多調制指數CPM 低復雜度序列檢測算法

張 茹，鐘 聲，解 楠，楊 春

（中國工程物理研究院 電子工程研究所，四川 綿陽621900）

0 引 言

多調制指數CPM （Multi－h CPM）是在連續相位調制（CPM）技術［1］基礎上發展起來的，它具有Nh（Nh≥2）個調制指數｛h1，h2，...，hNh｝，且隨時間循環變化，但在每個碼元間隔保持不變。多調制指數引入兩方面的增益，一方面，可以提高抗誤碼性能，不同的調制指數對應不同的相位路徑，合理地選擇調制指數，可以使相位網格圖中的相鄰相位路徑經過較長的碼元間隔再合并，經過的碼元長度越長，對應序列間的最小歐氏距離就越高；另一方面，可以使頻譜更加緊湊，帶外滾降速度更快，提高頻譜利用率。美國先進靶場遙測計劃組織 （ARTM）已把Multi－h CPM 定為遙測新體制的第二步目標 （ARTM Tier II CPM）。雖然Multi－h CPM 信號具有傳統調制方式無法比擬的優點，但其優異的性能是以高的復雜度為代價的，這使得工程實現變的困難。因此，尋求Multi－h CPM 低復雜度序列檢測算法成為亟待解決的問題。

針對Multi－h CPM 最大似然序列檢測所需匹配濾波器數和網格狀態數多帶來的高復雜度，國內外學者已進行了大量研究。總體來看，主要有兩種技術路線：一種是在接收端尋求與原始信號具有相似或相等歐氏距離且維數較低的信號空間代替發端的原始信號，以降低相關器數目，典型的有相位脈沖截短法、基函數分解法等；另一種是通過合理合并網格狀態或預處理等方法，減少Viterbi算法［2］中搜索的網格狀態數，典型的有傾斜相位法、狀態空間分類［3］。還有文獻 ［4］給出了一種基于相位距離的降低復雜度算法，通過設置相位距離門限來選擇一部分參考信號進行相關計算，但其門限值沒有統一公式且沒法定性分析狀態減少數量。文獻 ［2］指出，兩類算法的聯合可能得到更好的性能。針對多調制指數文獻 ［5］提出了一種降維聯合狀態空間分類的思路。文獻 ［6］給出了一種正交基分解聯合狀態空間分類的方法，其正交基的獲得較為復雜且只針對單調制指數。

在前人的基礎上，提出一種基于傾斜相位、特征值分解［7］和狀態空間分類的降低復雜度序列檢測算法。這里引入特征值分解來獲取正交基，并根據最小殘余誤差準則選取基函數達到降維的目的。同時將信號網格狀態進行分類融合，并引入判決反饋［8］約束狀態轉移，從而實現匹配濾波器數和網格搜索狀態數的減少。以Tier II信號為例進行仿真驗證，仿真結果表明，其能在較小的性能損失下顯著降低復雜度。

1 Multi－h CPM 信號模型

Multi－h CPM 基帶信號［9］

在第n個符號間隔 （nT ≤t≤（n＋1）T）時，相位可以表示為

其中，θn是相位狀態，（an－1，an－2，…，an－L＋1）是相關狀態。CPM 總的狀態個數：當m 為偶數時為pML－1，當m 為奇數時為 2pML－1。 信號可完全由狀態向量［θn，an－L＋1，…，an－1］確定。

接收信號

其中，n（t）是加性高斯白噪聲，單邊帶功率譜為N0／2。

最大似然檢測序列輸出［10］

根據Viterbi算法有

分支度量可寫為MF1

最佳解調模型如圖1所示，共需要ML個匹配濾波器，共有pML或2pML個網格狀態。

圖1 CPM 最佳解調模型

2 Multi－h CPM 序列檢測算法性能及其低復雜度序列檢測算法

2.1 序列檢測性能理論分析

可以通過在網格中轉移的路徑之間的最小歐式距離來評估CPM 信號最大似然序列檢測的性能。通常，具有最小歐式距離的路徑僅有有限個節點不同，即在某個時刻的節點上分離，而在后面某一個時刻的同樣節點上重新匯合。

對于高斯白噪聲信道下的CPM 信號，比特錯誤率可以近似表示為

尺度因子可表示為

其中，Δa表示序列差，W 表示比特錯誤權重，N 表示具有相同序列差的序列對數目，M 為進制數，Nh為調制指數個數，R 為Δa中非零數的個數。誤比特率可表示為

2.2 低復雜度序列檢測算法

CPM 信號是時變的，而且當調制指數分子m 為奇數時，相位狀態還要區分奇數和偶數時刻，為了解決這一問題引入傾斜相位對信號做一些預處理，然后將信號投影到有限維基函數上。這里引入特征函數分解的方法獲得正交基并根據最小殘余誤差準則來選取基函數，能夠容易的獲取基函數并得到信號最佳降秩表示。為了進一步降低搜索網格規模，可以通過一些準則將狀態進行分類合并，由于信號的記憶特性，合并后可能引入非法的轉移路徑，引入判決反饋來進行約束。具體算法實現過程如下：

（1）傾斜相位：定義（t，a）＝φ（t，a）＋πh（M－1）t／T并用符號Ui＝ （ai＋M－1）／2代替原來的ai，相當于把每一個時刻的相位作相應的平移，那么新的相位表示的不再是絕對相位，而是相對相位值。新的相位軌跡是時不變的，而且共有p 個可能取值，與m 的奇偶無關。相位狀態數降為原來的一半，即網格狀態數減少一半。

（2）特征值分解EVD：Multi－h CPM 信號在一個符號間隔T 所有可能的取值有N ＝ML個，組成一個信號集。設為信號空間的一組正交基定義向量s（t）＝［s1（t）…sN（t）］T，φ（t）＝［φ1（t）…φN（t）］T，投影sij構成N×M 維矩陣A ，則有s（t）＝Aφ（t）。

為了獲得信號的最佳降秩表示，這里引入最小殘余誤差準則，即真實信號與截短正交基后的近似信號之間的殘余誤差最小。

信號相關矩陣R＝AAH，分析可知A 的奇異值的平方是R 的特征值，可以通過信號相關矩陣R 的特征值分解來獲取正交基，根據特征值大小來選擇信號的最佳降秩表示。正交基的個數決定了匹配濾波器的個數。

（3）狀態空間分類SSP：為了進一步減少網格狀態數，可以將網格狀態進行合并，減少Viterbi譯碼的狀態數，同時為了避免引入非法轉移路徑，引入判決反饋進行狀態轉移約束。

引入傾斜相位后的Multi－h CPM 信號狀態向量可以表示為：σn＝ ［Vn，Un＋1－L，…，Un－1］

簡化后的狀態定義如下

其中，Γ代表一種映射算子，通過映射可以將一些狀態劃歸為一類。可以根據不同的準則選擇映射算子。

包含在狀態向量中的信息可以由兩個狀態向量σ′n和σ″n唯一確定。因為合并后的網格中存在平行轉移，所以一些在全狀態網格圖中不存在的狀態轉移路徑可能發生在合并后的網格狀態轉移中。當在RS網格中使用Viterbi算法計算分支度量時，為減少計算量同時避免錯誤路徑，就要注意選擇有效路徑進行計算。但是，無法僅根據減狀態后的狀態轉移來判斷路徑是否有效，需要其它輔助的限定條件來幫助限定轉移，這里引入判決反饋。

基于判決反饋的SSP 算法的實現如下：因為狀態向量σn由σ′n和σ″n唯一確定，可知RS網格中的一個轉移σ′n：U′n→σ′n＋1，與ML 網格中某個σ″n對應的轉移σ′n×σ″n：U′n→σ′n＋1×σ″n＋1相對應。為了對轉移狀態進行約束，避免產生非法路徑，需要確定對應的σ″n。但實際上，簡化后的狀態對應σ″n是未知的，只能通過幸存路徑上的判決結果進行反饋，來估計出被省略的狀態，進而得到對應的原始狀態。這樣不但使Viterbi算法的搜索網格狀態數減少，也使得分支度量的計算量減少，從而達到降低復雜度的目的。

3 仿真結果及分析

為了驗證低復雜度算法的正確性，以ARTM CPM Tier II信號為例進行仿真。信號的主要參數為：M ＝4，hi∈｛4／16，5／16｝，L ＝3，頻率脈沖響應為升余弦。可以看出，Tier II信號總網格狀態數為：32×43－1＝512，復數匹配濾波器數為43＝64。其狀態向量可以表示為 ［32，4，4］。隨機生成106個符號通過調制得到發送信號，通過加性高斯白噪聲信道傳輸，解調統計誤碼率。給出了不同信噪比下的誤碼率性能。

圖2給出了4維不同網格狀態的誤碼率性能。圖中維度決定匹配濾波器數，狀態向量決定狀態數。狀態向量代表的意義是 ［相位狀態數，相關狀態數，相關狀態數］，例如全狀態時為64維 ［32，4，4］，匹配濾波器為64，總狀態數為32x4x4。當相位狀態數或相關狀態數為1時，表示此狀態被完全忽略，它的貢獻被融合到其它狀態中。圖2中的union bound是理論分析的全狀態序列檢測性能下界取前兩項近似的結果，MLSD 是全狀態最大似然序列檢測性能曲線。可以看出，不同的簡化方案引入不同程度的性能損失。比較4維 ［4，4，4］和4 維 ［2，4，4］的仿真曲線可以看出，匹配濾波器數由64降為4，狀態數由512降為64，性能損失在Pb＝10－5時約為0.2dB。再進一步合并相位狀態，由4個降為2個，狀態數由512降為32，性能損失在Pb＝10－5時約為1dB，引入了0.8dB的損失。比較 ［4，4，4］和 ［4，2，4］、 ［8，1，4］，進一步合并相關狀態，由4個降為2個引入較大性能損失，而將最老的相關狀態融合到相位狀態，保持狀態數不變，性能損失比只合并相關狀態要小很多。通過分析可知，性能損失主要由兩方面引入，一方面是狀態合并可能引起最小歐氏距離減小，使得譯碼過程對噪聲更為敏感，導致誤碼增多。另一方面是引入判決反饋，因為信號具有記憶特性，錯誤的判決結果進入反饋會導致誤差累積。特別是在信噪比較低的情況下，判決錯誤率較高，反饋回去會造成正確的ML路徑被舍棄，導致后面幾段網格采用不正確的路徑使得誤差連續傳播，難以達到性能下界。

圖3給出了3維不同網格狀態的誤碼率性能仿真結果，可以看出維數 （匹配濾波器數）由4降為3后，狀態 ［2，4，4］和 ［4，4，4］性能損失在誤碼率為10－5時小于0.01，表明可以將匹配濾波器減少為3而幾乎不引起性能損失。通過分析可知，主要原因是忽略的特征值相比其它值很小，所以對性能的損失影響很小。當維數降為2 或1時，性能明顯惡化，這里沒有給出。

不同的低復雜度方案和性能的概括見表1。

圖2 低復雜度算法4維不同狀態BER 性能

圖3 低復雜度算法3維不同狀態BER 性能

表1 復雜度和性能比較

4 結束語

針對Multi－h CPM 接收機由于匹配濾波器數和狀態數多導致的解調復雜度高的問題，提出一種基于傾斜相位、特征值分解和狀態空間分類的低復雜度序列檢測算法。通過傾斜相位消除信號時變和奇偶特性，特征值分解和最小殘余誤差準則獲得信號最佳降秩表示，同時引入狀態分類融合和判決反饋，實現了匹配濾波器和Viterbi譯碼搜索網格數的顯著減少。理論推導和仿真結果表明：通過合理選擇基函數和狀態空間分類方法可以實現在較小性能損失下顯著降低復雜度。以Tier II信號為例，匹配濾波器由64降為3，狀態數由256降為64性能損失在誤碼率為10－5時僅為0.2dB。

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