基于灰色系統(tǒng)與線性回歸方法的水質(zhì)預(yù)測(cè)

張 潔，楊 慶，趙 杰

（北京市水文地質(zhì)工程地質(zhì)大隊(duì)，北京 100195）

基于灰色系統(tǒng)與線性回歸方法的水質(zhì)預(yù)測(cè)

張 潔，楊 慶，趙 杰

（北京市水文地質(zhì)工程地質(zhì)大隊(duì)，北京 100195）

以北京市石景山區(qū)某地地下水監(jiān)測(cè)點(diǎn)多年監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)為例，進(jìn)行適宜性預(yù)測(cè)方法的驗(yàn)證。其中，總硬度灰色預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為2.62%比線性預(yù)測(cè)低5.65個(gè)百分點(diǎn)；溶解性總固體線性預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為2.33%比灰色預(yù)測(cè)低0.61個(gè)百分點(diǎn)，與通過(guò)擬合度R2值大小選取的最優(yōu)預(yù)測(cè)方法一致，表明通過(guò)擬合度R2值大小來(lái)選取合理的預(yù)測(cè)方法是一種便捷、合理的技術(shù)手段。

地下水水質(zhì)預(yù)測(cè)；灰色系統(tǒng)；線性回歸方法；最小二乘法；擬合度；適應(yīng)性；

0 引言

地下水系統(tǒng)是自然環(huán)境的重要組成部分，但隨著人類社會(huì)的發(fā)展和生產(chǎn)規(guī)模的擴(kuò)大，地下水污染越來(lái)越嚴(yán)重。因此，有必要采取有效措施，保護(hù)地下水。地下水水質(zhì)預(yù)測(cè)是在水資源規(guī)劃的基礎(chǔ)上對(duì)地下水的評(píng)估和管理，是水資源保護(hù)的基礎(chǔ)，可以及時(shí)了解地下水質(zhì)的變化趨勢(shì)。當(dāng)前，國(guó)內(nèi)外地下水水質(zhì)預(yù)測(cè)已進(jìn)入了實(shí)用化階段[1～3]。伴隨著科學(xué)技術(shù)的不斷更新，預(yù)測(cè)的新方法還在不斷涌現(xiàn)，目前主要的預(yù)測(cè)方法有馬爾可夫法、灰色預(yù)測(cè)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型預(yù)測(cè)法和線性回歸分析法。本文根據(jù)預(yù)測(cè)方法適應(yīng)性的不同，通過(guò)對(duì)比、判別兩種方法預(yù)測(cè)的結(jié)果，選擇更優(yōu)化的方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，有效的避免了單一預(yù)測(cè)方法的局限性，預(yù)測(cè)精度更高[4～5]。

1 預(yù)測(cè)方法

1.1灰色預(yù)測(cè)

1982年時(shí)我國(guó)的教授鄧聚龍首先提出了灰色系統(tǒng)理論，并且提出它可以用連續(xù)的灰色微分模型來(lái)對(duì)系統(tǒng)以后的發(fā)展變化進(jìn)行觀察分析，并且做出預(yù)測(cè)[6]。灰色預(yù)測(cè)能夠依據(jù)已有的少量信息，通過(guò)運(yùn)算和分析得到預(yù)測(cè)結(jié)果。灰色預(yù)測(cè)中最為常用的就是G M(1,1)模型[7]。

設(shè) X(1)為 X(0)的1-AGO（即一次累加）序列：

利用 X(1)計(jì)算G M(1,1)模型參數(shù)α、μ。

由此獲得G M(1,1)模型如下：

如果預(yù)測(cè)模型的精度滿足要求，則可用來(lái)預(yù)測(cè)，獲得的預(yù)測(cè)值如下：

已經(jīng)建立的模型要通過(guò)殘差檢驗(yàn)和后驗(yàn)差檢驗(yàn)才能運(yùn)用預(yù)測(cè)。

后驗(yàn)差c和小誤差概率p是后驗(yàn)差檢驗(yàn)的兩個(gè)指標(biāo)，設(shè)S12和S22分別是原始數(shù)列和殘差數(shù)列的方差，即

其中：

用下式計(jì)算 C 和 P ：

C = S2/S1，P =P{0.6745S1＞e(0)(k )- e(0)},根據(jù)表1來(lái)判定模型的精度。只有模型能夠滿足后驗(yàn)差檢驗(yàn)要求才能認(rèn)為模型是合格。

表1 灰色預(yù)測(cè)模型精度表

灰色系統(tǒng)理論有許多優(yōu)點(diǎn)：①計(jì)算簡(jiǎn)單，可檢驗(yàn)。②數(shù)據(jù)要求低，不需要太多數(shù)據(jù)即可預(yù)測(cè)。③預(yù)測(cè)精度高。由于灰色系統(tǒng)理論中的G M模型是近似呈指數(shù)增長(zhǎng)的模型，被預(yù)測(cè)對(duì)象目標(biāo)值的灰度和變化遞變規(guī)律決定著預(yù)測(cè)的精度，因此可以判斷出灰色系統(tǒng)理論方法比較適用于數(shù)據(jù)序列呈近似指數(shù)增長(zhǎng)的數(shù)據(jù)的中期短期預(yù)測(cè)[8～10]。

1.2 線性回歸預(yù)測(cè)

線性回歸分析方法廣泛的應(yīng)用于各個(gè)科學(xué)領(lǐng)域。該方法不僅可以把藏于原始數(shù)據(jù)中的重要信息顯露出來(lái)，而且可以得到變量之間存在的關(guān)系，用數(shù)學(xué)方式表達(dá)出來(lái)，得到原始數(shù)據(jù)特征，運(yùn)用概率相關(guān)知識(shí)對(duì)數(shù)據(jù)的分析，判別其有效性。其中一個(gè)變量在受到其他變量的影響時(shí)，把這個(gè)變量稱之為因變量，記為Y，其他的變量稱之為自變量，記為X，這時(shí)相關(guān)關(guān)系式可記作:

其中f(x)為當(dāng)X =x時(shí)，因變量Y的均值，即 f(x)=E( Y∣X = x) 稱f(x)為Y對(duì)X的回歸函數(shù)，ε是Y對(duì)f(x)的偏差，它是一個(gè)隨機(jī)變量，為了研究方便我們假定E(ε)=0。回歸函數(shù)既可以是一元的函數(shù)也可以是多元的函數(shù)，即

其中f(x1,x2,…,xm)=E(Y|X1=x1,X2=x2,…,Xm=xm)

為m元回歸函數(shù)，統(tǒng)稱為多元回歸函數(shù)。

若回歸函數(shù) f (x1,x2,… ,xm)中，m = 1且 f (x1,x2,…,xm)

是線性函數(shù)，則稱f(x)為是一元線性回歸函數(shù)；m ＞ 1時(shí)f (x1,x2,… ,xm)是多元線性函數(shù)，則稱其為多元線性的回歸函數(shù)；若所得的回歸函數(shù) f (x1,x2,… ,xm)是非線性的函數(shù)，我們稱之為非線性回歸函數(shù)。要對(duì)整個(gè)回歸方程做 F 檢驗(yàn)和對(duì)變量之間關(guān)系做t檢驗(yàn)并要預(yù)測(cè)執(zhí)行度為95%的預(yù)測(cè)區(qū)間[11]。

線性回歸分析除了有灰色系統(tǒng)理論的優(yōu)點(diǎn)外，還可以很直觀，快速的分析出數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，并且可以確切的得出各個(gè)因素之間的擬合程度與相關(guān)程度的高低，提高預(yù)測(cè)方程式的效果。線性回歸分析方法就是找到數(shù)據(jù)之間的線性關(guān)系，通過(guò)回歸方程對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，所以適合預(yù)測(cè)原始數(shù)據(jù)近似呈線性分布的數(shù)據(jù)。

1.3 適宜方法的選擇

灰色系統(tǒng)法和線性回歸法均有其各自的適宜性，灰色系統(tǒng)理論適宜預(yù)測(cè)呈指數(shù)型分布的數(shù)據(jù)，線性回歸方法適宜預(yù)測(cè)呈線性分布的數(shù)據(jù)。對(duì)原始數(shù)據(jù)做最小二乘法處理得到原始數(shù)據(jù)的擬合度，并根據(jù)擬合度把線性回歸方法和灰色系統(tǒng)理論方法結(jié)合。地下水水質(zhì)預(yù)測(cè)分為3個(gè)步驟。

第一步：預(yù)測(cè)方法選擇

根據(jù)最小二乘法原理得到的指數(shù)或線性的擬合度R2大小來(lái)選取適合的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，若水質(zhì)指標(biāo)的指數(shù)趨勢(shì)線擬合度R2高于線性的，則用灰色系統(tǒng)理論預(yù)測(cè)；反之水質(zhì)指標(biāo)的線性趨勢(shì)線擬合度R2高于指數(shù)的，則選取線性回歸對(duì)指標(biāo)進(jìn)行預(yù)測(cè)。

第二步：預(yù)測(cè)

根據(jù)所選取的適宜性方法對(duì)數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，并對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果做原理性誤差分析。

第三步：預(yù)測(cè)結(jié)果分析

預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與實(shí)際值的對(duì)比，分析比較兩種方法的適應(yīng)性。

2 適宜性預(yù)測(cè)方法的驗(yàn)證

2.1 預(yù)測(cè)方法的選擇

選取北京市石景山某地為例進(jìn)行預(yù)測(cè)，地下水溶解性總固體、總硬度多年檢測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2，趨勢(shì)線散點(diǎn)圖見(jiàn)圖1、圖2，比較R2的大小得出適宜性的預(yù)測(cè)方法如表3。

表2 地下水多年水質(zhì)數(shù)據(jù)

圖1 溶解性總固體趨勢(shì)線散點(diǎn)圖

圖2 總硬度趨勢(shì)線散點(diǎn)圖

表3 預(yù)測(cè)方法的選擇

2.2 預(yù)測(cè)

（1）由于溶解性總固體的線性R2大于指數(shù)R2，應(yīng)選擇線性回歸方法對(duì)溶解性總固體預(yù)測(cè)。用數(shù)理統(tǒng)計(jì)軟件預(yù)測(cè)出來(lái)的結(jié)果見(jiàn)表4,此表給出了t檢驗(yàn)的所有系數(shù)的檢驗(yàn)結(jié)果以及標(biāo)化/未標(biāo)化的系數(shù)。通過(guò)系數(shù)表得到回歸方程：

y = 40.830x - 80879.121

式中：x 是自變量年份，y 是因變量溶解性總固體。

誤差檢驗(yàn)：R2=0.870，擬合效果比較好，線性成立。sig=0.000＜0.005，t檢驗(yàn)通過(guò)，模型成立。

（2）由于總硬度的指數(shù)擬合度R2大于線性擬合度R2，應(yīng)選擇灰色預(yù)測(cè)法預(yù)測(cè)總硬度。預(yù)測(cè)結(jié)果和誤差分析見(jiàn)表5。平均相對(duì)誤差為2.11%精度好，后檢驗(yàn)誤差C =0.15，P =1精度好，模型成立。

2.3 預(yù)測(cè)結(jié)果分析

用兩種方法預(yù)測(cè)后3年的數(shù)據(jù)，與實(shí)測(cè)值對(duì)比見(jiàn)圖3、圖4。總硬度灰色預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為2.62%，比線性預(yù)測(cè)低5.65個(gè)百分點(diǎn)；溶解性總固體線性預(yù)測(cè)值的平均相對(duì)誤差為2.33%，比線性預(yù)測(cè)低0.61個(gè)百分點(diǎn)，顯然選擇適宜性預(yù)測(cè)方法的預(yù)測(cè)值更準(zhǔn)確。

3 結(jié)論

根據(jù)灰色預(yù)測(cè)和線性回歸這兩種典型預(yù)測(cè)方法適應(yīng)性的不同，通過(guò)對(duì)原始數(shù)據(jù)做最小二乘法處理得到原始數(shù)據(jù)的擬合度，根據(jù)指數(shù)或線性的趨勢(shì)線的擬合度R2大小來(lái)選取適合的方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，為以后地下水質(zhì)預(yù)測(cè)及預(yù)警預(yù)報(bào)提供了一種新的思路。通過(guò)擬合度來(lái)選擇所需的預(yù)測(cè)方法，不僅簡(jiǎn)單，而且預(yù)測(cè)的數(shù)值準(zhǔn)確性更高。此種方法的不足是需要定點(diǎn)長(zhǎng)期穩(wěn)定的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，未考慮水文地質(zhì)、大氣降水等外在條件，預(yù)測(cè)值只是趨勢(shì)性預(yù)測(cè)。建議在有條件的情況下，可結(jié)合降水、水位等要素做多元回歸分析，并根據(jù)社會(huì)環(huán)境、地質(zhì)環(huán)境的階段性變化做分段預(yù)測(cè)。

表4 溶解性總固體線性預(yù)測(cè)結(jié)果

表5 總硬度誤差分析

圖3 總硬度預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比

圖4 溶解性總固體預(yù)測(cè)值與實(shí)際值對(duì)比

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Select the Suitability of Groundwater Quality Prediction Method

ZHANG Jie , YANG Qing , ZHAO Jie
(Hydrogeology and Engineering Geology Team of Beijing, Beijing 100195)

To develop an effi cient method, this paper selects the “Least Square Fit” method to fi t the initial data, and selects the corresponding optimal prediction method by the value of R2. To verify the feasibility of the method, both approaches have been tested by the data from a long-term groundwater monitoring points in Shijingshan District, Beijing. By applying the grey system method, the relative error for total hardness is 2.62%, which is 5.65% lower than the result of linear regression method. The relative error for TDS is 2.33% by grey system method, which is 0.61% lower than the result of linear regression method. The results are similar to that by the value of R2. Namely, it is a rational and effi cient technical method to select the suitable approach for groundwater quality prediction .

Groundwater quality prediction; Grey system method; Linear regression method; Least Square Fit; Fitness ; Suitability

X824

A

1007-1903（2015）04-0067-05

10.3969/j.issn.1007-1903.2015.04.013

張潔（1991- ），男，主要研究方向?yàn)榈叵滤h(huán)境監(jiān)測(cè)與評(píng)價(jià)。E-mail:735498097@qq.com