比較規整，因此，在自然岸線中，可以采用Beizer算法繪制Beizer曲線，使海岸線的繪制更加高精度化和自然化。

五、結束語

本文通過海岸線分形理論，計算出海岸線的分形維數，在總體上顯示海岸線的復雜程度，但也可以顯示海岸線采樣點的疏密程度。通過分形維數計算后，根據其分形維數大小，采用一定的方法進行采樣點插值，可以增加采樣點數量，提高采樣點的密集程度，提高海岸線精度。Beizer曲線是精度比較高的插值算法，在數據處理中，可以采用二階或三階Beizer曲線。

Beizer曲線插值使海岸線測量精度大幅度提高，也使海岸線分形維數有一定程度提高。采樣點越多，則海岸線分形維數越高。對海岸線的分形維數進行計算和插值，實現大型曲線的高精度數據，還可用于公路、境界和河流等地理實體的測量數據處理，對于地理信息數據采集有著重要的借鑒意義。

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