基于連續(xù)蟻群算法的Bayesian方位估計快速方法

焦亞萌，黃建國，韓晶

(1.西安工程大學(xué) 電子信息學(xué)院，西安710048;2.西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安710072)

子空間類方法相對傳統(tǒng)的高分辨方法而言具有較高的分辨性能，在高信噪比條件下對空間相鄰的兩目標源的分辨能力能夠達到波束寬度的1/3～1/5［1］.但這些方法是以子空間分析為基礎(chǔ)的，系統(tǒng)誤差帶來的子空間擾動等原因均會使分辨性能急劇惡化［2-4］，貝葉斯高分辨方位估計方法為陣列高分辨方位估計開辟了新的途徑，利用信號和噪聲參數(shù)的聯(lián)合后驗概率密度函數(shù)對信號進行譜估計［5-6］，根據(jù)貝葉斯定理，把待估計量視為隨機變量，引入被估計量的先驗知識，從而提高了估計精度，改善了估計性能［7-8］.但該方法由于多重積分和多維搜索，理論復(fù)雜，計算量大，實時性差，難以實時應(yīng)用.1992年，Dorigo提出的蟻群優(yōu)化(ACO)算法［9-10］在旅行商問題(TSP)、模糊控制、調(diào)度問題以及車輛路徑規(guī)劃(VRP)等方面，取得了一系列較好的實驗結(jié)果［11-14］.文獻［15］用ACO算法解決加權(quán)子空間擬合算法的多維非線性搜索問題，得到了優(yōu)良的高分辨性能.本文提出了一種基于ACO算法的Bayesian方位估計(ACO-Bayesian)快速方法，該方法對小夾角目標估計精度高，與Bayesian方法性能基本相同，收斂性好且計算量小，更易于實際應(yīng)用.

1 Bayesian高分辨方位估計方法

假設(shè)陣列為均勻線列陣，M個陣元，陣元間距為d，K個遠場窄帶信號源分別以 θk(k=1，2，…，K)的入射角和頻率f到達陣列的各個陣元.

信號可以是相干或非相干的，設(shè)陣列接收到的加性噪聲為平穩(wěn)的、零均值的高斯空間白噪聲，方差為σ2.相鄰陣元間的時延為τk=dsin θk/C(C為聲速)，則第m個陣元在tn時刻的輸出為

式中，Ik(tn)和φk(tn)分別表示tn時刻第k個信號的幅度和相位;nm(tn)表示tn時刻第m個陣元處的附加噪聲，n=1，2，…，N 表示快拍數(shù)，m=1，2，…，M表示陣元數(shù).本文的目的是估計信號的方位 Θ =(θ1，θ2，…，θk)T，而對信號的包絡(luò) A－={Ak(tn)，?k，n}和噪聲的方差不感興趣.

由 Bayesian 理論可知，信號方位 Θ =(θ1，θ2，…，θk)T的后驗概率密度函數(shù)為

文獻［5］提出采樣數(shù)據(jù)正交化算法解決式(2)的積分問題，首先將N次快拍數(shù)據(jù)分成Nb塊，每塊有N/Nb=nb個快拍數(shù)據(jù).對每一個數(shù)據(jù)塊進行正交化，對于第s個數(shù)據(jù)塊有

λk和ek= ［e1k，e2k，…，eKk］T分別是矩陣 F 的特征值和特征向量，F(xiàn)是K×K維的矩陣，其元素定義為

式中

從式(5)可以看出，這是一個關(guān)于Θ的高維非線性的多峰值函數(shù)，要求它的全局最大值對應(yīng)的方位角，通過對后驗概率密度進行K維網(wǎng)格搜索得到全局最大峰值，計算量非常大，如果計算一個網(wǎng)格點的后驗概率密度的計算量為Δ，那么K維的計算量為ΔK.所以盡管Bayesian方位估計方法的估計精度很高，但是其巨大的計算量是其實際應(yīng)用的最大障礙.

2 基于蟻群算法的Bayesian方法

首先給出ACO-Bayesian方法的流程圖如圖1所示.

圖1 ACO-Bayesian方法流程圖Fig.1 Flow chart of ACO-Bayesian method

由于在文獻［15］中已對蟻群算法的步驟有了詳細的介紹，這里僅作原理性闡述.

2)根據(jù)轉(zhuǎn)移概率更新候選解.

滿足迭代循環(huán)條件時，每只螞蟻以轉(zhuǎn)移概率p(由式(6)計算)在整個搜索空間中選擇一組解Θl(每次迭代每只螞蟻只需選擇一次)，然后構(gòu)造以選中解為均值，檔案表中所有解與選中解的平均距離為標準差(用信息素揮發(fā)系數(shù)對其進行修正)的高斯核函數(shù)如式(7)，利用該高斯核函數(shù)對檔案表中的所有解進行高斯核抽樣得到候選解.

式中，Gi是對整個搜索空間Θ進行一次高斯核抽樣值;wl(l=1，2，…，L)即是步驟1)計算的每一組解對應(yīng)的權(quán)值，L是搜索空間的抽樣個數(shù);μil即是選中解;σil為用信息素ξ修正的整個搜索空間所有解與當前選中解的平均偏差.對K維搜索空間有

其中Θil表示當前選中解的第i個分量.

3)根據(jù)候選解更新搜索空間.

計算候選解對應(yīng)的目標函數(shù)值，并與檔案表中的第1組解進行比較，若大于第1組解，則用候選解替換最后一組解(即目標函數(shù)值最小的解)，同時給這個新添加的解賦權(quán)值，最后對新產(chǎn)生的搜索空間按照目標函數(shù)值f從大到小重新排序;若小于第1組解，則不作調(diào)整.

4)得到方位估計值.

給定一個精度δ，若連續(xù)5次的方位估計值與前一次迭代結(jié)果的差值均小于δ，則迭代結(jié)束，方位估計結(jié)果為最后5次的迭代結(jié)果的均值.不滿足迭代結(jié)束條件轉(zhuǎn)步驟2).

3 仿真結(jié)果與性能分析

計算機仿真中采用均勻線列陣，陣元個數(shù)為12，采樣頻率為120 kHz，100次快拍，兩目標入射方位角分別為±2°，歸一化夾角為α=0.4756.

3.1 目標分辨概率和估計性能分析

1)兩目標信噪比為0 dB時，Bayesian方法后驗概率分布曲面如圖2所示，圖3(a)和圖3(b)分別是其二維等高線圖和峰值點附近的放大圖.可以清晰地看出Bayesian方法的后驗概率分布曲面只有一個全局最大值點，該點對應(yīng)的兩個角度就是兩目標方位的估計值，Bayesian方法是一個非線性的多維最優(yōu)化的問題.

圖2 后驗概率曲面Fig.2 Curved surface of posteriori probability

圖3 二維等高線圖和峰值點附近放大圖Fig.3 2-dimension contour and enlarged drawing near peak value points

2)ACO-Bayesian方法方位估計結(jié)果與迭代次數(shù)的關(guān)系曲線(SNR=0 dB)如圖4所示，可以看出，在信噪比為0 dB的時候，ACO-Bayesian方法有優(yōu)良的收斂性，可以收斂到最優(yōu)解.

圖4 收斂性分析Fig.4 Convergence analysis

3)分析ACO-Bayesian方法的估計性能，并與Bayesian，MUSIC和MNM方法作對比實驗，實驗中參數(shù)設(shè)置如下:T=2，L=100，q=0.1，ξ =0.01，δ=0.001，［θa，θb］=［－ 60°，60°］，做100次Monte Carlo實驗，圖5是4種方法的分辨概率，可以看出ACO-Bayesian方法的分辨能力與Bayesian相當，優(yōu)于MUSIC和MNM方法;圖6和圖7分別是信號1和信號2的估計均方根誤差，為了更好地對幾種方法的分辨精度進行對比，將由于信噪比過低MNM和MUSIC方法不能成功分辨時的誤差標記為10，此時并不是指均方根誤差為10，可以看出ACO-Bayesian方法估計性能明顯優(yōu)于MUSIC和MNM方法，信噪比高于 －12 dB時，ACO-Bayesian和 Bayesian方法的估計性能相當.

圖5 分辨概率比較Fig.5 Resolution probability comparison

圖6 信號1的均方根誤差Fig.6 RMSE(root mean squared error)of signal 1

圖7 信號2的均方根誤差Fig.7 RMSE(root mean squared error)of signal 2

3.2 計算復(fù)雜度分析

如果計算一個網(wǎng)格點的后驗概率密度的計算量為Δ，則Bayesian方法的計算復(fù)雜度為JB=［(θb－ θa)/s］P× Δ，其中，［θa，θb］和 s分別為Bayesian方法的角度搜索范圍和搜索步長;而ACO-Bayesian方法的計算復(fù)雜度約為JAB≈(P×IP+L+CP×IP)×Δ，其中 P，IP，L分別為 ACOBayesian方法的信號個數(shù)、迭代次數(shù)和搜索空間抽樣個數(shù).對比Bayesian方法的P維搜索，ACOBayesian方法使用高斯核概率抽樣技術(shù)，P×IP+L小于Bayesian方法P維搜索空間的網(wǎng)格數(shù)，而CP是ACO-Bayesian一次迭代高斯核概率抽樣的計算量，遠遠小于P×IP+L.

下面通過仿真對ACO-Bayesian方法的計算量進行分析，仿真模型和參數(shù)設(shè)置與第3節(jié)相同，做50次Monte Carlo實驗，表1給出了不同信噪比條件下ACO-Bayesian方法收斂到方位真實值附近所需要的平均迭代次數(shù)

表1 不同信噪比條件下ACO-Bayesian方法的平均迭代次數(shù)Table1 Mean iteration times of ACO-Bayesian method in different SNR(signal to noise ratio)condition

以信噪比為－5 dB為例，Bayesian方法和ACO-Bayesian的計算復(fù)雜度分別為JB=［(θbθa)/s］K× Δ =57600× Δ，JAB≈(T ×IK+L+CK×IK)×Δ=4114.3×Δ.由以上仿真結(jié)果可以看出，ACO-Bayesian方法保持了Bayesian方法的估計性能，且計算量大約是Bayesian方法的1/14，大大降低了運算量.

4 水池實驗驗證

依托20×8×7 m3大型消聲水池(如圖8所示)開展高分辨方位估計實驗對本文的快速方法進行驗證，高分辨實驗框圖如圖9所示.

圖8 大型消聲水池Fig.8 Noise elimination water tank

實驗中采用6陣元均勻線列陣，系統(tǒng)采樣頻率為 122880 Hz，波束寬度約為 16.9°，利用單源數(shù)據(jù)，按照15 dB信噪比合成夾角為不同波束寬度的雙源信號.快拍數(shù)為4 000，統(tǒng)計10次，方位估計結(jié)果如表2所示.可以看出，ACO-Bayesian最大后驗概率方位估計快速方法的均方根誤差與原方法相比，略有增加，但仍能正確估計出目標的方位，保持了原方法的高分辨能力，能正確估計夾角為1/5波束寬度的兩目標.

圖9 高分辨水池實驗框圖Fig.9 Diagram of high resolution water tank experiment

表2 不同歸一化夾角情況方位估計結(jié)果Table2 DOA(direction of arrival)in different normalized angle

5 結(jié)論

Bayesian高分辨方位估計方法性能十分優(yōu)越，但該方法理論復(fù)雜，本文針對該方法由于多重積分和多維非線性搜索而導(dǎo)致的計算量大、難以工程應(yīng)用的問題，將連續(xù)蟻群算法與Bayesian方位估計方法相結(jié)合，提出了一種基于連續(xù)蟻群算法的Bayesian(ACO-Bayesian)方位估計新方法，給出了完整的理論過程，并進行了仿真性能分析和水池實驗驗證.仿真結(jié)果表明，ACO-Bayesian方法在保持Bayesian方法優(yōu)良性能的同時，把Bayesian方法的計算量從((θb－θa)/s)K×Δ減少到(T×IK+L+CK×IK)×Δ，顯著減少了計算復(fù)雜度，水池實驗結(jié)果表明，ACO-Bayesian方法能正確估計夾角為1/5波束寬度的兩目標，從而為Bayesian方位估計方法的工程應(yīng)用提供了一種新方法.

References)

［1］ 馮西安.水下目標高分辨方位估計技術(shù)研究［D］.西安:西北工業(yè)大學(xué)，2004.Feng X A.Study on the high resolution DOA estimation techniques of underwater targets［D］.Xi’an:Northwestern Polytechnical University，2004(in Chinese).

［2］ Tadaion A A，Derakhtian M，Gazor S，et al.A fast multiplesource detection and localization array signal processing algorithm using the spatial filtering and ML approach［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2007，55(5):1815-1827.

［3］ Chen C E，Lorenzelli F，Hudson R E，et al.Stochastic maximumlikelihood DOA estimation in the presence of unknown nonuniform noise［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2008，56(7):3038-3044.

［4］ Vorobyov S A，Gershman A B，Wong K M.Maximum likelihood direction-of-arrival estimation in unknown noise fields using sparse sensor arrays［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，2005，53(1):34-43.

［5］ Huang J G，Chen J F，Liu C M，et al.Bayesian approach to high resolution direction-of-arrival estimation［C］//Proceeding of the Fourth International Conference on Signal Processing.Piscataway，NJ:IEEE，1998:377-380.

［6］ Li X，Huang J G.Bayesian high resolution DOA estimator based on importance sampling［C］//Proceeding of Oceans 2005-Europe.Brest，F(xiàn)rance:Institute of Electrical and Electronics Engineers Computer Society，2005:611-615.

［7］ Djuric P M，Li H T.Bayesian spectrum estimation of harmonic signals［J］.IEEE Signal Processing Letters，1995，2(11):213-215.

［8］ Viberg M，Swindlehurst A L.A Bayesian approach to auto-calibration for parametric array signal processing［J］.IEEE Transactions on Signal Processing，1994，42(12):3495-3507.

［9］ Dorigo M.Optimization，learning and natural algorithms［D］.Italy:Dipartimento di Elettronica，Politecnico di Milano，1992.

［10］ Socha K，Dorigo M.Ant colony optimization for continuous domains［J］.European Journal of Operational Research，2008，185(3):1155-1173.

［11］ Dorigo M，Gambardella L M.Ant colony system:a cooperative learning approach to the traveling salesman problem［J］.IEEE Transactions on Evolutionary Computation，1997，1(1):53-66.

［12］ Costa D，Hertz A.Ants can colour graphs［J］.Journal of the Operational Research Society，1997，48(3):295-305.

［13］ Gagne C，Price W L，Gravel M.Comparing an ACO algorithm with other heuristics for the single machine scheduling problem with sequence-dependent setup times［J］.Journal of the Operational Research Society，2002，53:895-906.

［14］ Corne D，Dorigo M，Glover F.New ideas in optimization［M］.London，UK:McGraw-Hill，1999:63-76.

［15］ 焦亞萌，黃建國，韓晶.基于連續(xù)蟻群優(yōu)化算法的小快拍加權(quán)子空間擬合快速算法［J］.電子與信息學(xué)報，2011，33(4):972-976.Jiao Y M，Huang J G，Han J.Continuous ant colony optimization based weighted subspace fitting fast algorithm for DOA estimation with few snapshots［J］.Journal of Electronics ＆ Information Technology，2011，33(4):972-976(in Chinese).