集合與函數常見考題類型解析

李永武

集合與函數是高中數學的基礎知識，也是學好高中數學的基礎。大家要想學好這部分知識，理解概念是關鍵，在掌握概念的基礎上，要學會靈活運用。下面介紹這部分的常考題型，供大家參考。

一、集合的基本概念

（1）用描述法表示集合時，首先要搞清楚集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明白集合的類型，是數集、點集還是其他類型集合。（2）集合中元素的互異性容易被忽略，求解問題時要特別注意。（3）分類討論的思想方法常用于解決集合問題。

倒1 若集合{a，b，c，d}={1，2，3，4），且下列4個關系：①a=l，②b≠1，③c=2，④d≠4有且只有一個是正確的，則符合條件的有序數組（a，b，c，d）的個數是______。

解：若①正確，則②③④不正確，可知b≠1不正確，即b=l，與a=l矛盾，可知①不正確。

若②正確，則①③④不正確，由④不正確，得d=4。由a≠1，b≠l，c≠2，知滿足條件的有序數組為（3，2，1，4）或（2，3，1，4）。

若③正確，則①②④不正確，由④不正確，得d=4。由②不正確，得b=l。知滿足條件的有序數組為（3，1，2，4）。

若④正確，則①②③不正確，由②不正確，得b-l。由a≠1，c≠2，d≠4，知滿足條件的有序數組為（2，l，4，3）或（3，1，4，2）或（4，1，3，2）。

綜上所述，滿足條件的有序數組的個數為6。

跟蹤練習1：已知集合A={a，a+b，a+2b），B={a，ac，ac²}，若A=B，求c的值。

提示：利用集合相等，轉化為方程問題來解決。

若a十b=ac，且a+2b=ac²，消去b，則a-2ac+ac²=0。

顯然a≠0，否則集合B的元素均為O，與集合中元素的互異性矛盾，所以1-2c+c²=0，得c=l，這時B={a，a，a}，仍與集合中元素的互異性矛盾。

二、集合間的基本關系

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合關系時，必須優先考慮空集的情況，否則容易產生漏解。（2）已知兩個集合間的關系求參數時，關鍵是將條件轉化為元素或區間端點間的關系，進而轉化為參數所滿足的關系。常用數軸、Venn圖來直觀解決這類問顥。

三、集合的基本運算

（1）-般來講，集合中的元素若是離散的，則用Venn圖表示；集合中的元素若是連續的實數，則用數軸表示，此時要注意端點的情況。（2）對集合的運算要注意集合間的特殊關系的使用，靈活使用這些關系，會使運算更簡化。

四、函數的概念

函數的值域可由定義域和對應關系唯一確定；當且僅當定義域和對應關系都相同的函數才是同一函數。值得注意的是，函數的對應關系是就效果而言的（判斷兩個函數的對應關系是否相同，只要看對于函數定義域中的任意一個相同的自變量的值，按照這兩個對應關系算出的函數值是否相同）。

五、求函數的解析式

求函數的解析式的主要方法有：待定系數法，換元法，配湊法，消去法。

六、利用函數的單調性求參數

已知函數的單調性確定參數的值或范圍時要注意兩點：①若函數在區間[a，b]上單調，則該函數在此區間的任意子區間上也是單調的；②分段函數的單調性，除注意各段的單調性外，還要注意銜接點的取值。

數的值域為（m，1），所以f（a）+f（b）>2m，f（c）<1，可得2m≥1，即m≥1/2。

綜上可知，1/2≤m≤2。

應選A。

跟蹤練習6：設f（x）是定義在R上的奇函數，且當x≥0時，f（x）=x²，若對任意z∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，則實數a的取值范圍是_____。

提示：當x≥O時，f（x）=x²，可知f（x）是[0，+∞）上的增函數。又f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（x）是R上的增函數。

對任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，即對任意x∈[a，a+2]，x+a≥3x十l，即a≥2x十l成立。

因為函數y=2x+1是[a，a+2]上的增函數，所以y=2x+l有最大值2a+5，可得a≥2a+5，a≤-5，即a∈（-∞，-5]。

答案為（-∞，-5]。

七、判斷函數的奇偶性

（1）利用定義判斷函數的奇偶性。（2）在判斷函數奇偶性的運算中，可以轉化為判斷函數關系式：f（x）+f（-x）=0或f（x）-f（-x）=0是否成立。

例7 設函數f（x），g（x）的定義域都為R，且f（x）是奇函數，g（x）是偶函數，則下列結論中正確的是（）。

A.f（x）g（x）是偶函數

B.|f（x）|g（x）是奇函數

C.f（x）|g（x）|是奇函數

D.|f（x）g（x）|是奇函數

解：偶函數的絕對值還是偶函數，一個奇函數與一個偶函數之積為奇函數。

應選C。

跟蹤練習7：已知y=f（x）是奇函數。

若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，則g（-1）=____。

提示：本題考查奇函數的定義及函數值的求法。

因為f（x）為奇函數，所以f（-1）=-f（1）。

g（1）=f（1）+2 ①。

g（-1）=f（-1）+2 ②。

由①+②得g（1）+g（-1） =4，所以g（-1）=4-g（1）=3。endprint