反饋強度對非線性光電延遲反饋環(huán)動力學的影響

王玉春，李曉文

（北京師范大學物理系，北京100875）

0 引言

1979年，Ikeda在研究非線性光學諧振腔時，從Maxwell－Debye方程中推導出了延遲偏微分方程（DDE），他對此方程進行數(shù)值分析后發(fā)現(xiàn)：隨著系統(tǒng)控制參數(shù)的改變，系統(tǒng)會有周期態(tài)和混沌態(tài)的輸出［1］。混沌態(tài)是自然界中普遍存在的一種現(xiàn)象，其基本特性就是對初值條件極為敏感，具有隨機變化的特點，它的動力學行為具有長期不可預測性，因此，在保密通信、傳感器網(wǎng)絡、超寬帶混沌雷達等領域有著重要應用。為此，很多人致力于能找到一個可以用DDE方程來描述其動力學性質的實驗系統(tǒng)，并將此類系統(tǒng)作為信號發(fā)生器應用于實踐中。

近幾十年來，人們不斷調(diào)整實驗裝置，從純光學系統(tǒng)到光電系統(tǒng)的改進，不僅增加了系統(tǒng)操作的穩(wěn)定性，也增加了系統(tǒng)動力學的復雜性。我們所研究的非線性光電反饋延遲系統(tǒng)就是經(jīng)過多次改進的實驗系統(tǒng)［2］（見圖1）。此類系統(tǒng)主要由半導體激光器、馬赫－曾德爾（M－Z）光強調(diào)制器、光電探測器、交流耦合放大器等元件組成光電反饋環(huán)。M－Z光強調(diào)制器透射的光強與加在調(diào)制器上的調(diào)制電壓成余弦平方關系，這是此系統(tǒng)非線性的來源。

非線性光電延遲反饋環(huán)在非線性、延遲和反饋的共同作用下會呈現(xiàn)出豐富的動力學狀態(tài)［3］，包括各種周期態(tài)、混沌態(tài)。近年來，在現(xiàn)代科技發(fā)展的進程中，實驗、數(shù)學分析及計算機數(shù)值模擬等多種研究手段的共同運用使得我們可以更清晰地研究復雜系統(tǒng)的動力學。人們對非線性光電延遲反饋環(huán)的研究主要集中于兩方面：系統(tǒng)在控制參數(shù)改變時所呈現(xiàn)的動力學狀態(tài)；能夠產(chǎn)生用于實際應用的混沌態(tài)。本文主要對其動力學狀態(tài)進行理論分析和數(shù)值模擬。

圖1 非線性光電反饋延遲系統(tǒng)Fig.1 Time－delayed feedback nonlinear optoelectronic system

1 非線性光電延遲反饋環(huán)的數(shù)學模型

用式（1）的DDE方程［4］來描述非線性光電延遲反饋環(huán)的動力學性質：

其中，β為反饋強度，ε為低通濾波器與高通濾波器時間常數(shù)的比值，τ為時間延遲，φ0為M－Z光強調(diào)制器的偏置相位。本文取ε＝2.45×10－6，φ0＝π／4，τ＝34.3ns。

對不動點的穩(wěn)定性進行分析，將方程進行變分可得

其中，xτ＝x（t－τ），λ為方程的特征值。對應的特征值方程為

整理可得

當特征值λ的值為純虛數(shù)時，也就是說當λ＝±iω時，會出現(xiàn)Hopf分岔。取γ＝βsin2φ0，方程（4）轉化為

2 不同反饋強度下系統(tǒng)呈現(xiàn)的各種動力學狀態(tài)

我們所研究的非線性光電延遲反饋環(huán)的動力學方程解的情況比較復雜，精確解的計算比較困難。我們主要通過數(shù)值模擬對系統(tǒng)的動力學狀態(tài)進行研究。該系統(tǒng)的控制參數(shù)主要有兩個：反饋強度β和偏置相位φ。本文主要研究系統(tǒng)的動力學狀態(tài)隨反饋強度的改變而發(fā)生的變化。從圖3中可以看出，隨著反饋強度β的增加，系統(tǒng)由穩(wěn)態(tài)經(jīng)過一系列周期態(tài)最終到達混沌態(tài)，經(jīng)歷了從簡單到復雜的一系列豐富的動力學狀態(tài)：當β＜1時，反饋強度低，系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)；當1＜β＜1.8時，系統(tǒng)處于對應的不同周期態(tài)；當β＞1.8時系統(tǒng)的狀態(tài)逐漸變得復雜。

圖4給出了系統(tǒng)的反饋強度β比1稍大時系統(tǒng)的狀態(tài)，可見，系統(tǒng)處于不同的周期態(tài)。當反饋強度的值達到中等強度時，系統(tǒng)的動力學狀態(tài)隨著反饋強度的增大變得更為復雜，而且還出現(xiàn)了快慢時間尺度交替的混合狀態(tài)，這樣的狀態(tài)稱為混沌呼吸子［5］。隨著反饋強度β的增加，系統(tǒng)由原來的低頻周期態(tài)發(fā)展到二級分岔，系統(tǒng)會出現(xiàn)比較有趣的混合狀態(tài)—快尺度的動力學加載到慢尺度的極限環(huán)上。圖4b是β＝1.5時的低頻周期態(tài)，此時系統(tǒng)的時間尺度為μs，振幅的極值類似于一對不動點，在這個意義上來說，它們附近的動力學較為緩慢。

圖2 β＝0.8時系統(tǒng)處在穩(wěn)定狀態(tài)Fig.2 The system is stable whenβ＝0.8

圖3 隨反饋強度的增加系統(tǒng)的分岔圖Fig.3 Bifurcation versus increasing feedback strength

圖4 β＝1.1，β＝1.5時系統(tǒng)處在兩種不同的周期態(tài)Fig.4 The system stays at different periodic state asβ＝1.1andβ＝1.5

隨著反饋強度β的進一步增加，β＝1.8時振幅極值點開始出現(xiàn)快尺度的振蕩，如圖5a所示，圖5b是圖5a極值點附近的局部放大圖，可以看出，快尺度的動力學從剛開始產(chǎn)生就經(jīng)歷了快速的振蕩，而且還是以準方波的周期態(tài)出現(xiàn)的。繼續(xù)增加反饋強度β的值，β＝2.0時，系統(tǒng)的動力學狀態(tài)如圖5c所示，其振幅極值點附近的快尺度動力學狀態(tài)所占的時間間隔在增加，從圖5d可以看出，振幅極值點附近的快尺度動力學仍然是以準方波周期態(tài)的形式出現(xiàn)的，振蕩一段時間以后很快衰減。

圖5 系統(tǒng)的動力學狀態(tài)Fig.5 System dynamic state

當反饋強度β＝2.3時系統(tǒng)還是處于混沌呼吸子狀態(tài)，如圖5 e所示。這時從圖5f的局部放大圖中可以看出，振幅極值點附近的快尺度動力學狀態(tài)不再是準方波的周期態(tài)，從其時間序列看出是一種復雜的混沌態(tài)。進一步增加反饋強度β的值，快尺度的動力學狀態(tài)所占時間間隔有著明顯的增加，其時間序列更為復雜，時間尺度更快，此時混沌態(tài)作為一種快尺度（ns）的動力學狀態(tài)被嵌入慢尺度（μs）的周期態(tài)中。從上述分析中可以看到，隨著反饋強度β的值越來越大，系統(tǒng)正在向著混沌狀態(tài)變化，如圖5g～k所示。圖6為β＝3.2時混沌態(tài)的頻譜，從圖中可以看出，其功率譜十分平坦，類似于噪聲。

圖6 β＝3.2時系統(tǒng)混沌態(tài)的頻譜圖Fig.6 Frequency spectrogram of the chaotic state asβ＝3.2

3 結論

非線性光電反饋延遲系統(tǒng)在非線性、延遲和反饋的共同作用下會呈現(xiàn)出豐富的動力學狀態(tài)，包括各種周期態(tài)、混沌態(tài)。本文首先對于非線性光電反饋延遲系統(tǒng)的數(shù)值模型做了理論分析，發(fā)現(xiàn)當反饋強度小于1時系統(tǒng)一直處于穩(wěn)態(tài)。反饋強度接近于1時，系統(tǒng)會出現(xiàn)Hopf分岔。得到了系統(tǒng)動力學狀態(tài)隨反饋強度變化的分岔圖。隨著反饋強度的增大，系統(tǒng)的動力學狀態(tài)從低頻周期態(tài)變化到快慢時間尺度混合的混沌呼吸子，最后到達高維混沌態(tài)。我們得到了系統(tǒng)的各種動力學狀態(tài)的時間序列，并分析了所得混沌態(tài)的頻譜圖，發(fā)現(xiàn)該系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌態(tài)的頻譜圖具有噪聲背景和寬峰，這樣的混沌態(tài)在很多方面都有重要應用，例如超帶寬傳感器等。

［1］Ikeda K，Kondo K.Successive higher－h(huán)armonic bifurcations in systems with delayed feedback［J］.Phy Rev Lett，1982，49：1467－1470.

［2］ Callan K E，Illing L，Zheng Gao，et al.Broadband chaos generated by an optoelectronic oscillator［J］.Phys Rev Lett，2010，104（11）：113901.

［3］ Murphy T E，Cohen A B，Ravoori B.Complex dynamics and synchronization of delayed－feedback nonlinear oscillators［J］.Phil Trans R Soc A，2010，368：343－366.

［4］ Peil M，Jacquot M，Chembo Y K，et al.Routes to chaos and multiple time scale dynamics in broadband bandpass nonlinear delay electro－optic oscillators［J］.Phys Rev E，2009，79（2）：026208.

［5］ Kouomou Y C，Colet P，Larger L，et al.Chaotic breathers in delayed electro－optical systems［J］.Phys Rev Lett，2005，95（20）：203903.