吉林省中考試題中數學思想方法的研究

鄭 晨，李淑文

(1.東北師范大學 數學與統計學院，吉林 長春130024;2.吉林師范大學 數學學院，吉林 四平136000)

0 引言

從2000年開始，我國進入了課程改革階段.新的教育教學理念不斷沖擊各門學科的調整，數學教育在這場改革浪潮中發生了翻天覆地的變化.伴隨著課程改革，我國的考試理念、考試命題以及組織形式也在不斷完善.特別是數學思想方法逐年不斷地滲透到數學教材、教學和考核評價中.數學思想方法是對數學知識體系的一般性認識，一種指導性原則，是發展學生數學能力形成數學思想，體會“數學化”意識的一種基本能力.

1 問題的提出

本文通過對2005－2014年吉林省中考試卷題目類型進行分析，將其變化發展分為三個階段:第一階段為基礎性階段(2005－2006年)，此階段是課程改革的過渡期，中考試題立足于基礎題目，重點考查核心概念、重要定理和基本解題方法及常見數學思想方法;第二階段為發展探索階段(2007－2011年)，此階段試題進入了逐步調整時期，突出考查學生的探究能力和數學猜想能力，沒有較大形式的變化;第三階段為轉型階段(2012－2014)，以《義務教育數學課程標準(2011 版)》為指導［1］，重點考查學生數學思考、問題的提出和解決能力，突出人文性和科學性，在考核形式上不僅改革了試題數量，也開始采用網上閱卷.基于以上分析，本文主要研究吉林省2005年－2014年中考試題中數學思想方法的類型研究，并嘗試給出對未來中考命題及中學教學的建議.

2 吉林省2005年-2014年中考試中數學思想方法的類型研究

在初中階段，學生主要接觸并使用的數學思想方法包括分類討論思想方法、函數與方程思想方法、轉化思想方法、建模思想方法、數學猜想思想方法等［2］.這幾種思想方法在中考試題中均有廣泛地應用.其中在選擇題和填空題中體現更多的是轉化思想方法、數形結合思想方法、函數與方程思想方法;而在簡答題中更多滲透了數形結合思想方法、分類討論思想方法、函數與方程思想方法、建模思想方法、數學猜想思想方法.

2.1 吉林省2005－2014年中考試題中體現數學思想方法的分數與題型情況

表1 吉林省2005－2014年中考試題中體現數學思想方法題目情況

通過表1的分析，可以看出吉林省至2005年開始，對初中數學內容中數學思想方法的考察逐年增加，個別年份考查的題數和分值數稍有變動，但從總體來看，中考試題的整體編寫緊緊圍繞數學思想方法，內容是逐漸加深的.2012－2014年試題數目減少，但數學思想方法的滲透并沒有減弱.在中考試題的考查中，明則考查學生對基本知識和基本能力的掌握，實則更加關注學生數學思想方法的生成與運用情況.

2.2 吉林省2005－2014年中考試題中數學思想方法體現的類型

表2 吉林省2005－2014年中考試題中體現數學思想方法的題數與知識點類型

續表2

從表2中，我們可以發現，吉林省在2005－2014年的中考試題中，對初中階段典型數學思想方法的考核是較為全面的.特別是函數與方程思想、轉化思想、數形結合思想這三種思想方法在出題數量上較為穩定，并且數量較大，多以實際問題和函數角度出題;而分類討論思想方法在課改的基礎階段和探索階段稍有變動，在轉型階段出題數量較多，類型較廣，該思想方法多以壓軸題出現，較有難度，主要考查學生分析問題和提出問題的能力，切合課程改革目標;建模思想在初中數學教學中占據著重要地位，但在日常初中教學中常常被教師忽視，中考試題涉及類型多樣，多結合函數與方程思想出題，值得教育者注意，這種思想方法對學生的問題提出與解決問題能力的培養十分關鍵;數學猜想思想方法在課改初期涉及較多，近幾年關注有所減弱，往往以壓軸題、動點問題、網格作圖題出現，考查學生的探究能力，而題型的改革將個別需要解題過程的問答題目變成了填空題，這樣難以從試卷中看到學生作答時數學思考的過程，不利于學生數學思想方法的養成.

2.3 數學思想方法及典型試題舉例

2.3.1 分類討論思想方法

以2013年中考試題為例，在此次命題中針對分類討論思想的題目共有8 個，題型涉及選擇、填空、解答題，是十年中考查力度最大的一年.

(2013 吉林)第25 題 如圖1，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，點D，E，F 分別是邊AB，BC，AC 的中點，連接DE，DF.動點P，Q 分別從點A，B 同時出發，運動速度均為1cm/s，點P 沿A→F→D 的方向運動到點D 停止;點Q 沿B→C的方向運動，當點P 停止運動時，點Q 也停止運動.在運動過程中，過點Q 作BC 的垂線交AB 于點M，以點P，M，Q 為頂點作平行四邊形PMQN.設平行四邊形PMQN 與矩形FDEC 重疊部分圖形的面積為y(cm2)(這里規定:線段是面積為0 的幾何圖形)，點P 運動的時間為x(s).

圖1

(1)當點F 運動到F 點時，CQ=________cm;

(2)在點P 從點F 運動到點D 的過程中，某一時刻，點P 落在MQ 上.求此線段BQ 的長度;

(3)當點P 在線段FD 上運動時，求y 與x 之間的函數關系式.

該題中前兩個問題較為簡單，在問題(3)的作答中，需要討論當點P 運動時重疊圖形的形狀，即3＜x＜4當時，重疊部分圖形為平行四邊形;當4≤x＜11/2 時，重疊部分圖形為矩形;當11/2≤x＜7 時，重疊部分圖形為矩形，在此基礎上尋找x 與y 之間的函數關系式.中考試題的很多題目需要根據問題中的條件與要求進行分情況討論，這種按照不同情況與條件討論的數學思想方法，對于培養學生分析問題并解決問題的能力極為重要.這種思想不僅是一種單純的解題策略，也是一種數學能力.蘊含這種思想方法的題型多為解答題中的高分值題目，需要學生對題目認真分析思考，考慮多種情況，不能疏漏各條件與考點，盡可能將問題分析詳盡，做到不重不漏.

2.3.2 函數與方程思想

函數與方程的思想是以動態變化與靜態思考相結合的觀點，分析數學問題中的數量關系，進而構建函數或列出方程，并運用函數與方程的性質、圖像分析解決問題.掌握這種思想方法是要從本質上認識數量關系之間的聯系，同時要形成一種函數意識.初中數學內容中的函數關系較為簡單，以一次函數(包括正比例函數)、反比例函數、簡單的二次函數，以及應用函數性質的實際應用題為核心內容，往往結合幾何內容中的直線、三角形、矩形、圓和動點問題命題，在2007年的中考試題中，有11 道題目設計該思想方法，對其重視程度可見一斑.

(2007 吉林)第27 題 今年4月18日，我國鐵路第六次大提速，在甲、乙兩城市之間開通了動車組高速列車.已知每隔有1h 一列速度相同的動車組列車從甲城開往乙城.如圖2所示，OA 是第一列動車組列車離開甲城的路程s(單位:km)與運行時間t(單位:h)的函數圖象，BC 是一列從乙城開往甲城的普通快車距甲城的路程s(單位:km)與運行時間t(單位:h)的函數圖象.請根據圖中信息，解答下列問題:

圖2

(1)點B 的橫坐標0.5 的意義是普通快車發車時間比第一列動車組列車發車時間________h，點的縱坐標的意義是________.

(2)請你在原圖中直接畫出第二列動車組列車離開甲城的路程s(單位:km)與時間t(單位:h)的函數圖象.

(3)若普通快車的速度為100km/h，

①求的解析式，并寫出自變量t 的取值范圍.

此題結合實際問題背景，并以經典的相遇問題，考查學生分析問題解決問題的能力.在問題(1)和(2、)中，直接根據圖像即可作答;問題(3)要結合題中所給條件，以及圖中信息，利用一次函數解析式與方程解法解答，即設直線BC 的解析式為s=kt+b.因為B(0.5，300)，C(3.5，0)，所以有

于是有s=－100t+350(自變量t 的取值范圍是0.5≤t≤3.5).

2.3.3 轉化思想

轉化思想又稱為化歸思想.通常理解為，將要解決的問題通過某種方式的轉化，轉變成符合自身知識體系又較為容易解決的問題，進而將問題解答清楚的一種方法.簡單的說，就是把未知轉化為已知、復雜變成簡單、抽象化成具體、非數學到數學問題的一種手段.

近十年的中考試題中，轉化思想方法的運用分布于各種題型之中，應用廣泛.

(2008 吉林)第8 題 如圖，若將飛鏢投中一個 被平均分成6 份的圓形靶子，則落在陰影部分的概率是________.

圖3

此題要求飛鏢落入陰影部分的概率，只需將問題轉化為陰影部分面積在整個圓中的面積比即可，在作答時要求學生認真讀題，明確題中將圓形靶子平均分成了6 份(見圖3)，通過觀察圖形，可知陰影部分面積占總面積的1/2.

2.3.4 數形結合思想方法

代數和幾何圖形是數學學科領域的兩大核心內容，而數形結合思想是“以數定形，以形釋數”的完美結合.數形結合思想貫穿于中小學數學學習的始終.具體表現為用數量關系描繪圖形特性，展示圖形性質，即為“以數定形”;另一種“以形釋數”則可采用能夠加以計算的幾何圖形來解釋復雜的代數問題，將問題清晰化［3］.在吉林省2005－2014年中考試題分析中，數形結合思想的題目數量是最為穩定的，足以看出它在初中數學教學中的核心地位.以2006年中考試題為列:

(2006 吉林)第22 題如圖4，圓心為點M 的三個半圓的直徑都在x 軸上，所有標注A 的圖形面積都是SA，所有標注B 的圖形面積都是SB.

圖4

(1)求標注C 的圖形面積SC;(2)求SA∶SB.

該題目將半圓建立在直角坐標系中，通過觀察坐標軸數值，可以得到各半圓的直徑，以直角坐標系將圖形與數量關系結合在一起，題目難度適中，且環環相扣，要想求得整體SA的面積，必先求得部分SC的面積;要想求得整體SB的面積，必先知道SA和SC的面積，以數定形，以型釋數，考查學生數形結合的思維能力.

2.3.5 建模思想方法

建模思想方法是一種數學的思考方式，面對實際問題時，能夠以數學的視角，運用數學的語言和方法，將實際問題用抽象的方式將其轉化為數學問題，并解決的一種手段［4－5］.數學建模思想廣泛應用于目前的各大科學領域，在初中階段培訓學生建模思想有助于分析問題、解決問題能力的形成.中考試題中多體現方程模型、統計模型、模型和函數模型［6］.其中，方程類型在中考試題中是最為常見的類型之一.

(2009 吉林)第14 題A 種飲料B 種飲料單價少1 元，小峰買了2 瓶A 種飲料和3 瓶B 種飲料，一共花了13 元，如果設B 種飲料單價為x 元/瓶，那么下面所列方程正確的是( )

A.2(x－1)+3x=13 B.2(x+1)+3x=13

C.2x+3(x+1)=13 D.2x+3(x－1)=13.

這種題型是中考試題中必考的題目，難度較低，考查學生分析問題、理解問題的能力.在解答題中也會有相類似題目，考查學生能夠根據題意找到合理解題模型.

(2009 吉林)第27 題 某數學研究所門前有一個邊長為4 米的正方形花壇，花壇內部要用紅、黃、紫三種顏色的花草種植成如圖5所示的圖案，圖案中AE=MN.準備在形如Rt△AEH 的四個全等三角形內種植紅色花草，在形如Rt△AEH 的四個全等三角形內種植黃色花草，在正方形MNPQ內種植紫色花草，每種花草的價格如下:紅色花草:60 元/米2;黃色花草:80 元/米2;紫色花草:120 元/米2.

設AE 的長為x 米，正方形EFGH 的面積為S 平方米，買花草所需的費用為W 元，解答下列問題:

圖5

(1)S 與x 之間的函數關系式為S=________;

(2)求W 與x 之間的函數關系式，并求所需的最低費用是多少元;

該題目的問題(1)求S 與x 之間的函數關系即考查學生建立函數模型的能力，題中條件較多，如何能從較多已知條件尋找出有利于解題的條件考查了學生分析問題的能力;問題(2)同樣是求函數關系，也要建立函數模型，同時也考查了利用函數性質求得最值問題，同樣也利用到了建模思想，可見，建模思想在初中數學教學中的重要地位.

2.3.6 數學猜想

數學猜想是一切數學思想方法的源泉，是數學發展的動力.從數學史和數學文化中可以看出，數學家的一切發明和驗證，都源于對數學的大膽猜想，在這種過程中產生了數學思想方法.新的課程標準中提倡，讓學生大膽進行實驗、猜測、驗證，積極開展數學活動，這些都是鼓勵學生發揮數學猜想的能力，在“猜”的過程中形成推理能力，在“想”的過程中體會數學邏輯的奧妙，在“做”的過程中養成動手實踐的習慣.數學猜想思想方法多體現在解答題中，近幾年在填空題和選擇題中也經常出現，以2011年中考試題為例:

(2011 吉林)第10 題 用形狀相同的兩種菱形拼成如圖6所示的圖案，用an表示第n 個圖案中菱形的個數，則an=________ (用含n 的式子表示).

圖6

通過觀察圖形變化規律，猜想問題的答案，并能夠進行驗證，考查了學生觀察能力和推理能力.再如2012年中考試題第26 題:

(2012 吉林)問題情境 如圖7，在x 軸上有兩點A(m，0)，B(n，0)(n＞m＞0).分別過點A，點B 作x 軸的垂線，交拋物線y=x2于點C，點D.直線OC 交直線BD 于點E，直線OD 交直線AC 于點F，點E，點F 的縱坐標分別記為yE，yF.

特例探究

填空:

當時m=1，n=2 時，yE=________，yF=________;

當時m=2，n=5 時，yE=________，yF=________.

歸納證明

對任意m，n(n＞m＞0)猜想yE與yF的大小關系，并證明你的猜想.

拓展應用

圖7

(1)若將“拋物線”y=x2改為“拋物線y=ax2(a＞0)”，其它條件不變，請直接寫出yE與yF的大小關系;

(2)連接EF，AE 當S四邊形OFEB=3S△OFE時，直接寫出m 與n 的關系及四邊形OFEA 的形狀.

該題目直接明確給出探究思路，讓學生填空補充，引導學生進行數學猜想，同時讓學生歸納證明，并能夠拓展應用，發展學生演繹推理、歸納總結的能力.

3 研究啟示

3.1 吉林省中考數學命題展望

隨著課程改革的發展，對學生素質的考查越來越凸顯其重要性.從吉林省十年的中考試題分析中可以看出，數學的命題繼承了原有傳統中對學生基本知識、基本技能的重視［5－6］，如對有理數的認識、計算、比較，對數學符號的表達，對圖形的認識，對數據的收集、整理、和描述，同時也發展了學生的基本思想、基本活動經驗，如突出“數感”、“符號感”的理解，對幾何直觀和空間觀念的理解、對統計數據的分析觀念等.整體的數學試卷命題思路以基本知識為主線，以能力、方法為核心，以學生的素質發展為目標建立試卷結構.

3.2 對初中數學教學的啟示

中考試題注重對學生基本知識和基本技能的考察，對初中數學教學已經起了導向作用，而學生是否真正了解知識內容背后的數學思想方法，僅僅通過試卷的作答是體現不出來的.最為重要的是，每一種思想方法并不是獨立存在的，往往伴隨著彼此之間的相互影響而交織使用.“授人以魚不如授人以漁”，只有讓學生理解數學問題的核心思想，學生才能發現解決問題的方法和規律，在不斷思考、實踐中靈活運用，形成數學能力，提升數學素養，為更好地認識數學世界打下基礎.

［1］中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準(2011年版)［M］.北京:北京師范大學出版社，2012.

［2］錢珮玲.中學數學思想方法［M］.北京:北京師范大學出版社，2002.

［3］于永蓮.數學思想方法在初中數學問題解決教學中的應用［J］.內蒙古師范大學報，2012，25(2):145－146.

［4］顧泠沅.數學思想方法［M］.北京:中央廣播電視大學出版社，2004.

［5］金月波.由高考閱卷引發的數學教育思考［J］.瓊州學院學報，2011，18(2):109－112.

［6］王奮平.美國Glencoe/McGraw－Hill 高中數學教材內容設置及其啟示［J］.瓊州學院學報，2014，21(5):117－122.