利用Excel表格計算橢圓任意段弧長

摘要：利用Excel表格計算橢圓任意段弧長的一種方法，從理論上計算出橢圓的弧長，為金屬結構特殊管件（彎管、岔管）下料與組裝檢查提供了理論數據（標準值），對指導金屬結構特殊管件下料與組裝檢查驗收有現實的意義。

關鍵詞：Excel表格；橢圓任意段；半軸；橢圓弧長；金屬結構特殊管件 文獻標識碼：A

中圖分類號：O185 文章編號：1009-2374（2015）31-0070-02 DOI：10.13535/j.cnki.11-4406/n.2015.31.035

亭子口水利樞紐設計了4條相同引水壓力鋼管，鋼管內徑8700mm，其中下立彎段，轉彎半徑27000mm，轉彎角度51.3402°，板厚22mm，均勻分成6節制造，受鋼板尺寸限制，每節由3個長度相同的瓦塊組成，即每個瓦塊組成的圓心角為120°。為了檢查瓦塊的下料是否正確，必須要知道這3個瓦塊的邊緣外弧長的標準值。

我們知道：彎管是通過圓柱按一定的角度斜截，然后按彎管分節示意圖拼裝而成，這個斜截面就是橢圓面，求瓦塊的邊緣外弧長實際上就是求橢圓的一段弧長。對于本鋼管就是按51.3402/12°斜截直徑為（8700+22+22）mm的圓柱，從此可知道，這個橢圓的長半軸：a=（8700+22+22）/[2×COS（51.3402/12°）]=4384.217mm，短半徑b=4372mm。假如以橢圓的中心為坐標原點，以長半軸為X軸，向右為正，則依據橢圓的標準方程式X2/a2+Y2/b2=1（a≠0、b≠0），得出該橢圓的標準方程為：

則A點的坐標為A（-4384.217，0），B點的坐標為：X=-b×cos120°/COS（51.3402/12°）=2192.109，將其代入上式，Y=3786.263，求第1段弧的長度實際上就是求該橢圓上兩點A（-4384.217，0）與B（2192.109，3786.263）間的弧長。求第2段弧的長度實際上就是求該橢圓上兩點B（2192.109，3786.263）與C（2192.109，-3786.263）間的弧長。

由于橢圓任意段弧長不能用定積分的方法求出，那么可以利用微分元的理論，在A（-4384.217，0）與B（2192.109，3786.263）兩點間插入很多點，只要相臨點間距離足夠小，所有相鄰點間距離之和就是A（-4384.217，0）與B（2192.109，3786.263）兩點間的弧長。只要△X越小，就能夠使△S越小，計算的精度就越高；在實際應用中，△S太小會增加計算的復雜性，△S太大又不能滿足計算精度要求，那么究竟間隔值取多少合適呢？這與計算點的曲率有關系，曲率越大，△X取值要求就越小，△X取值要通過計算精度要求確定。

通過這種利用兩點間的距離公式求距離，再求累加和的辦法求橢圓的弧長，在△X取值一定的情況下，曲率越大，計算誤差越大。只要最大曲率下計算圓周長誤差滿足精度要求，則以△X取值計算橢圓的弧長值同樣能滿足精度的要求。因為圓的周長可以通過計算求出，因此，以計算最小曲率半徑的圓周長誤差比較來確定△X取值。

Excel工具計算橢圓任意段弧長的步驟：

第一步：利用橢圓曲率公式ρ=[（b2-a2）（cosθ）2+a2]3/2/ab計算橢圓的最小曲率半徑。橢圓的最小曲率半徑在橢圓的長軸端點，該橢圓的最小曲率半徑為：ρ=4359.817mm。

第二步：制作表格，在第1行第2列填入a值4359.817mm，在第1行第5列填入b值4359.817mm。

第三步：在第3行第4列填入0值，在第3行第5列、第6列分別編輯公式計算Y2和Y值。

第四步：將第3行第5列、第6列公式對應的復制到第4行，在第4行第7列編輯兩點間的距離公式計算相鄰兩點的距離△s，第8列編輯公式計算累加∑△s值。在第一列第4行位置填入△x初步值30，在第4行第4列編輯公式使第4行第4列的值等于第3行第4列的值加上第4行第3列的值，在第5行第3列編輯公式等于第4行第3列。

第五步：將編輯公式往下復制，直到X的值剛好大于或等于4359.817為止。

第六步：檢查最后一行的X值，若X≠4359.817，則調整△x使X=a=4359.817。此時最后一行的∑△s值（6848.21）為1/4弧長（見表1）。即為半徑為4359.817mm的1/4周長值。

第七步：驗證計算結果：

依據圓公式驗算，使a=b=4359.817，△x=30mm，比較見表1：

通過驗算比較，利用公式計算周長與利用表格計算周長的誤差為-0.701mm。依據《水電水利工程壓力鋼管制造安裝及驗收規范》（DL/T 5017-2007）實測周長與設計周長差為±3D/1000，且極限偏差±24mm，該壓力鋼管±3D/1000計算值為±26mm，所以應該按±24mm控制，依據誤差傳播理論，單個瓦塊的弧長誤差控制在±8mm以內，27393.538mm長度其計算誤差值小于1mm，能滿足制造要求，所以△x間隔值取值合理，可以進行橢圓弧長計算。否則調整△x值，重復第五、六、七步，直到△x間隔值取值合理。

第八步：計算第1段橢圓弧長，在第1行第2列填入a值4384.217mm，在第1行第5列填入b值4372mm。將X的初始值-4384.217填入第3行第4列。

第九步：將編輯公式往下復制，直到X的值剛好大于或等于2192.109為止。

第十步：檢查最后一行的X值，若X≠2192.109，則調整△x使X=2192.109。此時該行的∑△s值（9171.77）為第1段弧長值（見表3）。同理：第2段弧長值為9163.64mm。

同理，只要更改起點X坐標值和控制終點X坐標值，就可以計算出任意段橢圓弧長。

利用Excel表格計算橢圓任意段弧長的方法，通過不同△x取值，可以滿足不同的計算精度要求，在計算過程中沒有復雜的積分公式，簡單容易掌握。

參考文獻

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作者簡介：胡洪浪，貴州道真人，四川二灘國際工程咨詢有限責任公司高級工程師。

（責任編輯：秦遜玉）endprint