輸入飽和約束下一類多智能體編隊系統魯棒一致性分析

周紹磊，閆 實，劉 偉，李瑞濤

（中國人民解放軍海軍航空工程學院 控制工程系，山東 煙臺 264001）

輸入飽和約束下一類多智能體編隊系統魯棒一致性分析

周紹磊，閆 實，劉 偉，李瑞濤

（中國人民解放軍海軍航空工程學院 控制工程系，山東 煙臺 264001）

針對輸入飽和約束條件下具有不對稱時滯的二階多智能體編隊系統的魯棒一致性問題，本文綜合利用Lyapunov-Krasovskii泛函方法和線性矩陣不等式的方法對其進行了研究。首先在n維歐氏空間中建立了二階多智能體所組成的編隊系統的數學模型；然后設計了分布式的基于一致性的具有飽和約束和不對稱時滯的編隊控制律；進一步，利用非線性扇區法處理了飽和項，將其轉化為一種簡單的非線性項，從而建立了Lyapunov-Krasovskii泛函，并利用LMI方法對編隊系統進行了魯棒一致性分析，得到了系統達到魯棒一致時的線性矩陣不等式條件，并通過仿真分析驗證了所得條件的正確性。

輸入飽和；時滯；魯棒一致性；編隊控制

編隊控制是智能群體自主協同控制中最為基礎的一項技術，在軍事、航天、工業、生活等各個領域有著廣泛的應用前景。所謂編隊控制，是指由多個智能體組成的群體向某一特定目標運動的過程中，相互之間保持預定的幾何形態（即隊形），同時又要適應環境約束（如避障）的控制問題。

近年來，基于一致性的編隊控制理論受到了廣泛關注。所謂一致性（有些也稱為“趨同性”），就是指多智能體系統中的每個個體通過相互之間的信息交互，最終在各項協同變量（如，位置、速度、能量等）上趨于一致。

在實際的控制系統中，控制器通過執行器來驅動受控對象，而環境或者系統自身的物理結構決定著執行器的輸出量及其變化率不能任意大，因而執行器一般都存在幅值飽和約束問題。而編隊控制輸入（隊形、速度、過載等）往往也是有著嚴格約束的，目前基于分布式多智能體系統的飽和約束問題的研究目前還比較少。

本文綜合考慮輸入飽和受限條件下，對同時具有不對稱時滯以及通訊噪聲的情況下的多智能體編隊的魯棒一致性問題進行分析。利用Lyapunov穩定性理論以及線性矩陣不等式方法（LMI方法）得到了多智能體編隊達到魯棒一致的充分條件。

1 問題描述

1.1 具有輸入飽和約束和外界擾動的多智能體編隊系統

考慮n維歐氏空間中一個由N個具有輸入飽和約束和外界干擾的二階智能體組成的編隊系統，其中第i個智能體的動力學方程由下式描述：

其中，xi(t)∈Rn，vi(t)∈Rn，ui(t)∈Rn分別表示n維歐氏空間中智能的位置向量、速度向量和控制輸入向量；umax∈R為常值,表示控制輸入幅值約束；w(t)∈L2[0,∞)為系統有界干擾。

無向圖G=(V,E,A)表示智能體間的通訊拓撲結構，其中V={V1,V2,…，Vn}為節點集合，也可用其下標代指。E?V×V為邊集合，A=[aij]，?i，j=1,…,n為鄰接矩陣，用于描述系統的通信拓撲結構。如果(i,j)是G圖的一條邊，表示智能體j和i可以交換信息，記aij=1。L=[LT1LT2…LTN]為拉普拉斯矩陣，且有以下形式：

編隊隊形是智能體在空間中建立并能保持的一種特定的幾何位置關系。描述編隊隊形的方法有多種[1-3]。很多情況下，分布式控制系統中的單個智能體很難知道自身的絕對位置，因而從實際出發，本文采用基于相對位置向量的方法描述隊形，其具體描述方式下：

定義1基于相對位置向量的隊形描述方法

n維歐氏空間中，智能體i和智能體j之間理想的位置偏差向量為hij∈Rn，i=1,2,3,…,N。其中向量hi∈Rn，i=1,2,3,…,N表示智能體i在空間中期望的位置，則，hij=hi-hj，?i,j= 1,2,3,…,N。編隊向量為，其中Ni表示當前時刻智能體i的鄰居個數，則編隊向量與編隊隊形是一一對應的。

為驗證所設計的控制協議能夠使得編隊系統達到一致且對外界干擾具有良好的抑制能力，引入了性能輸出變量zi(t)由下式給出：

進一步，令z(t)=[z1(t)，z2(t),…,Zn(t)]T

其中，

注意到對于矩陣C=In-1n1nT/n，0是其特征值，重數為1；1是其特征值，重數為n-1；向量inT、1n分別是特征值0的左右特征向量且有CTC=C。

定義2系統 EE（Energy-to-Energy）增益指標

‖Twz‖ee越小，表明外界擾動對系統的影響越小，因此反映了系統抑制外部擾動的能力。

定義3編隊系統的次優H∞一致性

對于給定的多智能體編隊系統（1）以及和可實現的性能指標γ＞0，如果

1）當wi(t)=0時，編隊能夠形成并保持，即對于任意的智能體i和智能體j，如果存在某一有界時刻t0，當t≥t0時，等式xi(t)-xj(t)=hij和vi(t)=vj(t)=vd始終同時成立，則稱編隊形成并保持，其中vd是智能體期望的速度。

2）當wi(t)≠0時，‖Twz‖ee＜γ，則控制律ui為γ次優一致性魯棒H∞編隊控制律。那么編隊系統實現了次優H∞一致性。

1.2 基于一致性的編隊控制律設計

假定編隊的位置通訊拓撲與速度通訊拓撲是相同的。文獻[4]給出了編隊控制中經典的靜態一致性算法（3），該算法已經被驗證能夠使得編隊中的所有個體達到同一位置：

在實際系統中不僅存在著輸入飽和現象，還存在著時滯現象。時滯往往降低了系統的穩定性及其他性能。記τij(t)為t時刻，智能個體j從它的鄰居i接受信息時的通信時滯。關于通訊時滯我們規定以下兩點假設：

假設1通訊網絡中僅存在不對稱時滯。智能體獲取自身狀態信息沒有時滯，即τij(t)=0；時滯僅存在于智能體獲取鄰居狀態信息時，即0＜τij(t)＜τ。

假設2多智能體編隊系統中的通訊時滯是均等的。即對任意的智能體i、j、k均有等式τij(t)=τkj(t)=τjk(t)=τ(t)成立。如果系統內的通信時滯滿足τ(t)=τ＞0，τ˙(t)=0，則該時滯為恒定均等時滯；如果τ＞0，τ˙(t)＞0為常數，則該時滯為時變均等時滯。

這兩點假設是具有實際意義的。在通訊網絡中智能體檢測自身狀態信息的時間相對于檢測鄰居狀態信息的時間往往是可以忽略不計的；同時，在通訊網絡協議中可以引入時間隊列機制，即在規定的時刻點，所有個體統一進行信息更新，這樣做會一定程度上避免出現異步通訊，同時也可以近似認為出現了均等通訊時滯。

在經典的靜態一致性算法的基礎上，設計了新的具有不對稱時滯的動態一致性算法（4）：

其中，xj(t-τ)),vj(t-τ(t))∈Rn分別為具有通信時滯τ(t)的個體j的位置和速度向量；uid(t)∈Rn為個體i的控制輸入向量；vd∈Rn，∈Rn表示期望的編隊速度和編隊加速度；α＞0，β＞0為有界控制參數；hij是個體i，j的期望相對距離向量；N為智能群體內個體的個數，Ni是個體i當前時刻的鄰居個數。

定義4非線性飽和函數

非線性飽和函數記為sat(·)，當y∈R時sat(y)=sign(zi)min

當y=(y1,y2,…,yn)T∈Rn時，非線性飽和函數可以寫成向量形式，sat(y)=(sat(y1),sat(y2),…,sat(yn))T

則輸入飽和約束下的具有不對稱時滯的一致性編隊控制律為：

利用Kroneck積的形式得到編隊系統在輸入飽和約束下的一致性編隊控制律為u(t)：uds(t)=sat(ud(t))

1.3 預備引理

引理1[5]不存在控制輸入約束、外界干擾、時滯等情況下，若編隊速度vd和期望的編隊向量h是精確已知的，控制系數α＞α0，β＞0且有界，則當系統通信拓撲強連通且存在最小有向生成樹時，系統（1）是穩定的。其中，

2 系統穩定性分析

2.1 系統的等價代數變換

為方便進行數學推導，首先要對系統進行代數等價變換。令：

將含不均等時滯的編隊控制律 (4)等價變換并利用Kroneck積的形式整理得智能群體的不對稱時滯編隊控制律(9)

2.2 基于非線性扇區法的飽和項處理

考慮到飽和函數的非線性特性，直接運用Lyapunov第二方法分析系統的穩定性較為困難。 而將飽和函數建模成一個滿足扇形條件的普通非線性模型是一個常用的方法[6]。因為

不妨設：

則有：

由此，我們可以得到閉環狀態方程：

2.3 基于Lyapunov-K rasovskii泛函方法與LM I方法的編

隊穩定性分析與魯棒性分析

定理1：輸入飽和約束下考慮存在外界干擾和不對稱均等時滯的滿足引理1的多智能體編隊編隊系統。如果存在對稱正定矩陣P∈R2nN×2nN，Q∈R2nN×2nN使得Γ＜0，則智能群體系統編隊能夠實現次優H∞一致性，干擾抑制度γ，其中：

證明：

1）首先討論系統的鎮定問題，構造Lyapunov-Krasovskii泛函為如下形式：

其中，

則有：

根據定義3，首先考慮當w(t)=0時的編隊閉環系統的鎮定問題，若以下不等式成立：

由此可知，當定理1中LMI（11）成立時，

根據定義3，編隊形成并保持等價于下列等式同時成立：

因此，由lyapunov穩定性理論可知，當V(t)正定，且其沿著軌線的倒數V˙(t)負定時，閉環編隊系統（10）的輸出解是一致漸進穩定的，因而滿足等式（13）的要求，所以編隊可以形成并保持。

2）其次討論編隊系統（10）的問題。

結合定義2中的EE（Energy-to-Energy）增益指標‖Twz‖ee的形式，定義如下H∞的性能指標：

其中，T＞0，w(t)∈L2[0,∞)為系統有界干擾。

記為：

并且利用矩陣C=In-1n1n/n的性質，可得：

其中：

由引理2,矩陣的schur補性質可知：

所以，當Γ＜0時，以下不等式成立：

證畢。

3 仿真驗證

在不對稱均等時滯下，研究包含3個智能個體的群體系統在平面內編隊運動的情況。每個智能個體動態方程均為二階模型。個體的初始位置隨機分布在[0,60]×[0,60]的范圍內，初始速度向量均為0；通信連接拓撲結構如圖1所示，期望的編隊向量是hT，h=[0,-100,100,0,100,100,100,0,200,-100,0,0,-100,-200,0,-100,0,0];

圖1 編隊通訊拓撲Fig.1 Fleet communication topology

期望的初始編隊速度為v=[6,6]T，編隊加速度=[1,2]T；控制參數；仿真時間40 s，仿真步長0.1 s。根據通信拓撲結構圖1，可以得到編隊系統的鄰接矩陣、度矩陣和歸一化拉普拉斯矩陣為：

圖2 編隊隊形與運動軌跡Fig.2 The motion path of the group

給定系統時滯為0.36將個體的控制輸入約束限定為umax=50，繼續在系統中引入隨機分布在區間[0,10]內的噪聲，使用MATLAB的LMI工具箱求解線性矩陣不等式，存在可行解。則同時存在輸入約束、時滯和噪聲的情況下，仿真結果如圖3所示。

圖3 編隊位置誤差變化情況Fig.3 The formation error of the fleet

通過圖2可以看出期望的編隊隊形基本可以形成并保持。圖3表明個體間的期望相對距誤差并未收斂到零，而是收斂到恒定值，說明了基本隊形形成并保持；圖4表明描述了個體速度和期望編隊速度編隊的變化，個體速度達成一致，但是受到時滯和噪聲的影響，個體速度與編隊速度之間存在較小的偏差并未收斂到編隊速度。

圖4 編隊速度誤差變化情況Fig.4 The velocity error of the fleet

4 結論

文中結合實際情況，設計了輸入飽和約束情況下，存在不對稱時滯與外界干擾條件時的多智能體系統編隊控制律。通過理論推導得到了編隊系統達到魯棒一致的LMIs條件，仿真結果證明了結論的正確性。

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Robust consensus analysis for a class of multi-agent group formation w ith input saturation constraints

ZHOU Shao-lei，YAN Shi，LIU Wei，LI Rui-tao
（Department of Control Engineering，Naval Aeronautical and Astronautical University,Yantai 264001，China）

In this paper,we research the robust consensus problems for a second-order Multi-Agent group formation with input saturation constraints and asymmetric delays using the Lyapunov-Krasovskii factional method and the LMI method.The double-integrator dynamical model with input saturation constraints is established in the n-dimensional Euclidean space.Then,according to the superposition principle the distributed consensus control algorithm for the model is designed.Further, the nonlinear sector method is used to deal with the saturated elements,then the Lyapunov-Krasovskii factional is established, then the LMI method is used to analysis the robust consensus of the formation systems.After that the LMIs conditions when the formation system is robust consensus.In the last,the simulation proves the correctness of these idea.

input Saturation Constraints;delay;robust consensus;formation control

V21

A

1674－6236（2015）10-0125-05

2014-08-26 稿件編號：201408151

國家自然科學基金（61273058）

周紹磊(1963—)，男，山東泰安人，博士，教授。研究方向：智能導彈協同控制。