最值問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用

劉 威

（黑龍江工程學(xué)院數(shù)學(xué)系，哈爾濱 150050）

在工業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟(jì)管理中常常要解決在一定條件下怎么使投入最少、產(chǎn)出最多、效益最高、利潤(rùn)最大等問題，這類問題在高等數(shù)學(xué)中可歸結(jié)為求出某一函數(shù)的最大值或最小值，因此，研究函數(shù)的最值問題及其應(yīng)用尤其是在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用有很重要的現(xiàn)實(shí)意義，本文主要介紹函數(shù)的最值在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。

一、微積分中的最值的一般的計(jì)算方法

微積分中有關(guān)函數(shù)最值的問題一般都通過極值來求得。先求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)，求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)處的函數(shù)值，比較大小，哪個(gè)大哪個(gè)就是最大值，哪個(gè)小哪個(gè)就是最小值。在實(shí)際問題中常常會(huì)遇到一種特殊情況，一元連續(xù)函數(shù)若在區(qū)間(a，b)內(nèi)有且僅有一個(gè)極值，則此極值就是最值（最大值或最小值）。多元函數(shù)的最值問題和一元函數(shù)類似。

二、最小成本問題

通常在實(shí)際問題中成本一般是產(chǎn)量q的函數(shù)：C=C(q)，求最小成本問題即是求的最小值問題，在實(shí)際應(yīng)用中，經(jīng)常會(huì)用平均成本達(dá)到最小來控制產(chǎn)量，所以常常是求平均成本的最小值問題。

例如，設(shè)某個(gè)企業(yè)每季度生產(chǎn)的某種產(chǎn)品q個(gè)單位時(shí)，其總成本函數(shù)是

1.求使平均成本最小的產(chǎn)量是多少；

2.求最小平均成本。

三、最大利潤(rùn)問題

在產(chǎn)量等于銷量的情況下，利潤(rùn)等于總收入與總成本之差，即

若企業(yè)以最大利潤(rùn)為目標(biāo)而控制產(chǎn)量，問題就是產(chǎn)量選擇多少，使利潤(rùn)最大。為使總利潤(rùn)最大，令其一階導(dǎo)數(shù)等于零，即L＇(q)=R＇(q)-C＇(q)=0

R＇(q)表示邊際收益，C＇(q)表示邊際成本，顯然，為使總利潤(rùn)達(dá)到最大，還應(yīng)有

例如，某廠每批生產(chǎn)A商品x臺(tái)的費(fèi)用為C(x)=6x+180（萬元），得到的收入為R(x)=11x-0.01x2（萬元），問每批生產(chǎn)多少臺(tái)，才能使利潤(rùn)最大？

分析：設(shè)利潤(rùn)為L(zhǎng)(x)，則

令 L＇(x)=0，解得 x=250（臺(tái)），

由于 L＂(x)=-0.02<0

所以L(250)=445（萬元）為極大值，也就是最大值。

四、最優(yōu)價(jià)格問題

在生產(chǎn)和銷售商品過程中，商品銷售量、生產(chǎn)成本與銷售價(jià)格是互相影響的，廠家如何選擇合理的銷售價(jià)格，才能獲得最大利潤(rùn)，這個(gè)問題稱為最優(yōu)價(jià)格問題。

例如，某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，當(dāng)產(chǎn)量分別為x1，x2時(shí)，其總成本函數(shù)為

而市場(chǎng)對(duì)這兩種產(chǎn)品的需求函數(shù)為

p1，p2其中分別是這兩種產(chǎn)品的價(jià)格。試問：工廠應(yīng)怎樣確定兩種產(chǎn)品的價(jià)格才能使所獲利潤(rùn)最大？

五、庫(kù)存管理問題

不論是生產(chǎn)廠家還是商家，都要設(shè)置倉(cāng)庫(kù)來存儲(chǔ)商品，因此，庫(kù)存問題也是他們必須面對(duì)的問題。企業(yè)為了完成一定的生產(chǎn)任務(wù)，必須要保證生產(chǎn)正常進(jìn)行所必需的材料。但是，在總需要量一定條件下，訂購(gòu)批量大、訂購(gòu)次數(shù)少，訂購(gòu)費(fèi)用就小，而保管費(fèi)用就要相應(yīng)增加，因此，就有一個(gè)如何確定訂購(gòu)批量使總費(fèi)用最少的問題。在經(jīng)濟(jì)學(xué)上，把最優(yōu)訂貨批量稱為經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量，在經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量處，滿足訂購(gòu)費(fèi)用和保管費(fèi)用一致，并使兩者之和也就是總費(fèi)用最少。

例如，某種材料一年需要量為24000個(gè)，每個(gè)價(jià)格為40元，年保管的費(fèi)用為12%，每次訂購(gòu)的費(fèi)用是64元，求最優(yōu)訂購(gòu)批量、最少的總費(fèi)用。

六、其他應(yīng)用

由于經(jīng)濟(jì)問題的多樣化，其解決方法并無嚴(yán)格固定的模式可循，只能是具體問題具體分析，最值問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)的其他方面還有非常多的應(yīng)用，如：復(fù)利問題、折舊問題等等，豐富的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是解決問題的關(guān)鍵。

七、總結(jié)

文章列舉了最值在實(shí)際問題中的一些應(yīng)用，從經(jīng)濟(jì)學(xué)的利潤(rùn)最大、成本最低等方面分別舉例敘述了最值問題在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。隨著社會(huì)的不斷發(fā)展和進(jìn)步，最值問題在社會(huì)的各個(gè)方面都將會(huì)有更廣泛的應(yīng)用，還有待于進(jìn)一步研究。

[1] 王利霞.函數(shù)最值在一些實(shí)際問題中的應(yīng)用[J].科技信息，2010(9).

[2] 陳麗麗.函數(shù)極值在經(jīng)濟(jì)管理中的應(yīng)用[J].科技資訊，2006(24).

[3] 李 勝.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第一版）[M].電子科技大學(xué)出版社，2002.