基于KL變換和RLS的彩色圖像平滑濾波

史崇升，安慧慧，湯全武，張忠旺

（1.中國電信股份有限公司寧夏分公司，寧夏 銀川750002；2.中國人壽保險股份有限公司寧夏分公司，寧夏 銀川750002；3.寧夏大學 物理電氣信息學院，寧夏 銀川750021）

0 引 言

彩色圖像平滑濾波技術［1］主要可分為標量濾波法和矢量濾波法，標量濾波法在彩色圖像的每個通道上獨立地進行濾波，而矢量濾波法把彩色圖像每個像素作為一個矢量［2］。在標量濾波法方面，楊文兵等［3］基于HSI彩色空間對圖像進行平滑，能夠有效消除圖像噪聲影響；張闖等［4］針對彩色圖像雙邊濾波去噪方法存在的不足，提出一種邊緣檢測與雙邊濾波相結合的彩色圖像去噪方法。在矢量濾波法方面，李雪威等［5］通過確定初始高斯模板和高斯權值矩陣，實現對圖像的平滑；王晏等［6］根據圖像的顏色信息分布定義權重函數，求取自適應空域帶寬，結合圖像顏色信息、評價圖像質量的頻域結構相似度，并且通過最小化局部方差和最大化圖像頻域結構相似度確定了值域帶寬，采用Mean Shift算法克服了圖像過平滑問題，取得了較好的結果；鄧廷權等［7］提出一種彩色圖像自適應中心加權的矢量中值濾波方法，實驗驗證了該方法能有效去除彩色圖像的椒鹽噪聲；馬義德等［8］對污染嚴重的圖像，提出了自適應彩色圖像SCM 去噪方法，結果表明去噪后的主觀視覺和客觀評價明顯有所改善；陳北京等［9］為了整體處理彩色圖像，提出了一種基于四元數的去除泊松噪聲的加權平均濾波器。

在上述彩色圖像平滑濾波方法中，主要涉及對彩色圖像的平滑或去噪，研究對象為被噪聲處理的彩色圖像，而本文提出的結合KL 變換與遞推最小二乘法RLS的平滑濾波算法是對模糊且添加噪聲的RGB 彩色圖像進行平滑濾波。該算法利用離散KL變換將模糊加噪的RGB彩色圖像轉至新的彩色空間，并對各分量利用RLS平滑濾波，再將去噪的分量圖像合成并進行離散KL 逆變換，得到平滑濾波圖像。實驗結果表明，該算法具有較好的抑制高斯噪聲和椒鹽噪聲的效果，能夠提高模糊圖像的質量。

1 基于KL變換和RLS的彩色圖像平滑濾波

1.1 彩色圖像的KL變換

一幅彩色圖像就是彩色像素M×N×3的數組，其中每一個彩色像素點都是在特定空間位置的彩色圖像相對應的3個分量，可以看成是一個由3幅灰度圖像形成的 “堆”，即R、G、B這3幅灰度圖像［10］。令向量X 表示該彩色圖像，則X 的表達式為

X 向量的協方差矩陣定義為

式中：E——求期望；T——求轉置；mf——平均向量，mf的定義式為

將式 （3）代入式 （2）可知Cf是一個3×3的實對稱矩陣，故可找到它的一組3個正交特征值。令λi（i＝1，2，3）是按遞減順序排列的協方差矩陣的特征值；ei（i＝1，2，3）是協方差矩陣的特征向量。則定義KL變換矩陣T 為

KL變換的表達式為

式中：X－mf——原始圖像向量X 減去平均值向量mf，稱為中心化圖像向量。此式表明，變換后的圖像向量Y 等于中心化圖像向量X－mf與變換矩陣T 相乘。變換后的圖像向量Y 的均值向量my＝0，則向量Y 的協方差矩陣Cy＝TCfTT，可證明協方差矩陣Cy是對角型矩陣，其對角線上的元素等于Cf的特征值λi（i＝1，2，3），即

Cy非對角線上的元素為0，說明變換后向量Y 的像素是不相關的。將RGB圖像利用KL 變換后，原彩色圖像X 將轉化為圖像Y ，向量Y 3個分量 （J、K、L），即RGB彩色空間轉為JKL 彩色空間。向量Y 的表達式為

KL逆變換的表達式為

1.2 自適應RLS濾波算法

遞推最小二乘法 （recursive of least square，RLS）是FIR 維納濾波器的一種時間遞歸算法。RLS 的基本思想：新的估計值在老的估計值基礎上修正而成的［11］。

根據參考文獻 ［12］，設θ為一向量，且θ僅與當前觀測值有關，則新的估計值＝老的估計值＋修正項，推導可得最小二乘遞推算法的形式為

遞推最小二乘的另一種形式為

式中：p（k）、q（k）——定義的中間變量；z（k）——k 時刻期望信號；a（k）——k時刻輸入信號。

式 （10）只適用于一維信號的處理，若要對式 （7）的J、K、L分量進行濾波，就必須在濾波算法程序設計過程當中設計兩層嵌套循環，對二維圖像J、K、L 各分量分別逐行掃描或逐列掃描，以實現用RLS算法對J、K、L 三分量的濾波去噪。

2 KL－RLS平滑濾波算法

2.1 算法的基本思想

該算法首先對待平滑的彩色圖像進行離散KL 變換，去除R、G、B各分量間的相關性，將其RGB 空間轉換為JKL空間 （J、K、L 分量均值為零，互不相關，并且方差依次增大）。然后分別對J、K、L分量分別采用遞推最小二乘濾波算法RLS濾波，并將濾波的分量圖像合成為JKL 空間圖像。最后將合成的圖像進行離散KL 逆變換，得到最終的平滑濾波圖像。為了敘述的方便，將本文對彩色圖像的濾波算法稱為KL－RLS平滑濾波算法，具體實現算法的流程如圖1所示。

圖1 KL－RLS平滑濾波流程

2.2 評價標準

本文采用均方誤差 （MSE）、峰值信噪比（PSNR）值和相關測度K［13］作為彩色圖像平滑濾波結果的客觀評價標準。

均方誤差MSE用來表示平滑濾波圖像與原始圖像之差平方的期望值，其離散形式為

式中：f（x，y）、g（x，y）——原始圖像的分量、平滑濾波圖像的分量在點（x，y）上的灰度值，M、N——x 方向、y 方向圖像像素點的個數。

峰值信噪比PSNR 反映平滑濾波圖像的失真程度，一般它的值越大就表示平滑濾波圖像的質量越好，其定義為

式中：L——平滑濾波圖像分量的灰度取值范圍。

相關測度K 值即表示平滑濾波圖像的分量和原始圖像分量的相似程度，其定義為

整幅圖像的均方誤差MSE、峰值信噪比PSNR 值和相關測度K 值取R、G、B三通道的均值。

3 仿真實驗與結果分析

3.1 實驗安排

實驗選用的圖像特征為8 位無符號整形Lena 圖像，PNG 格式，尺寸256x256，如圖2 （a）所示。實驗內容分為兩部分：①對輸入的RGB圖像模糊且加入不同的噪聲類型，包括高斯噪聲和椒鹽噪聲，采用KL－RLS平滑濾波算法進行濾波，并利用均方誤差MSE、峰值信噪比PSNR 值和相關測度K 值對本文算法客觀的分析評價；②采用常數比率的維納濾波、自相關函數的維納濾波對模糊加噪的Lena進行濾波，并與KL－RLS平滑濾波的效果相比較。其流程如圖3所示。

3.2 實驗結果與分析

圖2 KL－RLS平滑濾波算法的濾波效果

圖3 實驗流程

圖像模糊是由場景和傳感器兩者產生的，或者是在圖像獲取時傳感器和場景之間的均勻線性運動而產生，為了模擬這種情況，可以使用IPT 函數fspecial（參數選擇motion、len、theta，參數theta以度為單位，以順時針方向對正水平軸度量），近似于由有著len個像素的攝像機的線性移動的效果，并通過添加適當的噪聲對圖像模糊建模。對圖2 （a）使用fspecial函數模糊，其參數len為7，theta為45度。當加入均值為0，方差為0.01的高斯噪聲，效果如圖2 （b）所示，并采用KL－RLS平滑濾波，平滑結果如圖2 （c）所示；對圖2 （a）加入噪聲密度為0.05 的椒鹽噪聲，效果如圖2 （d）所示，同樣也采用KL－RLS平滑濾波，平滑結果如圖2 （e）所示。

從圖2可以看出：使用KL－RLS平滑濾波算法對模糊加噪的Lena圖像濾波，對高斯噪聲和椒鹽噪聲均具有良好的抑制作用，達到了較好的濾波效果，其濾波結果均能較為清晰的看到Lena圖像的邊緣和細節信息，但會產生一定的顏色失真。

圖4 （a）～圖4 （c）是對模糊的Lena圖像添加高斯噪聲，并經過離散KL 正變換后的J、K、L 分量圖像，從中可看到J分量圖像完全被淹沒在噪聲之中；K 分量圖像可看到Lena的邊緣和輪廓；L分量圖像明顯要比J分量和K分量清晰。圖4 （d）～圖4 （f）是對J、K、L 各分量濾波后的圖像，與經過離散KL正變換的分量圖像相比，J分量依然看不清圖像的輪廓，可Lena右側的背景輪廓大致可以看到；K 分量和L分量圖像明顯的消除了噪聲的影響。因此，說明采用自適應RLS濾波算法對經過離散KL正變換后的J、K、L分量濾波，可獲得了較好的平滑濾波效果。表1計算的MSE、PSNR、K值可進一步說明這一直觀判斷。

圖4 J、K、L分量濾波前后的圖像

表1 J、K、L分量濾波前后的MSE、PSNR、K值

從表1可看出，經過離散KL 正變換的各分量與模糊且添加高斯噪聲R、G、B 各分量之間的MSE、PSNR、K值相比，對J、K、L 分量采用RLS濾波之后，J－R、K－R、L－B的PSNR、K 值較大且MSE 值較小，說明對KL 變換的分量圖像采用自適應RLS濾波算法后，提高了J、K、L各分量圖像的質量。對模糊的Lena圖像添加椒鹽噪聲，也可得到相同的結果。

采用常數比率的維納濾波、自相關函數的維納濾波對添加高斯噪聲、椒鹽噪聲的Lena模糊圖像進行濾波，結果如圖5 （a）～圖5 （d）所示。

將圖2 （c）、圖2 （e）與圖5相比較可知：①采用KLRLS平滑濾波算法，可以提高圖像的視覺效果和圖像的質量，而采用常數比率維納濾波、自相關函數維納濾波算法雖然可以較為清晰的看到Lena的邊緣和輪廓等細節信息，但圖像的噪聲依然很大，并且存在顏色失真；②與采用常數比率維納濾波算法相比，自相關函數維納濾波對模糊加噪圖像的濾波效果較為明顯。表2、表3、表4是各濾波算法的MSE、PSNR、K 值。

圖5 常數比率維納濾波、自相關函數維納濾波算法的濾波效果

表2 KL－RLS平滑濾波算法的MSE、PSNR、K 值 （模糊高斯噪聲）

表3 KL－RLS平滑濾波算法的MSE、PSNR、K 值 （模糊椒鹽噪聲）

表4 常數比率維納濾波、自相關函數維納濾波算法的MSE、PSNR、K 值

從表2和表3可以看出：①同RGB圖像與其模糊加噪圖像之間的MSE、PSNR、K 值相比，原始Lena圖像與直接經過KL變換的重構圖像之間的PSNR、K 值均較小且MSE值較大，說明模糊加噪的RGB圖像直接采用KL變換得到重構圖像，沒有提高RGB 圖像的質量；②同RGB 圖像與其模糊加噪圖像之間的MSE、PSNR、K 值相比，對添加高斯噪聲或椒鹽噪聲的模糊Lena圖像經過KL－RLS平滑濾波后，R－J對應的PSNR、K 值較小且MSE 大，而GK、B－L對應的PSNR、K 值較大且MSE 較小，說明影響本文算法的因素主要在于對J分量的濾波，而整幅圖像的MSE、PSNR、K 值的結果均較大，說明采用KL－RLS平滑濾波算法對圖像進行平滑，其過程付出了一定的細節模糊代價；③同RGB圖像與直接經過KL 變換的重構圖像之間的MSE、PSNR、K 值相比，RGB 圖像與KL－RLS平滑濾波圖像之間各性能指標的結果與②相同。

從表4可看出，無論是對模糊的Lena圖像添加高斯噪聲，還是添加椒鹽噪聲，使用自相關函數的維納濾波的PSNR、K值均較大且MSE值較小，說明對模糊噪聲圖像進行濾波，自相關函數的維納濾波算法優于常數比率維納濾波。

對比表2、表3、表4 可以看出，與常數比率維納濾波、自相關函數維納濾波算法，采用KL－RLS平滑濾波算法對模糊加噪的Lena圖像進行平滑濾波，其PSNR、K 值均較大且MSE值較小，說明該彩色圖像平滑濾波算法優于使用常數比率維納濾波和自相關函數維納濾波算法。

4 結束語

本文針對彩色圖像的平滑濾波問題，利用運動退化模型對Lena圖像進行模糊，同時對其模糊圖像添加高斯噪聲和椒鹽噪聲，并采用常數比率維納濾波、自相關函數維納濾波、KL－RLS平滑濾波算法對模糊加噪的彩色圖像進行濾波。仿真結果表明，與采用常數比率維納濾波和自相關函數維納濾波算法對彩色圖像進行濾波相比較，結合KL變換和遞推最小二乘法RLS對模糊加噪的RGB 圖像具有良好的噪聲抑制作用，可取得良好的濾波效果。從對模糊加噪的彩色圖像的濾波結果來看，沒有考慮彩色圖像通道之間的內在聯系，產生了原圖像所沒有的新顏色而造成圖像失真。同時，經過離散KL變換的J分量來分析，其濾波效果不明顯，而且與K 分量和L 分量的均方誤差、峰值信噪比和相關測度值相比均較小，說明該算法還具有很大的改進和提升的空間，下一步將在這些方面進行研究改進。

［1］LI Honglin，ZHANG Qi，YANG Dawei.Improved algorithm for no－reference quality assessment of blurred image［J］.Journal of Computer Applications，2014，34 （3）：797－800 （in Chinese）.［李鴻林，張琦，楊大偉.無參考模糊圖像質量評價改進算法 ［J］.計算機應用，2014，34 （3）：797－800.］

［2］LI Yueyang.Study on mehtods of color image filtering ［D］.Wuxi：Jiangnan University，2010 （in Chinese）.［李岳陽.彩色圖像濾波算法的研究 ［D］.無錫：江南大學，2010.］

［3］YANG Wenbing，XU Faqiang.Color imgage smoothing based on color space transformation ［J］.Science ＆ Technology Information，2009 （35）：524－523 （in Chinese）. ［楊文兵，許法強.基于顏色空間轉換的彩色圖像平滑處理 ［J］.科技信息，2009 （35）：524－523.］

［4］ZHANG Chuang，CHI Jiannan，ZHANG Zhaohui，et al.Removing noise of color images based on edge detection and bilateral filter ［J］.Acta Electronica Sinica，2010，38 （8）：1776－1784 （in Chinese）.［張闖，遲健男，張朝暉，等.基于邊緣檢測與雙邊濾波的彩色圖像去噪 ［J］.電子學報，2010，38 （8）：1776－1784.］

［5］LI Xuewei，ZHANG Xinrong.Automatic edge and detail preserving smoother for color image ［J］.Computer Engineering and Applications，2010，46 （3）：172－174 （in Chinese）. ［李雪威，張新榮.保持邊緣和細節的彩色圖像自動平滑 ［J］.計算機工程與應用，2010，46 （3）：172－174.］

［6］WANG Yan，SUN Yi.Adaptive mean shift based image smoothing and segmentation ［J］.Acta Automatica Sinica，2010，36 （12）：1637－1644 （in Chinese）.［王晏，孫怡.自適應Mean Shift算法的彩色圖像平滑與分割算法 ［J］.自動化學報，2010，36 （12）：1637－1644.］

［7］DENG Tingquan，DONG Tianzhen，XIE Wei，et al.Median filtering method based on adaptive central weighting for color images［J］.Control and Decision，2013，28 （9）：1372－1376（in Chinese）.［鄧廷權，董天禎，謝巍，等.自適應中心加權的彩色圖像中值濾波方法 ［J］.控制與決策，2013，28 （9）：1372－1376.］

［8］MA Yide，YUAN Jinxia，ZHANG Hongjuan.Self－adaptive method using scm for noise removal in color images［J］.Journal of University of Electronic Science and Technology of China，2012，41 （5）：754－759 （in Chinese）. ［馬義德，袁金霞，張紅娟.自適應彩色圖像SCM 去噪 ［J］.電子科技大學學報，2012，41 （5）：754－759.］

［9］CHEN Beijing，DAI Hui，LIU Quansheng.Poisson noise removal for color images using quaternion representation ［J］.Journal of Southeast University （Natural Science Edition），2013，43 （4）：717－726 （in Chinese）. ［陳北京，戴慧，劉全升.基于四元數表示的彩色圖像泊松噪聲 ［J］.東南大學學報（自然科學版），2013，43 （4）：717－726.］

［10］Rafael C Gonzalez.Digital image processing using MATLAB［M］.RUAN Qiuqi，transl.Beijing：Publishing House of Electronics Industry，2012 （in Chinese）.［岡薩雷斯.數字圖像處理 （MATLAB版）［M］.阮秋琦，譯.北京：電子工業出版社，2012.］

［11］TANG Quanwu，SHI Chongsheng，WU Jia.Potato hyperspectral image de－noising based on wavelet and recursive of least squares［J］.Journal of Gansu Agricultural University，2014 （2）：170－175 （in Chinese）.［湯全武，史崇升，吳佳.基于小波遞推最小二乘濾波算法的馬鈴薯高光譜圖像去噪［J］.甘肅農業大學學報，2014 （2）：170－175.］

［12］ZHANG Ran，TANG Quanwu，SHI Chongsheng.Recursive least squares adaptive filtering algorithm for image de－noising［J］.Computer Applications and Software，2014，31 （5）：193－196 （in Chinese）.［張然，湯全武，史崇升.基于遞推最小二乘自適應濾波算法的圖像去噪 ［J］.計算機應用與軟件，2014，31 （5）：193－196.］

［13］CHEN Yunlong，WANG Ping，WANG Peng.Degradation image restoration algorithm based on L－R nonlinear iteration［J］.Computer Engineering，2010，36 （4）：202－204 （in Chinese）.［陳云龍，王平，王鵬.基于L－R 非線性迭代的降質圖像復原算法［J］.計算機工程，2010，36 （4）：202－204.］