基于CML的多重邊復雜公交線路網絡相繼故障研究

杜文舉，俞建寧，安新磊，馬昌喜

（1.蘭州交通大學 交通運輸學院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070）

基于CML的多重邊復雜公交線路網絡相繼故障研究

杜文舉1，俞建寧1，安新磊2，馬昌喜1

（1.蘭州交通大學 交通運輸學院，甘肅 蘭州 730070；2.蘭州交通大學 數理學院，甘肅 蘭州 730070）

為給城市公交系統的規劃、建設和管理優化提供決策依據，在現有公交網絡模型的基礎上，以常規公交線路為網絡的節點，公交線路間的若干個公共停靠站點為連邊，建立了基于耦合映像格子的多重邊復雜公交線路網絡模型，基于該模型研究了多重邊復雜公交線路網絡的相繼故障問題。通過Matlab數值仿真技術，詳細分析了擾動幅值和耦合強度對網絡相繼故障的影響。研究結果表明：蓄意攻擊多重邊復雜公交線路網絡中節點度最大的節點最容易造成網絡全局故障；另外，耦合強度和擾動幅值越大，多重邊復雜公交線路網絡越容易發生相繼故障。

城市交通；多重邊復雜網絡；公交網絡模型；耦合映像格子；相繼故障

0 引言

復雜網絡可以用來刻畫互聯網、生物網絡、交通網絡、社會網絡等許多的現實網絡，目前對復雜網絡的研究已經滲透到了各個領域。在許多實際網絡中，網絡的一個節點或者是少數的幾個節點由于某些原因出現故障，而且這些故障會通過網絡節點之間的耦合作用導致其他的節點出現故障，最后會造成網絡中很大一部分的節點乃至全部的節點都發生故障，這種現象被稱作相繼故障[1]。例如，在2003年8月，由于俄亥俄州的3條超高壓輸電線路過載最終造成了整個美國大范圍的停電事故；2008年1月，我國南方的雪災造成南方城市電力系統崩潰，使得鐵路、公路運輸系統失去控制；2009年3月，在下班高峰時，悉尼中心多地發生大規模停電，導致100多座交通信號燈無法使用，致使交通嚴重堵塞。這些事件都是由于網絡相繼故障而導致的問題，對城市社會經濟功能造成了非常嚴重的影響。

城市公交網絡是城市交通系統的主要組成部分，國內外許多的學者利用復雜網絡理論來研究交通網絡。Latora V.等[2]研究了波士頓地鐵網絡，將其抽象為無向加權網絡，得到該網絡具有小世界特性。Sienkiewicz J.等[3]對波蘭22個城市的交通網絡進行了分析，發現所有網絡都呈現了小世界特性。高自友等[4]研究了北京交通網絡的特性，分析出城市交通網絡具有無標度特性。汪濤等[5]研究了國內4座城市分別在P空間和L空間上的網絡特性。隨著城市公交網絡規模的不斷增大，會因為交通擁堵、乘客人數驟增、車輛故障、蓄意破壞等因素的影響導致車輛、站點過度擁擠等等。因此，建立和研究城市公交網絡相繼故障模型，具有非常重要的理論意義和應用價值。

近年來，不少學者已經對復雜網絡中的相繼故障問題進行了研究。汪小帆等[6]針對全局耦合網絡、無標度網絡以及小世界網絡，分別討論了它們的相繼故障問題。陳星光等[7]基于耦合映像格子（Coupled Map Lattice,CML）模型，建立了一類城市交通系統的耦合映像格子模型并分析了其相繼故障問題，得到網絡的最終故障規模與施加在節點上的擾動、干擾節點的選取以及干擾發生的順序均無關。崔迪等[8-9]對帶有群落結構的無標度網絡與小世界網絡以及隨機網絡上的相繼故障進行了詳細的研究，得到增大群落的模塊度能夠有效延緩帶有群落結構的無標度網絡級聯失效等一系列重要結果的發生。張海林等[10]研究了城市地鐵網絡的相繼故障問題，發現蓄意攻擊比隨機攻擊具有較快的傳播速度。尹洪英等[11]基于耦合映象格子建立了交通運輸網絡級聯失效模型，對不同的拓撲結構、不同的移除方式、不同的耦合強度和不同的外部擾動下網絡的相繼故障問題進行了研究，發現網絡在外部擾動和耦合強度超過閾值之后會發生級聯失效。FAN W.等[12]研究了相繼故障的控制，得到通過對初始故障節點和其鄰近節點的保護能夠有效地控制無標度耦合映像格子模型的相繼故障傳播。

然而，目前對交通網絡相繼故障的研究大都集中在單邊網絡的研究，鮮有文獻對多重邊復雜公交網絡的相繼故障進行研究。但是，在現實中許多的網絡是用具有不同性質的子網絡所組成的多重邊復雜網絡來描述的，例如，生物網絡、人際網絡和交通網絡等。這種由多種不同性質的子網絡組成的多重邊復雜網絡具有更為復雜的動力學特性，因此，有必要建立多重邊復雜網絡相繼故障模型對其進行研究。本文采用Space ML公交網絡建模方法，選取蘭州市西站區域的21條公交線路建立了一種新的多重邊復雜公交網絡模型。基于耦合映象格子模型，研究了該網絡的相繼故障問題，從而為公交網絡的維護和擁堵傳播的控制提供了理論依據。

1 基于CML的多重邊復雜公交線路網絡模型

1.1 多重邊復雜公交網絡模型

城市公交網絡是公交停靠站點和公交線路所組成的一類復雜的網絡，該網絡不但具有一般的拓撲統計規律，而且還有著非常豐富的動力學特性[13]。目前，主要的城市公交網絡建模方法有3種，分別是：Space L方法、Space P方法和Space R方法[14-15]。本文在這3種建模方法的基礎上，使用一種新的建模方法（Space ML方法）構造了一種新的復雜公交網絡模型，稱作公交線路多重邊網絡模型[16]。該方法把公交線路當作網絡的節點，如果某2條線路之間有k個公共的站點，那么這2個節點間就有k條連線。例如選取蘭州市1路、35路、129路等3條公交線路，1路與35路車有2個相同站點，1路與129路車有3個相同站點，35路與129路車有2個相同站點，根據Space ML建模思想，上述3條公交線路網的拓撲結構如圖1所示。

圖1 3條公交路線的拓撲結構圖

在n重邊復雜網絡中，每個節點的度分為實度和虛度，節點i的實度定義為與節點i相連的邊的數目，節點i的虛度定義為i的鄰居節點的數目×網絡的重數n。若某一個節點的實度等于該節點的虛度，則稱該節點處于飽和狀態。把與節點i相鄰的邊數Mi和的商定義為該節點的聚類系數，其中ki為和節點i直接相連的節點數目。把所有節點之間距離的平均值定義為平均路徑長度，所有最短路徑經過該節點（邊）的數量比例定義為節點（邊）介數。2個節點之間邊的數目定義為2節點間邊的方向度，邊的方向度越大，說明這2個節點聯系越緊密。把與節點i直接相鄰的所有節點的數目定義為節點的強度。

本文選取了經過蘭州市蘭州西站的21條公交線路作為研究對象，把這21條公交線路看作網絡的節點，如果2條線路之間有k個公共站點，那么這2條線路之間就有k條邊相連。由于這21條公交線路都經過蘭州西站，所以它們之間至少都有1個公共站點，故該網絡為全局耦合網絡。它們均在1個連通子圖里，于是任意2條線路都存在換乘的可能。該網絡中有17對線路方向度大于7，在實際中，它們之間換乘的可能性很小，而方向度為1的2條線路最可能存在換乘。因為這21條公交線路網絡中任意2個節點都是彼此相連的，所以每個節點的強度均為20，這說明每條線路在該公交網絡中都很重要。

1.2 基于CML的多重邊復雜公交網絡相繼故障模型

耦合映像格子是一種時間和空間都離散而狀態變量連續的動力學系統，該模型具有非常豐富的動力學特性[17]。考慮如下包含N個節點的CML模型：

式（1）中：xi(t)為第i個節點在t時刻的狀態，對于多重邊復雜公交線路網絡而言，xi(t)表示線路i在t時刻的飽和度；ε為節點之間的耦合強度，它代表各個線路之間的相關系數，也就是說ε的值越大，節點之間關聯也就越緊密，ε∈(0,1)；f(x)為混沌的Logistics映射，表征節點自身的動態行為， f(x)=4x(1-x)，當 0≤x≤1時， 0≤f(x)≤1;ωij為節點i與節點 j之間的權重，具體定義為：如果節點i與節點 j之間有s條邊相連，那么ωij=ωji=s，對于多重邊復雜公交線路網絡來說，ωij則表示線路i和線路 j之間公共站點的個數，這里規定，節點和自身不能相連，即ωii=0,i=1,2,…,N；k(i)為節點i的度，，它指的是線路i和其他線路之間公共站點的總的數目。式（1）中的絕對值符號用來保證每個節點的狀態都非負。

在某個時刻，由于交通事故、交通擁堵、道路施工、車輛故障、蓄意破壞和惡劣天氣等因素的影響而導致網絡單個節點發生故障，這相當于在某個時刻m給單個節點c施加一個外部擾動R(R≥1)，則：

此時，在第m時刻節點c發生了故障，并且有xc(t)≡0,t＞m。所有c的鄰居節點在第m+1時刻，全部會受到節點c在m時刻的狀態值xc(m)的影響，而且受到影響的節點的狀態值都會按照式（1）計算得到。重新計算得到的節點狀態值也有可能會大于1，因此會造成新一輪的節點故障。此過程會反復進行，節點的故障就會擴散，這樣最終會導致網絡的全局故障。

2 基于CML的多重邊復雜公交線路網絡相繼故障仿真研究

首先，將故障規模I定義為網絡的故障節點比，它表示網絡遭受攻擊后的故障節點數目與網絡節點總數之比。然后，在(0,1)范圍內隨機生成網絡節點的初始狀態值。最后，利用Matlab對基于CML的多重邊復雜公交線路網絡相繼故障模型進行仿真，圖中的所有數據都是100次試驗的平均值。

2.1 不同攻擊策略下多重邊復雜公交網絡的相繼故障

在耦合強度ε=0.6的情況下，分析了外部擾動R由0.2變到6，當t=2,4,6時多重邊復雜公交線路網絡在不同的攻擊策略下發生相繼故障的情況，如圖2～圖4所示。當蓄意攻擊多重邊復雜公交線路網絡中飽和度最大的節點時，圖2給出了故障規模I隨擾動幅值R的變化曲線。可以看到，當擾動幅值R不斷增大的時候，網絡的故障規模也在增加，到最后網絡達到全局故障。t=2時，故障的規模增加得很緩慢，但是當t=6時，故障規模增加的速度明顯加快。也就是說，隨著時間的累積，網絡達到全局故障的擾動臨界值會逐漸減小。

圖2 蓄意攻擊多重邊復雜公交線路網絡飽和度最大的節點的I-R曲線

當蓄意攻擊網絡中節點度最大的節點時，可以發現，隨著外部擾動R的不斷增加，網絡的故障規模也逐漸增大，直到最后達到全局故障，如圖3所示。與蓄意攻擊網絡飽和度最大的節點的情形相反，蓄意攻擊網絡節點度最大的節點時，當t=2時，故障規模增加得最快；而當t=6時，故障規模增加得最慢，達到全局故障的擾動臨界值隨著時間的增大而增大。

圖3 蓄意攻擊多重邊復雜公交線路網絡節點度最大的節點的I-R曲線

當對多重邊復雜公交網絡的單個節點進行隨機攻擊時，故障的規模隨著擾動幅值的增加而增大，最后達到全局故障，如圖4所示。另外，當t=2和t=4時，網絡故障規模增加得很快，并且網絡達到全局故障的擾動臨界值也相對較小。當t=6時，故障規模增加得較慢，網絡達到全局故障的擾動臨界值較大。

圖4 多重邊復雜公交線路網絡單個節點隨機故障的I-R曲線

在耦合強度ε=0.3的情況下，分析了外部擾動R由0.2變到8，多重邊復雜公交線路網絡在不同的攻擊策略下發生相繼故障的情況，如圖5所示。當公交網絡的單個節點受到攻擊，網絡的故障規模I會隨著擾動幅值R的增大而增大。對于本文討論的多重邊復雜公交線路網絡，擾動幅值R存在2個閾值：R1和R2。當1＜R＜R1時，故障規模I=0.04762，說明公交網絡中只有1個節點發生了故障。但是，當擾動幅值R的值由R1開始逐漸增大時，網絡的故障規模I會迅速增加。當R≥R2時，公交網絡中所有節點都會在下一時刻發生故障（I=1）。在圖5中，攻擊節點度最大的節點時，2個閾值分別為R1=1.8，R2=3.6；攻擊飽和度最大的節點時，2個閾值分別為R1=2.6，R2=4.2；而在隨機故障下，2個閾值分別為R1=2.2，R2=4.4。從圖5可以看到，攻擊公交網絡節點度最大的節點的2個閾值，比起攻擊飽和度最大的節點和隨機攻擊情況下的閾值都要小。由此可見，攻擊節點度最大的節點時，即使擾動幅值R很小都能導致網絡全局故障。這說明，蓄意攻擊多重邊復雜公交網絡節點度值較大的節點，比如公交線路中那些與其他線路共用站點較多的線路，對網絡的破壞最大。因為，這些線路在公交網絡的平衡中發揮著重大的作用，如果人為地破壞了這些線路，會對公交網絡造成巨大的傷害。

圖5 不同攻擊策略下多重邊復雜公交線路網絡的I-R曲線I-R

2.2 耦合強度對多重邊復雜公交網絡相繼故障的影響

在外部擾動R=2.6的情況下，分析了耦合強度ε由0.02變到1，多重邊復雜公交線路網絡在不同的攻擊策略下發生相繼故障的情況，如圖6所示。隨著耦合強度ε的增加，網絡的故障規模也逐漸增大。對于耦合強度ε同樣存在2個閾值：ε1和ε2。當1＜ε＜ε1時，網絡的故障規模I=0.04762，說明此時網絡只有1個節點發生了故障。當耦合強度ε的值由ε1開始逐漸增大時，網絡的故障規模I會迅速增加。當ε≥ε2時，公交網絡中所有節點都會在下一時刻發生故障（I=1）。攻擊節點度最大的節點時，耦合強度ε的2個閾值分別為ε1=0.16和ε2=0.42，相比攻擊飽和度最大的節點和隨機攻擊時，這2個閾值都比較小。由此可見，攻擊節點度最大的節點時，即使耦合強度ε很小也能導致網絡全局故障。

圖6 單目標攻擊下多重邊復雜公交線路網絡的I-ε曲線

3 結語

基于復雜網絡理論，本文構建了一類多重邊復雜公交線路網絡，結合多重邊復雜公交線路的網絡特征，并且運用耦合映像格子相繼故障模型，分析了基于耦合映像格子的多重邊復雜公交線路網絡相繼故障模型中相應參數對網絡相繼故障的影響。結果表明：網絡的耦合強度ε和外部的擾動值R越大，多重邊復雜公交線路網絡越容易發生相繼故障。另外，外部擾動R和耦合強度ε都存在各自的閾值，當R和ε大于閾值后，網絡會發生相繼故障；并且發現節點度最大的節點最容易造成網絡的相繼故障，因此在多重邊復雜公交線路網絡的管理和控制中應該多關注這些節點。

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Cascading Failures of Complex Public Transit Network with Multi-links Based on CML

DU Wen-ju1,YU Jian-ning1,AN Xin-lei2,MA Chang-xi1
(1.School of Traffic and Transportation,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China; 2.School of Mathematics and Physics,Lanzhou Jiaotong University,Lanzhou 730070,China)

In order to provide decision basis for the planning,construction,management and optimization of urban public transit system,on the basis of the existing public transit network models,a complex public transit network model with multi-links was established based on Coupled Map Lattice.The model took bus lines as the network nodes,and the same bus stops among bus lines as the network links.The cascading failures were investigated by using this model.The cascading failures under the different external perturbations and coupling strengths were analyzed through Matlab numerical simulation.The results indicate that deliberate attack on the node with the largest degree in the public traffic network with multi-links is most likely to cause the global failure.In addition,the greater the coupling strength and external perturbation of the network are,the easier cascading failures occur.

urban traffic;complex network with multi-links;public transit network model;coupled map lattice;cascading failures

U121

A

2095-9931（2015）06-0014-06

10.16503/j.cnki.2095-9931.2015.06.003

2015-10-17

國家自然科學基金項目（61364001）；國家自然科學基金項目（51408288）

杜文舉（1987—），男，甘肅西和人，博士研究生，研究方向為交通運輸規劃與管理。E-mail：duwenjuok@126.com。