奏鳴曲式在倒易點陣教學設計中的借用

◆譚 俊 鄭曉輝 趙軍軍

奏鳴曲式在倒易點陣教學設計中的借用

◆譚 俊 鄭曉輝 趙軍軍

針對“材料分析技術”課程中“倒易點陣”的教學難點進行了課次的教學設計，以奏鳴曲“序曲—呈示—展開—再現—尾聲”的結構程式，將倒易點陣的定義、性質、圖解及應用的連成主線，呈現出音樂般的節奏，引導學員的進入主題。運用“變易”的思維方法，讓學員從問題的提出、復雜問題向簡單問題的“變換”體驗變換的本質及應用角度，提高學員的“變易”的思維能力。

奏鳴曲式；倒易點陣；課次設計；教學方法

教學是一門科學，也是一門藝術。教學藝術是能達到最佳教育、教學效果的各種知識、條件、手段與方法的綜合。教學藝術也可向音樂藝術學習借鑒。

奏鳴曲是音樂的一種形式，古典奏鳴曲式一般都包含呈示部、展開部和再現部等3個部分。在呈示部中由不同性質的對比主題進行呈示，分為主部和副部兩部分。展開部在一般情況下是這些對比主題進一步的配合發展或更加劇烈的矛盾沖突。再現部是總結部分，再現的各主題趨向統一，相互接近。古典主義到了后期，奏鳴曲式的結構又加入引子和尾聲。

“材料分析技術”是材料科學與工程專業的專業課程之一。其中，有不少與材料結構分析相關的教學難點，而晶體材料衍射分析中的“倒易點陣”可謂是一難中難。本文中我們嘗試借用奏鳴曲式對倒易點陣課次的教學進行設計，希望能有所創新。

一、設計思想

1.教學內容

根據現代人才培養的教學改革要求，本課次保留了倒易點陣的核心內容，以問題為牽引，以倒易點陣及其應用為主線，刪減了一些煩瑣的公式推導，突出能力和方法培養。

2.教學方法

借用奏鳴曲“序曲、呈示、展開、再現和尾聲”的程式，將倒易點陣的定義、倒易矢量的性質、倒易點陣與晶體X射線衍射關系逐步道來；并在思維方法上將觀念的變換、變換的應用和變換的本質等貫穿課程始終。

3.教學目標

通過本課次的學習，學員將理解晶體X射線衍射的斑點與晶體之間的關系，并為學員在未來瞬息萬變的信息化戰爭中，以變易之思維方法，以變求新，以變求解，以變求本，以變求用提供方法借鑒。

二、教學過程設計

在實際教學過程中，整個教學過程應渾然一體，各個內容之間如行云流水般自然銜接，不能有任何突兀的感覺。要達到這樣的效果，必須在對教學內容熟練把握，融會貫通的基礎之上，再進行課前精心設計教學。該課次的教學設計借鑒戲劇的結構形式，即“序曲—呈示—展開—再現—尾聲”的程式，讓各部分銜接自然，環環相扣，娓娓道來，緊緊吸引住學員，以取得引人入勝的教學效果。

1.序曲——變幻的世界

教學內容的引入是課堂教學的第一步，可謂是序曲。精彩的課堂引入不僅可以吸引學員的注意力，而且可以為后面的授課內容做好鋪墊。倒易點陣的數學基礎是倒易變換，教學設計的序曲為變幻的世界，從各種變換引入倒易變換。

（1)事物聯系法則的應用。世界是物質的，萬物是相互聯系。課次設計了從周易到倒易的引入，從周易將世間萬物的變化歸結于陰陽之變化；信息技術中實現信息高速傳輸、存儲和處理的0和1的變化；數學中直角坐標、柱坐標、球坐標的坐標變換，引入到課程的倒易變換。

（2)問題的設計。在引入倒易變換后，連續設問：什么是倒易變換？為什么要進行倒易變換？倒易變換有什么用？來提高學生的注意力，啟發學員的思考。隨后，在比較可見光的反射與晶體衍射的區別，對比夜空星圖與X射線衍射圖之后，提煉出一個數學命題：已知X衍射斑點像，證明斑點像是晶體原子面的像 （信息)。這一問題的設計改變了傳統教學過程中依教材按部就班講解相關內容方式，為問題式教學提供了基礎。

（3)解題的思路。面對提出的問題，看起來難以證明，引導學員找出一個解題的思路，即將這個命題的求解分解為以下兩個步驟 （見圖1)。

步驟一：將晶體原子面通過一個變換，變成點；而這個變換就是我們要學習的“倒易變換”。

步驟二：證明晶體原子面變換的點是晶體衍射的成像點。

圖1 斑點像是晶體原子面像證明的步驟

再從上節所學X射線衍射的特點與基本條件說明為什么要研究倒易變換，為后續主題的展開作好鋪墊。

2.呈示——倒易點陣與正點陣

序曲之后，進入倒易點陣的呈示。這部分的關鍵是要讓學員建立倒易點陣 （空間)的概念。以倒易點陣與正點陣的關系著手，即如何讓正點陣變到倒易點陣。

（1)倒易點陣與正點陣的對比。首先明確給出倒易點陣的定義 （a*=b×c/V)，引導學員從定義對比倒易點陣與正點陣的關系，理解任何一個正點陣都存在一個倒易點陣，倒易點陣與正點陣又互為倒易點陣。

（2)倒易基矢與正基矢的對比。引導學員從定義推導出倒易基矢的兩個性質。一是倒易基矢a*的方向：a*⊥b，a*⊥c；二是倒易基矢的大小：|a*|=1/|a|cosα，并從|a*|與|a|的關系進一步說明“倒”的意義。

針對倒易空間抽象，倒易空間與正點陣空間關系難以琢磨的特點，運用三維動畫演示，幫助學員建立倒易空間的概念。

3.展開——倒易空間的“點”與正空間的“面”

在給學員從正點陣至倒易點陣呈示之后，進入了倒易矢量的定義及性質的展開，在這一過程中著重讓學員體會如何從倒易基矢拓展至倒易點陣。

（1)倒易基矢與倒易矢量。從倒易點陣，給出倒易矢量（ghkl)的定義，即：ghkl=h a*+k b*+l c*。由倒易矢量 （ghkl)的含義——由原點O*指向任意坐標為hkl的陣點的矢量ghkl，給出倒易矢量的性質。

（2)倒易矢量及向其性質。一是倒易矢量ghkl垂直于正點陣中相應的 （hkl)晶面，或平行于它的法向Nhkl。二是倒易矢量的長度等于正點陣中相應晶面間距的倒數，即ghkl=1/ dhkl。對于性質的證明，留給學員作為課后作業。

（3)原子“面”與倒易“點”。展開部分的關鍵是要從倒易矢量的性質導出以下重要結論：倒易點陣中的一個點代表的是正點陣中的一組晶面，從而建立起正點陣“面”與倒易點陣“點”的內在聯系，從而完成前文所述步驟一：“晶體原子面”變換為“信息點”（倒易點)證明。

4.再現——晶體倒易點陣與Ewald球的相遇

在這之前都是鋪墊，是為該部分的主題再現 （解決的問題)服務的，即Ewald圖解及其在晶體衍射分析中的應用。在此環節，同樣，從定義入手，將倒易點陣與正點陣兩個對立的空間，通過晶體的衍射實現了統一。

（1)Ewald球。首先給出Ewald的定義：以球心O到倒易原點O*的長度 （1/λ)為半徑的球。

（2)Ewald圖解。當晶體倒易點陣與Ewald球相遇，會有一些倒易點與Ewald球的球面相交，證明倒易點陣中與Ewald球面相交的點滿足晶體X射線衍射的基本條件 （布拉格方程)。

（3)倒易點與正點陣晶面的衍射成像。通過以上證明，說明晶體X射線衍射成像，實際上是那些與Ewald球相交的倒易點，面倒易點代表了一組晶面。這樣學員就明白了為什么斑點像就是晶體的原子面像，即完成了前文所述步驟二的證明。

最終，完成了課次最初提出的X射線衍射斑點即為晶體中產生衍射晶面像問題的證明。

5.尾聲——萬變不離其宗

最后是課程的尾聲——小結。小結是課堂授課中必不可少的一部分，是利用很短的時間對所講授內容作一個簡短的系統性、概括性、延伸性的總結。小結要精煉，通過小結使學員能抓住這節課堂教學的重點和難點。因而，小結是整節課教學的升華。常用的小結方法有歸納總結式、分析比較式、圖表小結式、啟迪思維式、交流評價式等。本次堂課的小結一方面對課堂教學內容進行了歸納總結，另一方面從更高層次和能力培養的要求，對思維方法啟迪進行了的提煉和延伸。

（1)學習內容歸納。通過倒易變換，建立了晶體的倒易空間，找到了倒易點與正點陣中晶面的對應關系以及產生衍射晶面之間的條件，從而揭示了晶體衍射的斑點與晶體衍射的關系與本質。

（2)思想方法提煉。本課次中應用的主要思維方法是“變易”，為此提煉出“以變求新，以變求解，以變求本，以變求用”的幾個具體方法，即以“變”發現事物新的表現形式，以“變”求得問題的解決方法，以“變”來揭示事物的本質，以“變”來運用事物發展規律，但萬變不離其宗，即事物的本質。為學員在未來瞬息萬變的信息化戰爭中提供方法借鑒。

本課次設計針對“倒易點陣”的教學難點，嘗試了奏鳴曲式結構在教學設計的借用，并在教學過程的問題牽引，教學手段的多媒體運用，教學總結的方法提煉等方面進行了探索。實踐表明，學員能夠緊跟教員的教學思路，更好地掌握了本課次的學習內容；同時，激發了學習的興趣與求知欲，培養了思維能力，學習了解決問題的方法，還可為今后的學習和工作提供一定的借鑒。

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[8]課堂小結的幾種常見形式[EB/OL]http：//wenku.baidu.com/view/ 8d72353310661ed9ad51f367.html.2014-10-06.

（編輯：郝 嬋）

譚俊，男，裝甲兵工程學院裝備再制造工程系教授，博士。研究方向：材料科學與工程；鄭曉輝，女，裝甲兵工程學院裝備再制造工程系講師，碩士。研究方向：材料學；趙軍軍，男，裝甲兵工程學院裝備再制造工程系，博士。研究方向：材料學。

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