一類特殊指數和的均值估計

(瓊州學院 數學系，海南 三亞572022)

0 引言

在文獻［1］中，利用van der Corput 方法，可計算如下形式的指數和:

其中f(n)為一實值函數，且符號e(x)表示e2πix.諸如此類指數和，在數論課題的研究中，有著廣泛的應用.本文主要研究當函數f(n)為一多項式函數時，此類指數和的均值估計.

假設d≥2 為一固定整數;a1，a2，…，ad為任意非零實數:γ1，γ2，…，γd為非整數的實常數:M，M1為滿足條件5＜M＜M1≤2M 的實數.令

并令R=|a1|Mγ1+|a2|Mγ2…+|ad|Mγd.下面，我們來研究指數和

的估計式.

1 預備知識

本文需要用到如下引理:

引理1.1［2］設k≥2 為一固定整數，a1，a2，…，ak為非零的實數，α1，α2…，αk為非整數的實常數，Δ＞0.令Ⅰ表示［1，2］的一個子區間，使得

則有

引理1.2［1］假設f(n)為定義在區間［N，N1］上的實值函數，其中2≤N＜N1≤2N.如果0＜λ3≤f(3)(x)≤αλ3，那么

如果存在正常數c1，c2，使得c1M≤|f(j)(n)|≤c2M，j=1，2，3，4，5，6，那么

特別地，當λ1=1 時，有其中(κ，λ)為指數對.

引理1.3［2］假設z(n)為任意復數，1≤Q≤N，那么

2 主要結果

證明:設δ＞0 為一待定參數，將區間［M，M1］劃分為如下兩部分:

下面用引理1.1 和引理1.2 分別估計Sd(M)在Ⅰ1和Ⅰ2上的和.

若t∈Ⅰ1，則有

所以得到

其中t0=，則t0∈［1，2］.

由引理1.1 有，滿足上述不等式的［1，2］的子區間Ⅰ'1(t0∈Ⅰ'1)的長度為

下面估計Sd(M)在Ⅰ2上的和:

令Ⅰ2j={t|2jδ＜|f(3)(t)|≤2j+1δ，t∈［M，M1］}，j≥0.則由引理1.2，得

整理即得

這樣就得到了

3 估計II 型指數和的應用

假設l≥2 為一固定的整數，γl(1＜γl＜…＜γ2＜γ1＜2)為實數，Y 為一足夠大的數，δ=δ(γ1)＞0 為依賴于γ1的常數.利用上述定理2.1，可處理如下Ⅱ型指數和

其中hj為滿足條件1≤|hj|≤Yδ(j=1，2，…，l)的實數.設我們有

定理3.1 令0＜δ=δ(γ1)＜1，且a(m)，b(n)為復數，使得

那么，對于Y2δN?Y1/2?MN?Y，則有

證明 取Q=［Y2δln－1Y］，那么Q=o(N).由柯西不等式和引理1.3，得

其中

從而由定理2.1 得

即定理3.1 成立.

［1］S.W.Graham，G.Kolesnik.Van der Corput＇s Method of Exponential Sums［M］.Cambridge University Press，1991:22－41.

［2］Zhai Wenguang.On the k－dimentional Piatetski－Shapiro prime number theorem ［J］.Sci.in China:Ser.A，1999，29:797－806.

［3］張天平.關于數論中一些著名和式的均值研究［D］.西安:西北大學，2008.