基于JPL星歷的月基SAR多普勒參數估算方法

丁翼星，郭華東，劉廣*

(1.中國科學院 電子學研究所，北京100190;2.中國科學院大學 資源與環境學院，北京100039;3.中國科學院 遙感與數字地球研究所，北京100094)

目前在軌工作的低地球軌道合成孔徑雷達(SAR)測繪帶較窄，重復觀測周期長，不利于大面積區域的整體連續觀測.提升軌道高度是增大觀測范圍和測繪帶幅寬最有效的方法，因此關于傾斜地球同步軌道衛星SAR［1］、地球同步軌道寄生SAR［2］和地球同步軌道雙站 SAR［3］的研究相繼問世.同步軌道SAR高度約為36 000 km，重訪周期縮短到1d，而且距離測繪帶幅寬也優于低軌系統，具有廣闊的應用前景，不過星載天線和能源系統是當前面臨的難題.月基SAR是一個更新的設想，即在月球上放置一個甚至一對大型天線實現對地觀測.現在國際上對月基SAR的研究剛剛起步，雖然它的系統設計更加復雜，但是優勢也十分明顯:同樣具有1 d的重訪周期［4］、測繪帶幅寬更大、壽命更長、能夠形成長期的時間序列數據［5］，還可以形成穩定的單軌雙、多天線系統，通過干涉達到亞度數的干涉測量精度和亞毫米級的形變測量精度［6］.

多普勒中心頻率和多普勒調頻率是SAR成像處理中十分重要的參數，其計算精度直接影響到距離徙動校正和方位向聚焦的效果.目前星載SAR多普勒參數計算方法有很多，如 Raney［7］簡化了衛星軌道和地球模型的不規則性，得到了較為簡潔的計算方法，Curlander等［8］考慮了軌道和地球模型的偏心率，基于速度偏向角給出了精度更高的計算方法，Cumming等［9］給出了基于坐標旋轉的星載SAR精確估計方法，楊文付等［10］考慮了J2攝動對多普勒參數估算的影響，文竹等［11］給出了全觀測帶內多普勒參數估計的方法，鄭經波和趙秉吉等［12-13］分別針對地球同步軌道SAR給出了高精度計算方法等.這些方法應用在低軌SAR或同步軌道SAR的情況下，表現出良好精度和實用性.但是月基SAR天線運動方式與星載SAR系統不同，因此這些方法不能直接用于月基SAR多普勒參數分析.本文在利用噴氣推進實驗室(JPL)高精度星歷DE405建立月基SAR對地觀測幾何模型的基礎上，提出一種基于空間坐標變換，利用天線的位置、速度和加速度估算月基SAR多普勒參數的方法.

1 DE405星歷插值

目前只有文獻［6］利用ELP2000月球運動理論建立了詳細的月基SAR對地觀測幾何模型.ELP2000是一個半解析的模型，高精度計算的數學物理意義較為復雜，而且精度不如JPL星歷.JPL星歷是基于解析模型通過大量數值運算得到的，與月球激光測距(目前已達到毫米級精度)的結果能較好地吻合［14］.因此本文選擇基于JPL的星歷DE405利用插值建立月基SAR對地觀測幾何位置模型.目前美國航天航空局噴氣推進實驗室研制的DE系列星歷表是最常用的高精度星歷表.每個星歷表都由數值積分方法來解決多體問題，并用最小二乘法來逼近大量的觀測數據.在JPL星歷數據中天體的位置、速度和加速度以及月球天平動以切比雪夫多項式系數序列的形式給出［15］.利用切比雪夫插值多項式對星歷進行插值可以獲得任意時刻地球、月球的位置、速度和加速度，并且采用三維坐標的形式進行表達.坐標單位是一個天文單位(AU).插值計算具有相似的形式，例如x方向的位置矢量可由式(1)插值得到:

其中，Tk(t)為第1類切比雪夫多項式;ak為星歷文件中的系數;t為標準化時間，大小在－1～1之間.對速度和加速度插值可由對式(1)做微分得到.設星歷插值后的月心位置、速度和加速度分別R0，V0和A0.另外，通過星歷插值還可以獲得任意時刻從月固坐標系轉換到地心慣性坐標系的3個天平動歐拉角.

2 月基SAR對地觀測模型的建立

月基SAR與星載SAR對地觀測模型的最大區別在于:①星載SAR姿態旋轉一般采用3-1-2方式，而月基SAR采用3-1-3旋轉方式.②星載SAR一般假設天線指向在星體坐標系內不變，利用衛星姿態控制指向，而月基SAR無法控制月球姿態，需直接調整控制指向的兩個角度，這兩個角度在月面站心坐標系內為高度角和方位角，在天球坐標系內為赤經和赤緯，它們與星下點離線角和斜視角可相互轉化.③月基SAR需要考慮月球半徑在姿態旋轉時對天線位置的影響.

下面首先介紹3個右手坐標系(圖1):①地心天球坐標系OE-xyz，x指向春分點，z指向天球北極，假設其為慣性坐標系.②月固坐標系，OL-x′y′z′，x′指向平均可見月盤中心或者也可以說是地球平均位置，同時也是月面經緯網的零點，z′指向月球北極.③地固坐標系，OE-x″y″z″，x″指向零度經線與赤道的交點，z″指向地球北極.

圖1 3個右手坐標系，γ為春分點Fig.1 Three right handed coordinates system in which γ is the vernal equinox

通過旋轉春分點格林尼治恒星時角αG可以將地固坐標系旋轉到地心慣性坐標系，旋轉矩陣為Mr，可以用來計算等效斜視角.由于變化量小或時間尺度過大的原因，本文未考慮地球章動、歲差和極移.dαG/dt=ωe，ωe為地球自轉角速度.

月基SAR天線運動可以分解為兩個部分:月球質心的運動和天線隨月球自轉的運動.由于月球在地心慣性坐標系中的位置、速度和加速度僅為時間的函數，因此本文不將其視為影響多普勒參數的自變量.能夠影響月基SAR多普勒參數的量為:①天線在月球表面的位置;②波束角.

因此對于月面上經緯度為(αa，δa)的點，它在月固坐標系下的天線位矢、速度和加速度為

其中Rm=1738 km為月球半徑.

將它們轉到月心慣性坐標系，再轉到地心慣性坐標系后變為

式(7)～式(9)表示天線在慣性系中的位置、速度和加速度，當然也可以用數值差分方法計算速度和加速度，兩者最大速度誤差約為7.2×10－5m/s，最大加速度誤差約為 5.5 ×10－9m/s2，對于多普勒參數計算完全可以忽略.

3 波束指向

月基SAR的一大優勢是可以快速指向可見地球半球的任意位置，因此需要計算任意波束方向下的多普勒參數.空間中任意一個單位矢量都需要由兩個角度控制，類似星載SAR系統，這兩個角度一般可以轉化為星下點離線角θn和斜視角θs.星下點離線角為波束與天線位置矢量的夾角.斜視角是波束與零多普勒面之間的夾角.當這兩個角度確定后，波束中心視矢量RLOS就確定了，中心視矢量與大地橢球體的交點即為地面波束覆蓋區中心.在地心慣性坐標系下，如果知道星下點離線角θn和斜視角θs，則可以得到以下兩個方程:

式(10)和式(11)構成兩個圓錐面，兩方程的解為兩個曲面相交的單位矢量，z的大根表示左視，小根表示右視，以下計算以左視為例.在地心慣性坐標系中計算，由于地球自轉效應的主導作用，此時的θs為實際斜視角，與等效斜視角存在一定差異;如果在地固坐標系中計算，可以得到總的等效斜視角，用θrs表示.

地面波束中心矢量 Rt、波束中心視矢量RLOS=Rlos和天線位置矢量R有如下關系:

并且，Rt滿足地球橢球方程:

其中，ae為地球赤道半徑6378.137 km;be為地球極地半徑6 356.752 km.根據以上關系可以得到一個二次方程，從而得到Rlos的值［9］.星載SAR可以假設連接方式使得天線和星體的相對姿態保持一致，然而在月基SAR系統中，由于觀測星下點離線角的限制和天平動的存在，天線指向必須不斷調整以指向地球.

由于月球軌道傾角較小，月基SAR的緯度覆蓋完整度受到一定限制.表1和圖2顯示了θrs為零時θn對波束緯度覆蓋的影響(改變波束與天線速度的夾角).可以看出，隨著θn等差遞增，波束入射角和照射緯度也呈現等差遞增的規律，而且波束中心掃過的緯度跨度也很穩定.這個特點使觀測計劃的制定變得相對簡單，只需根據月球與目標的緯度差用簡單的線性關系來計算所需的離線角.另外，考慮到波束寬度，月基SAR至少能覆蓋±75°之間的地區.2014年1月月球軌道傾角較小，約為20°，在其他傾角較大的月份，波束覆蓋區域更大.

表1 月基SAR離線角對入射角和地面緯度的影響Table1 Incident angle and terrestrial latitude related to moon-borne SAR off-nadir angle (°)

圖2 θn與地面波束中心緯度沿軌變化關系Fig.2 Relationship between terrestrial latitude of beam footprint center and θnalong the orbit

如果直接給定一個θs，那么波束會有大部分時間不能與地球橢球相交.由表1可以看出，月基SAR 的 θn最好在 0.3°～0.7°之間，而最大 θs不應超過4°.圖3給出了月基SAR的θs沿軌從－4°變化到4°時地面波束中心的緯度變化情況(θn=0.5°)，其整體形狀與圖2類似.很明顯需要通過沿軌不斷變化θs可以使波束一直照射在地球上，而且還可以增加緯度照射范圍以應對不同的觀測需求.

圖3 θs與地面波束中心緯度沿軌變化關系Fig.3 Relationship between terrestrial latitude of beam footprint center and θsalong the orbit

4 估算多普勒參數

SAR多普勒中心頻率可表示為

其中Vt為目標隨地球自轉的線速度.

對式(14)進行微分，得到多普勒調頻率的計算公式:

其中At為目標隨地球自轉的加速度.由于觀測距離長，式中大括號里的第1項很小.通過式(14)和式(15)可以計算得到月基SAR的多普勒參數.文獻［9，11］方法與本文的方法均為利用坐標系旋轉進行計算，但本文方法做了適合月基SAR特點的改進:①考慮了天線位置與月心的差異;②直接利用離線角和斜視角定義天線方向更適合月基SAR的實際情況.下面探討天線位置差異引入的計算誤差.

本文選擇了6個點進行分析，分別是月面坐標為 A(0，0)，B(0，60)，C(0，－ 60)，D(60，0)，E(－60，0)和 F 月心，θs=0°，θn=0.5°.圖4顯示了計算結果，為了表現差異，僅給出了局部放大圖.天線位置差異對多普勒中心頻率計算的影響主要體現在:①多普勒中心頻率曲線出現時移，最大時移均出現在 D和 E之間，大小為75～115 min;②曲線形狀略有不同，B和C的差異相對更大，消除時移后仍可達數十赫茲.位置對多普勒調頻率也有相似的影響，時移最大值也出現在D和E之間，而值的最大差異為0.002 Hz/s，出現在B和C之間.

圖4 月面位置對多普勒參數估算的影響Fig.4 Doppler parameters estimation variance attributed to different selenographic position

事實上，F點可以假設是一個放置在月心處的衛星，能夠利用文獻［9］中的方法以及式(14)和式(15)進行估算，但需要注意天線指向.圖5顯示了未經月面位置補償的星載SAR估算方法中與經過月面位置補償的本文方法之間多普勒調頻率誤差沿軌變化情況，參照點為F點(多普勒調頻率誤差為0).為了使曲線連續并消除角度定義上的差異，本圖使用了零多普勒導引.六者最大誤差出現在B和C之間，大小仍然為0.002 Hz/s.與F點相比，調頻率誤差最大值出現在C點，約0.001 5 Hz/s，而月面零點 A的最大誤差約為0.001 Hz/s.

由于月基SAR的合成時間相當長(10 min左右)，如此誤差仍然會對成像造成嚴重影響.多普勒中心頻率的估計誤差應該處于信號模糊比和SNR容許的損失范圍之內.設時長為600 s，調頻率為 0.2 Hz/s，過采樣率為 1.2，則 PRF=144 Hz，誤差應小于7.2 Hz.另外，多普勒中心頻率誤差的差異還會造成圖像畸變.月基SAR方位壓縮中，2%的沖擊響應展寬對應1.9×10－6Hz/s的多普勒調頻率誤差.由此可見多普勒參數對天線放置位置十分敏感，而月面位置補償也是十分必要的.

圖5 零多普勒導引后的多普勒調頻率誤差Fig.5 Doppler frequency rate error after zero Doppler steering

5 結論

本文利用JPL星歷通過插值和坐標轉換構建了月基SAR對地觀測幾何模型.在此基礎上，利用兩個二次方程組，解算任意波束方向下的地面波束印記中心位置，再計算月基SAR的多普勒參數，得到如下結論:

1)星歷插值后，對旋轉矩陣近似求導可獲得天線在地心慣性坐標系下的運動參數，與高精度數值差分結果相比誤差可以忽略.

2)月基SAR的波束角需沿軌不斷調整以指向地球，在星下點離線角為0.5°時，斜視角最大值約為 4°.

3)天線放置的位置會明顯影響多普勒參數的計算值，中心頻率偏差可超過一個PRF，調頻率偏差在10－3量級.

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