以湊微分關系簡化第一類換元法和分部積分法教學

陳劍軍

摘要：一元函數積分學是高等數學中的重要內容，其中的第一類換元法和分部積分法是要求掌握的內容。學生在應用這兩種方法進行計算時，往往覺得要用到兩種技巧來實現、缺乏統一的模式一以貫之。這和教材的設計有很大關系：多數教材都是割裂處理這兩個方法。為此提出將這兩種方法統一到一個基本的技巧—湊微分。教學實踐表明：熟練應用湊微分的常見關系式，可以明顯提高學生用這兩種方法計算積分的能力。

關鍵詞：湊微分；第一類換元法；分部積分法

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）48-0214-02

一、引言

一元函數積分學是高等數學中的重要內容，也是學習二重積分的基礎。在積分計算中，湊微分方法既是重點，也是難點，特別是對于被積函數比較復雜的情況湊微分更是困難。對要求學生掌握的內容，教材常見的安排順序是：一元函數的不定積分（不定積分的概念和性質、第一類換元積分法—也叫湊微分法、第二類換元積分法、分部積分法等）、一元函數的定積分（定積分的概念和性質、微積分基本公式、第一類換元積分法、第二類換元積分法、分部積分法等）；也有的教材（如：復旦大學出版社出版的《高等數學》）做如下不同的安排：定積分的概念和性質、微積分基本定理、不定積分的概念和性質、不定積分的第一類換元法及第二類換元法、定積分的計算，等等[1，2]。（一般來說，上述內容是要求學生掌握的[3]。）無論哪種安排順序，學生往往感覺計算很繁雜，往往覺得第一類換元法和分部積分法是割裂的兩種方法，缺乏一個明晰的思路統一貫穿下列問題：不定積分的換元和分部積分法、定積分的換元和分部積分法。為了使學生更好地掌握這些計算，提出以湊微分的思想為基礎，統一第一類換元法和分部積分法：學生只要熟悉湊微分的關系式，就能較熟練地進行基本的積分計算。

二、第一類換元積分法“湊微分”關鍵探析

由于積分是微分的逆運算，沒有固定的公式和模式可以簡單套用，往往需要對積分式子進行適當的變形和換元才能夠利用積分公式計算出來，所以，初學者在學習的過程中往往要多次嘗試，頗費時間。第一換元積分法（也叫湊微分法）是一種重要的基本積分方法，它的關鍵步驟是“湊微分”。其公式如下（為簡練計，略去公式的條件部分，下文同）：

這時后者一般不難計算。應用該公式有兩個關鍵環節：第一個環節是第一步的湊微分，第二個環節是第三步的計算：學生往往在用了分部積分公式后不知如何繼續。一般的規律是將u（x）的微分計算出來，這樣可以簡化積分的計算。至于第一個環節，也是遇到與第一類換元積分相類似的問題：在待計算的積分中，被積函數是一個整體，不會標志出哪個是u（x），哪個是v（x）.學生要掌握該公式，必須要能主動、比較熟練地將整個被積函數看成u（x）v'（x）的形式，也就是能看出將被積函數中哪個部分拿出來湊微分，這里所需要的技巧和湊微分法是一致的。如此講授分部積分法，不僅可以減少學生需要掌握的技巧，而且較目前教材處理的方法更加簡明。

四、結束語

不難看出，經過處理，湊微分的技巧可以統一應對第一類換元法和分部積分法的計算，能降低學生學習的難度。教學實踐表明：學生認為課堂教學所講授的方法較教材更加容易掌握，作業和測試也說明了這一點。因此，文中所提出的方法可資借鑒。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]黃立宏.高等數學[M].第三版.上海：復旦大學出版社，2008.

[3]http：//math.fudan.edu.cn/gdsx/jxdg.html.endprint