精選典型習(xí)題，講明數(shù)學(xué)思想

【摘 要】目前高中對(duì)數(shù)列的教學(xué)主要采取緊扣教材的方式進(jìn)行。教師可以采用深入淺出的策略，精選隱含重要數(shù)學(xué)思想方法、隱含大道理的典型習(xí)題，立足小問(wèn)題，講明大道理，引導(dǎo)學(xué)生掌握解決問(wèn)題的基本策略，進(jìn)而能夠解出高考中的數(shù)列試題。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)列;教學(xué)案例

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A 【文章編號(hào)】1005-6009（2015）42-0030-02

【作者簡(jiǎn)介】張志超，南京第五中學(xué)（南京，210004）教師，江蘇省特級(jí)教師，中學(xué)高級(jí)教師。

一、“數(shù)列”的地位及教學(xué)要求

1.地位。

數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律、刻畫(huà)離散現(xiàn)象的基本數(shù)學(xué)模型。在高中階段，學(xué)生將通過(guò)對(duì)日常生活中大量實(shí)際問(wèn)題的分析，建立等差數(shù)列和等比數(shù)列這兩種數(shù)列模型，探索并掌握它們的一些基本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問(wèn)題。

2.教學(xué)要求。

（1）掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式，會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)理解數(shù)列的概念，能通過(guò)相應(yīng)的函數(shù)及其圖像直觀地認(rèn)識(shí)數(shù)列的性質(zhì)。

（2）會(huì)用類(lèi)比的方法認(rèn)識(shí)等差數(shù)列、等比數(shù)列之間的區(qū)別和聯(lián)系，要善于用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，將一些特殊的數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列的相應(yīng)問(wèn)題。

（3）由《江蘇數(shù)學(xué)高考考試說(shuō)明》可知，等差數(shù)列和等比數(shù)列在高考中均為C級(jí)要求。因此，在歷屆數(shù)學(xué)高考中，數(shù)列作為必考題，通常出一道填空題和一道解答題，填空題難度中等，解答題大多為壓軸難題。

二、“數(shù)列”教學(xué)的現(xiàn)狀與思考

教材中的數(shù)列習(xí)題難度適中，但是高考中的數(shù)列試題卻令人望而生畏，由于數(shù)列的特性，它的綜合應(yīng)用涉及函數(shù)與方程、遞推與證明、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)整合等多種數(shù)學(xué)思想方法，解決問(wèn)題時(shí)需要高中數(shù)學(xué)抽象概括能力、運(yùn)算能力、建模能力、類(lèi)比與化歸能力等多種能力。因此，數(shù)列成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)與高考的特難點(diǎn)。目前學(xué)校的教學(xué)主要采取按照教材，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，完成教學(xué)任務(wù)。高三復(fù)習(xí)教學(xué)則立足基本，回避難題。這樣做不為過(guò)，但是值得商榷。筆者以為：數(shù)列具有的上述特質(zhì)，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)綜合應(yīng)用能力的好素材，我們可以回避太難的題，但是對(duì)于數(shù)列中隱含的重要數(shù)學(xué)方法，應(yīng)該努力開(kāi)發(fā)。教師可以采用“小問(wèn)題、大道理”深入淺出的策略，精選隱含重要數(shù)學(xué)思想方法、隱含大道理的典型小題，引導(dǎo)學(xué)生從小題入手，通過(guò)對(duì)小題的深入研究，明白其中的大道理，掌握解決問(wèn)題的基本策略。下面筆者就列舉一些教學(xué)中的經(jīng)典案例，來(lái)討論數(shù)列教學(xué)背后的“大道理”。

三、“數(shù)列”教學(xué)案例及思想方法

1.滲透轉(zhuǎn)化思想。

例：已知數(shù)列an中，an= ，則S5= ?。

解：因?yàn)閍n= ，所以an= - ，因此Sn=（ - ）+（ - ）+…+（ - ）= ，所以S5= 。

分析：本例所用方法為拆項(xiàng)求和。此方法是解決數(shù)列求和問(wèn)題的常用方法，要求學(xué)生仔細(xì)觀察通項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，采用等價(jià)變換，將要解答的問(wèn)題變?yōu)楹?jiǎn)單易解的問(wèn)題，體現(xiàn)了化繁為簡(jiǎn)的轉(zhuǎn)化思想。對(duì)于形如an= （bn+1-bn=d，n∈N*）的求和問(wèn)題，都可用此方法求解。此外，在具體教學(xué)中宜先從簡(jiǎn)單的問(wèn)題著手，拾級(jí)而上，本例形式簡(jiǎn)單，是拆項(xiàng)求和的典型例題。

2.滲透分類(lèi)與整合思想。

例：在數(shù)列an中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+

（-1）n（n∈N*），則S100=_____。

解：方法①，從局部考慮，由an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），得a3-a1=0，a4-a2=2，a5-a3=0，a6-a4=2，…，a99-a97=0，a100-a98=2，得a1=a3=a5=…=a97=a99=1，a2=2，a4=4，a6=6，…，a100=100，所以S100=50+×50=2600。

方法②，從整體考慮，由an+2-an=1+（-1）n（n∈N*），令n=2k-1，得a2k+1-a2k-1=0（k∈N*），所以數(shù)列a2k-1是公差為0且a1=1的常數(shù)列，故a2k-1=1。令n=2k，得a2（k+1）-a2k=2（k∈N*），所以a2k是公差為2 且a2=2的等差數(shù)列，故a2k=2+（k-1）2=2k，所以S2k=（a1+a3+a5+…a2k-1）+（a2+a4+a6+…a2k）=k2+2k。故S100=2600。

分析：本題條件an+2-an=1+（-1）n（n∈N*）中出現(xiàn)了（-1）n，需要對(duì)n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類(lèi)進(jìn)行討論。通過(guò)分類(lèi)，將數(shù)列an分為兩個(gè)數(shù)列，再根據(jù)數(shù)列的特征進(jìn)行求和。本題的兩種解法從局部考慮或從整體考慮，滲透了轉(zhuǎn)化求解、分類(lèi)與整合的思想方法。

3.滲透函數(shù)思想。

例：已知數(shù)列an對(duì)于任意p，q∈N*有ap+aq=

ap+q，若a1=，則a36=_______。

解：方法①賦值法，由條件任意p，q∈N*及a1=與結(jié)論a36的確定，可令p=q=1，得a2=，令p=q=4，得a4=，同理可得a8=，a16=，a32=。令p=32，q=4，得a36=a32+a4=4。

方法②函數(shù)方法，將未知化為已知，設(shè)an=f（x），可將原題改為對(duì)于任意p，q∈N*，有f（p）+f（q）=

f（p+q），求f（36）。可令p=q，得2f（p）=f（2p），故

f（36）=2f（18）=4f（9）=4[f（8）+f（1）]=4[8f（1）+f（1）]=36f（1）=4。

分析：本題要求先閱讀題面，弄清數(shù)列是特殊的函數(shù)，再根據(jù)條件用函數(shù)方法將任意的p，q∈N*賦予與結(jié)論有關(guān)的定值，通過(guò)迭代，逐步得到結(jié)果。賦值求解是函數(shù)思想處理問(wèn)題的典型，體現(xiàn)了任意值與特殊值之間的轉(zhuǎn)化。

4.滲透整體化的思想。

例：在等差數(shù)列an中，a1+a2=30，a3+a4=120，則a5+a6= ? ? 。

解：注意條件下標(biāo)特征，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得a1+a5=2a3，a2+a6=2a4，得到a5+a6=2（a3+a4）-（a1+a2）=210。

分析：本例有多種解法，這里用的是整體化的方法。利用等差數(shù)列中若i+j=k+m，則ai+aj=ak+am的性質(zhì)，簡(jiǎn)化了運(yùn)算。事實(shí)上對(duì)于那類(lèi)具有整體結(jié)構(gòu)的等差數(shù)列問(wèn)題，都可用整體化的方法處理。

5.滲透化歸思想。

例：設(shè)數(shù)列an滿(mǎn)足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*），則數(shù)列an的通項(xiàng)為_(kāi)_________。

解：由an+1=2an+1，得an+1+1=2（an+1）。新數(shù)列an+1是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an+1=（a1+1）2n-1=2n，所以an=2n-1。

分析：數(shù)列通項(xiàng)滿(mǎn)足an+1=can+d（c≠0，c≠1，d≠0）的遞推形式，稱(chēng)an為遞推數(shù)列。處理此類(lèi)問(wèn)題，通常可以采用待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列an+k，使其為公比為c的等比數(shù)列，先求an+k，再求an。

遞推數(shù)列是數(shù)列中的一個(gè)部分，解答遞推問(wèn)題的常用方法是通過(guò)恒等變形構(gòu)造新數(shù)列，使其成為我們熟知的等差、等比數(shù)列再求解。此類(lèi)問(wèn)題的難易由遞推數(shù)列的形式而定。常見(jiàn)的遞推形式有：①an=cSn-b（n∈N*）; ②an+1-an=f（n）; ③=f（n）;

④an+1=2an+2n;⑤an+1+manan+1+an=0（m≠0）;等。求遞推數(shù)列通項(xiàng)是數(shù)學(xué)中化歸思想的重要體現(xiàn)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是歷年高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，本題是此類(lèi)問(wèn)題的典型且形式簡(jiǎn)單。對(duì)于變形巧妙、難度較大的問(wèn)題，可根據(jù)學(xué)生情況選講。

四、結(jié)束語(yǔ)

由于江蘇高考將等差等比數(shù)列定位為C級(jí)要求，即系統(tǒng)地掌握知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)或較為困難的問(wèn)題，考題以填空題和解答題形式為主。填空題注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力考查，對(duì)于廣大學(xué)生而言，只要夯實(shí)基礎(chǔ)，掌握方法，是不難解決的;解答題大都為壓軸題，是綜合性很強(qiáng)的問(wèn)題，大多以數(shù)列為考查平臺(tái)，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式、簡(jiǎn)單數(shù)論等知識(shí)，通過(guò)運(yùn)用遞推、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)整合等數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題和數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新的能力，對(duì)于廣大學(xué)生而言是較為困難的。

筆者以為，對(duì)于數(shù)列的教學(xué)和復(fù)習(xí)應(yīng)考，教師可以采用分而治之的策略：分解難點(diǎn)，先抓基礎(chǔ)，嘗試從能夠反映大道理的小問(wèn)題著手，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)小問(wèn)題的深入研究，明白其中的大道理，形成解決數(shù)列問(wèn)題的基本策略，在此基礎(chǔ)上，逐步過(guò)渡到對(duì)大問(wèn)題的研究。