針對機動目標的改進UFIR跟蹤算法

付錦斌，孫進平*，盧松濤，張耀天

(1.北京航空航天大學 電子信息工程學院，北京100191;2.愛荷華州立大學 電子與計算工程系，安姆斯50011)

機動目標跟蹤一直是雷達目標跟蹤中的難點.在狀態估計方面被普遍采用的卡爾曼濾波器(KF)通過狀態空間模型中狀態方程的過程噪聲適應目標機動.而實際中由于目標的機動情況未知，這就造成狀態方程的過程噪聲難以確定進而影響了濾波的效果.針對KF的這一缺點提出了很多改進算法，諸如可調白噪聲(CN)算法［1］、變維濾波(VD)算法［2］、多模型(MM)算法［3］及交互式多模型(IMM)算法［4］等.這些算法大都通過設置多個過程噪聲或者通過各種方法降低過程噪聲的不確定性以期獲得比KF更好的性能，但都沒有從根本上解決濾波性能對于過程噪聲統計特性的依賴［5］.

滿足無偏要求的有限沖擊響應(FIR)濾波器［6］最早由Shmaliy提出.之后在最優有限沖擊響應(OFIR)濾波器［7］和嵌入無偏的 OFIR濾波器［8-9］的基礎上，Shmaliy提出了一種在濾波過程中能夠無視噪聲統計特性的無偏有限沖擊響應(UFIR)濾波器［10］.為使UFIR濾波器得到最佳的濾波性能，UFIR濾波器的窗長必須是最優的.幸運的是最優窗長并不像KF的過程噪聲那樣只能通過先驗知識進行假定，它可以通過所得量測計算求出［11］.而且UFIR濾波器能夠表示為迭代的形式［10］，這大大降低了UFIR濾波器的計算量.

基于UFIR濾波器無需噪聲統計特性的特點，本文將其應用于機動目標跟蹤中.文中對比了UFIR濾波器與KF對機動目標的跟蹤效果，并針對現有迭代UFIR濾波器的新息增益只隨狀態空間方程改變而改變的缺陷，提出了一種改進的UFIR濾波算法.利用量測與濾波結果的偏差動態修正新息增益，使得UFIR濾波器對目標的機動具有了一定的自適應能力.仿真結果驗證了該UFIR濾波器在機動目標跟蹤中具有良好的性能.

1 線性系統模型

因為非線性情況能夠通過以類似擴展卡爾曼濾波器(EKF)［12］的處理過程那樣進行線性化，UFIR濾波器的優勢并不會受到影響，所以本文僅考慮線性系統模型的情形.離散時變線性系統模型用狀態空間模型的狀態和觀測方程描述如下:

其中，xn∈RK，zn∈RM為第n時刻狀態和觀測矢量;Fn∈RK×K，Bn∈RK×P，Hn∈RM×K為第 n 時刻的狀態轉移矩陣、過程噪聲增益矩陣和量測矩陣.假定第n時刻過程噪聲矢量wn∈RP，量測噪聲矢量vn∈RM分布均為零均值高斯白噪聲，即E{wn}=0，E{vn}=0;并假定兩個噪聲矢量互不相關，即對于任意的 i，j滿足 E{wivTj}=0.Qn=E［wnwTn］為過程噪聲協方差矩陣，Rn=E［vnvTn］為量測噪聲協方差矩陣.

對于時不變情況，狀態空間模型的狀態轉移矩陣和觀測矩陣簡化為F和H.

2 現有UFIR濾波器

假定UFIR濾波器窗長為N，那么當得到第n時刻的量測時，從時刻m=n－N+1到時刻n之間的N個量測為可用量測.為了保證濾波器的因果性，必須滿足m≥0，即n≥N－1.

由文獻［10］和文獻［13］可得n時刻目標狀態的估計值可以表示為

其中

而

對于時不變系統而言，此時估計式簡化為

其中

而

從上面的介紹可以看出，批處理UFIR濾波器能夠在忽視噪聲統計特性的情況下對信號進行濾波.更重要的是當N?1時，UFIR濾波器是近似最優的.但另一方面，N的增大將引起矩陣和向量維數的增大，從而導致計算量急劇增加.

迭代UFIR濾波器很好地解決了這一問題，由文獻［14］可得迭代UFIR估計式為

其中

其中 Gl為第 l時刻的廣義噪聲功率增益(GNPG)［15］.初始條件和 Gs通過批處理 UFIR濾波器而得到:

此時批處理窗長K?N.其中s=m+K－1，迭代變量l從m+K到n.當l=n時，得到濾波器的估計值x^n.

對于時不變系統公式簡化為

其中

其中s=m+K－1，迭代變量l從m+K到n.

3 改進迭代UFIR濾波器

在機動目標跟蹤中，機動的出現會使得量測數據與濾波數據產生較大偏差.所以偏差的大小能夠反映出機動的情況.但從式(18)和式(23)可以看出GNPG只與狀態轉移矩陣和觀測矩陣有關.而且迭代UFIR濾波器每一點的濾波結果都是由之前N－K個量測獨立迭代得到的.這樣不同時刻濾波過程中的GNPG具有一定的獨立性，這使得對于GNPG的改變更加自由.所以本文通過量測數據與濾波數據的偏差定義廣義噪聲功率增益調整系數(γ)來自適應調整GNPG的值，以進一步提高UFIR濾波器的濾波效果.

首先，由于機動只與量測與濾波結果偏差的大小有關而與符號無關，所以本文選取量測與濾波結果偏差的均方根作為描述機動的基本信息，第i時刻偏差的均方根表示為

其中κ為目標運動的維數;Zi為第i時刻的量測數據;x^i為第i時刻的濾波結果;Hi為狀態空間模型的觀測矩陣.

其次，由于只有通過不同時刻偏差的比值才能反映出機動的情況，所以本文將上一時刻偏差的均方根作為基準，此時刻偏差的均方根與上一時刻的比值來反映機動的情況.并且考慮到迭代開始時的GNPG為初始批處理窗長K個時刻積累的結果，所以有理由對其開K次方.那么第i時刻與i－1時刻的比值表示為

最后，考慮到可能因為各種原因產生野值而造成濾波發散.又由于機動一般都會持續幾秒甚至十幾秒，所以本文采用對多時刻λ取均值的方法來消除野值的影響，同時這又不會影響對機動的描述.對于取均值的范圍本文選取窗長的一半.

l時刻的廣義噪聲功率增益調整系數表示為

式(23)變為

從算法可以看出濾波過程中每個γ都開了K次方，這顯然不是最佳的.因為隨著迭代過程的進行，初始批處理長度的影響將不斷減小.不過考慮批處理的影響程度隨迭代次數增加而減小的程度很難度量，且更趨向于1的γ更能夠保證濾波的收斂，這樣每個γ都開最大次方似乎也是唯一的選擇.不過乘上廣義噪聲增益調整系數必然將降低濾波的收斂速度，但這與在機動目標跟蹤中丟失目標相比是可以接受的.

從總體上看，隨著迭代次數的增加，目標位置的協方差趨于減小.由于存在目標機動，所以改進算法能夠被理解為:當此時刻的量測與濾波結果的偏差比前一時刻要大時，則有理由相信此時目標發生了機動，那么就應該增大GNPG賦予新息更高的權重，從而降低機動造成的濾波誤差.而當此時刻偏差比前一時刻小時，表明濾波結果是準確的，那么適當減小新息的權重并不會影響濾波效果，同時GNPG的減小還能夠加快濾波的收斂速度.

4 機動目標跟蹤仿真

本文的仿真場景為一個機動目標加速-轉彎場景.其中時刻1～時刻20為加速區，時刻20～時刻40為勻速區，時刻40～時刻70為轉彎區，時刻70～時刻100為勻速區，如圖1所示.

圖1 機動目標仿真場景Fig.1 Maneuvering target simulation scenario

仿真系統描述為直角坐標系下的白噪聲加速度模型.其中式(1)和式(2)中，狀態x定義為xyz方向上的位移、速度和加速度的9維向量.

過程噪聲協方差:

量測噪聲協方差:

其中T為采樣間隔，仿真中T=0.1.

考慮到對現有的任何一種基于KF的機動目標跟蹤算法(如CN，VD，IMM等)，都可以按其原理設計對應的基于UFIR濾波器的跟蹤算法，并且UFIR濾波器能夠忽視噪聲統計特性的優勢依然存在.因此仿真中只對KF，UFIR濾波器及改進UFIR濾波器的性能進行了仿真對比.

當目標軌跡被附加一個協方差為100的零均值高斯白噪聲時，卡爾曼濾波器近似達到最優.通過計算求出此時UFIR濾波器的最優窗長Nopt=55［11，16］，并取批處理長度 K=5.

100次蒙特卡洛所得35～55 s一段的位置均方根誤差(RMSE)如圖2所示.

通過仿真可以發現，在噪聲統計特性已知的情況下，KF的濾波性能比兩種UFIR濾波器都好.而改進UFIR濾波器與現有UFIR濾波器在最優條件下的濾波效果是相似的.這也驗證了在已知噪聲統計特性的條件下，在LMMSE準則下KF是最優的，也是最佳的選擇.

由于在真實情況下，并不能準確預知目標的運動情況，此時假定的過程噪聲統計特性可能并不準確.為了驗證3種濾波器對于這種不準確情況的魯棒性，將過程噪聲協方差調整為16，此時仿真結果如圖3所示.

從仿真結果可以看出，由于此時假定的過程噪聲統計特性并不準確，KF的估計誤差顯著增大.但UFIR濾波器由于在濾波過程中并不需要過程噪聲統計特性的先驗信息，對假定過程噪聲統計特性不準確的情況表現出了更強的魯棒性.并且改進UFIR濾波器由于能夠利用量測與濾波結果之間的偏差來自適應調整新息增益矩陣，從而更好地適應了目標機動，獲得了比現有UFIR濾波器更好的濾波性能.

圖2 噪聲特性已知情況下的濾波器性能對比Fig.2 Filter performances when noise statistics are known

圖3 噪聲特性未知情況下的濾波器性能對比Fig.3 Filter performances when noise statistics are unknown

5 結論

本文將UFIR濾波器用于機動目標跟蹤中，并針對現有UFIR濾波器的缺點提出了改進算法.仿真結果表明:

1)在已知初始條件和噪聲統計分布的理想條件下，KF在LMMSE準則下比UFIR濾波器性能略優.

2)但當噪聲發生變化即噪聲統計分布未知時，UFIR濾波器相對于KF表現出了更強的魯棒性.

3)本文提出的改進UFIR濾波器能夠自適應調整新息增益矩陣，表現出了相比于現有UFIR濾波器更佳的濾波性能.

4)UFIR濾波器的這些優勢的代價就是迭代UFIR濾波器的計算量近似為KF的Nopt倍.

References)

［1］ Houles A，Bar-Shalom Y.Multisensor tracking of a maneuvering target in clutter［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1989，25(2):176-188.

［2］ Bar-Shalom Y，Birmiwal K.Variable dimension filter for maneuvering target tracking［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1982，18(5):621-629.

［3］ Magrill D T.Optimal adaptive estimation of sampled stochastic processes［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1965，10(4):434-439.

［4］ Nadarajah N，Tharmarasa R，McDonald M，et al.IMM forward filtering and backward smoothing for maneuvering target tracking［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，2012，48(3):2673-2678.

［5］ Gibbs B.Advanced Kalman filtering，least-squares and modeling［M］.New York:Wiley，2011.

［6］ Shmaliy Y S.An unbiased FIR filter for TIE model of a local clock in applications to GPS-based timekeeping［J］.IEEE Transactions on Ultrasonics，Ferroelectrics，and Frequency Control，2006，53(5):862-869.

［7］ Kwon O K，Kwon W H，Lee K S.FIR filters and recursive forms for discrete-time state-space models［J］.Automatica，1989，25(5):715-728.

［8］ Kwon W H，Kim P S，Han S H.A receding horizon unbiased FIR filter for discrete-time state space models［J］.Automatica，2002，38(3):545-551.

［9］ Kwon W H，Kim P S，Park P.A receding horizon Kalman FIR filter for discrete time-invariant systems［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1999，44(9):1787-1791.

［10］ Shmaliy Y S.An iterative Kalman-like algorithm ignoring noise and initial conditions［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2011，59(6):2465-2473.

［11］ Ramirez-Echeverria F，Sarr A，Shmaliy Y S.Optimal memory for discrete-time FIR filters in state-space［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2014，62(3):557-561.

［12］ Song T L，Speyer J L.A stochastic analysis of a modified gain extended Kalman filter with application to estimation with bearing only measurements［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1985，AC-30(10):940-949.

［13］ Shmaliy Y S，Ibarra-Manzano O.Time-variant linear optimal finite impulse response estimator for discrete-time state-space models［J］.International Journal of Adaptive Control and Signal Processing，2012，26(2):95-104.

［14］ Shmaliy Y S.Linear optimal FIR estimation of discrete time-invariant state-space models［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2010，58(6):3086-3096.

［15］ Shmaliy Y S，Simon D.Iterative unbiased FIR state estimation:a review of algorithms［J］.Eurasip Journal on Advances in Signal Processing，2013(1):1-16.

［16］ Simon D，Shmaliy Y S.Unified forms for Kalman and finite impulse response filtering and smoothing［J］.Automatica，2013，49(6):1892-1899.