基于MATLAB的Sigma-Delta ADC中數字濾波器設計

董 陽，彭曉宏，吳艷偉

（北京工業大學 北京 100124）

基于MATLAB的Sigma-Delta ADC中數字濾波器設計

董 陽，彭曉宏，吳艷偉

（北京工業大學 北京 100124）

為了將Sigma-Delta ADC中的SDM（Sigma-Delta Modulator）的輸出碼流降采樣以達到Nyquist采樣頻率，基于實際的AUDIO CODEC項目，本文對兩種數字濾波器（FIR（Finite Impulse Response）和IIR（Infinite Impulse Response））的MATLAB設計進行了描述和比較。其所需處理的SDM輸出碼流的過采樣頻率為11.2896MHz，數字濾波器完成256倍的降采樣最終達到采樣頻率為44.1MHz，在音頻范圍內其最終仿真結果均達到SNDR在14bits以上。

Sigma-Delta ADC；降采樣；FIR；IIR

Sigma-Delta ADC在高精度ADC設計中廣泛得到應用，其基本原理是通過SDM的過采樣將量化噪聲推向高頻，并通過數字濾波器完成濾波和降采樣，最終得到精度較高的信號。數字濾波器是Sigma-Delta ADC中至關重要的組成部分，幾乎占據整個IP的絕大部分，所以對數字濾波器的研究顯得尤為重要。

兩種數字濾波器（IIR和FIR）各有其優缺點，在Sigma-Delta ADC的設計中，由于非遞歸FIR濾波器系統的絕對穩定性和線性相位，其在實際電路設計中廣泛得到使用。但是其缺點是硬件消耗過大，為了解決這個問題，許多學者通過算法分析提出來一些切實可行的方案。

例如：一種方法是Kaiser和 Hamming[1]提出來的，利用相互連接等同子濾波器并通過合理的加法乘法運算得到的FIR濾波器結構就能節省硬件消耗并且在文獻[2]中得到擴展沿用；另一種方法是利用級聯互聯等同子濾波器實現FIR濾波器結構，文獻[3]中有詳細分析。相比FIR濾波器，在等同的頻率響應系統中IIR濾波器通常會帶來相對較小的硬件消耗，以至于占用較小的芯片面積，這在特定的應用中是可以考慮的。可見，根據實際應用需求，對于兩種數字濾波器的折中選擇是尤為重要的。

1 FIR濾波器和IIR濾波器概述

關于FIR濾波器，應用頻率轉換特性，將整個復合濾波器分解成幾個相同子模塊。其傳遞函數H（z）表示為：

其中，線性相位FIR濾波器的階數為2M+1。子濾波器HM（z）由頻率轉換特性決定的，系數a（n）是有原型濾波器決定的。如文獻[4]描述，通過控制a（n）和子濾波器的系數可以改變這個結構的頻率響應特性。

然而，由于IIR濾波器具有較少的計算要求和較少的硬件消耗的優勢，在對相位要求沒那么嚴格的應用當中，例如：Sigma-Delta ADC[5]音頻信號處理。采用IIR濾波結構完成SDM輸出碼字的降采樣功能非常具有實際價值。其IIR濾波器的傳遞函數H（z）的表示為：

其中，ai和bi是IIR濾波器的系數。通過合理的設計ai和bi的值實現所要求IIR濾波器。

由于傳統的數字濾波器設計是非常復雜的，尤其是涉及到高階濾波器結構。故為了高效可行的完成對數字濾波器的設計，本文利用FDATOOL完成對IIR濾波器架構的設計，而FIR數字濾波器的設計是通過Simulink模型搭建和Toolbox工具箱來完成的。

2 IIR濾波器結構

基于FIR濾波器本身所具備的穩定性優勢，其完成256倍降采樣的整體框架是由CIC，HBF1，HBF2三級級聯組成，其中CIC完成64降采樣，兩級HBF分別完成2倍降采樣，以最終達到Nyquist采樣頻率。系統頻率響應的每一級輸出的數字碼流的采樣頻率分別為：176.4 kHz，88.2 kHz，44.1 kHz。如果采用一級直接完成256倍降采樣，對濾波器要求極高而引起極大的硬件消耗。

CIC模型結構[6]如圖1所示，z-1為單位延遲單元，convert模塊（本文其他數字濾波器結構均有此模塊，但未在圖中標出）用于限定字長。由于CIC的階數至少比SDM的多1，所以這里CIC為3階。其傳遞函數表達式為：

HBF1和HBF2采用的是Saramaki提出的結構模型，分別如圖2和圖4所示，其中F2為HBF的子濾波器，圖3為HBF1的內插子濾波器，圖5為HBF2的內插子濾波器。相應的系數（理想仿真值和CSD（Canonical Signed-Digit）值）如表1和表2所示，這些系數是通過Toolbox工具箱中的designHBF函數得到的。圖中的In1和In2是相同的輸入信號，只是相位相差π。

圖1 CIC模型結構Fig.1 Structure diagram of CIC

圖2 HBF1的結構模型Fig.2 Structure diagram of HBF1

圖3 HBF 1的子濾波器Fig.3 Subfilter of HBF1

3 IIR濾波器結構

IIR濾波器屬于遞歸系統，其結構簡單易于實現，占用的芯片面積小，但是相位隨頻率非線性變化，使得信號在時域會發生失真，這對于相位要求不是特別嚴格的場合有很重要的意義。由于FIR濾波器自身的缺陷，本文同樣設計了IIR濾波器，其整體結構相對于FIR濾波器的區別是:把兩級HBF用一個二階IIR濾波器代替，如圖6所示。這里的IIR濾波器是根據切比雪夫原理通過FDAtool來實現的，FDATool設計數字濾波器的工具箱包含了信號處理中所有的濾波器設計方法，這里，只需設定既定的參數即可得到所需要的IIR數字濾波器。由于IIR濾波器本身的相位非線性，所以其不能設計成為高階系統（階數越高線性度越差），本設計完成的是2階系統。關于系統穩定性，因為CIC為FIR濾波器（穩定），傳遞函數為X（z），chebyshev法實現的IIR濾波器（穩定），傳遞函數為Y（z），當把兩個傳遞函數相乘時，X（z）*Y（z），仍為IIR濾波器，其分母為Y（z）的分母，令其為零得到同Y（z）一樣的極點分布，故IIR數字濾波器部分依舊穩定。最終模型同FIR濾波器一樣，IIR濾波器的系數同樣也要CSD化。

圖4 HBF2的結構模型Fig.4 Structure diagram of HBF2

圖5 HBF2的子濾波器Fig.5 Subfilter of HBF2

表1 HBF1的系數Tab.1 Coefficients of HBF1

表2 HBF2的系數Tab.2 Coefficients of HBF2

圖6 IIR整體結構框圖Fig.6 Overall framework of IIR

4 仿真結果

數字濾波器主要是用來完成帶外噪聲的濾除和降采樣功能，首先看FIR濾波器，CIC結構模型為3階，完成64倍的降采樣同時粗略濾除了帶外噪聲。兩級HBF進一步完成濾波并降采樣到Nyquist采樣頻率，其中HBF1為151階，通帶紋波0.015 dB，阻帶衰減為-61.9 dB；HBF2為31階，通帶紋波0.000 8 dB，阻帶衰減-81.1 dB，這個結果可以通過頻域沖擊響應分析得到。FIR濾波器系統最終輸出碼流的SNDR為92.8 dB，ENOB為15.12 bits，如圖7所示。本設計中，FIR濾波器和IIR濾波器主要的區別在于CIC模型后面的部分，IIR濾波器是切比雪夫模型結構而FIR濾波器為兩級HBF濾波器。低階IIR濾波器切比雪夫模型的設計對相位的要求并沒有那么嚴格，故在時域內并不會出現過于明顯的失真，出于較低硬件消耗的考慮，這種結構在音頻信號處理中依舊是可以得到應用的，其仿真結果如 8所示，SNDR為 86.8 dB，ENOB為14.13 bits，兩種結構均達到預先要求的14 bits精度。

圖7 FIR仿真結果Fig.7 Simulation result of FIR

圖8 IIR仿真結果Fig.8 Simulation result of IIR

5 結 論

本文介紹的是AUDIO CODEC項目中Sigma-Delta ADC數字濾波器的設計，其中FIR濾波器的結構模型和系數CSD化為項目的實際要求所定，其結構用Verilog硬件描述語言數字實現，完成了與MATLAB模型的精確數據比對，并且成功流片。IIR濾波器的設計是為了節省硬件消耗所作出的探索，其MATLAB實現符合本項目所要求的14 bits精度。兩種數字濾波器之間的折中選擇是本文所要重點闡述的內容，如果芯片面積寬裕，采用線性相位的FIR濾波器來完成數字濾波和降采樣是首選方案，因為從仿真圖上可以看出，FIR濾波器相對IIR濾波器的最終仿真結果有效位數要多出近1bit。但是實際要求若對面積要求苛刻，在對相位要求沒那么高的系統當中，例如本設計要求的14 bits Sigma-Delta ADC設計，IIR數字濾波器是非常具有實際價值的。

[1]Kaiser J F，Hamming R W.Sharpening the response of asymmetric nonrecursive filter by multiple use of the same filter[J].IEEE Trans.Acoust.，Speech，Signal Processing，1997:415-422.

[2]Hartnett R J，Boudreaux-Bartels G F.Improved filtersharpening[J].IEEE Trans.Signal Processing，1995，43（12）: 2805-2810.

[3]Oppenheim A V，Mecklenbrluker W F，Mersereau R M.Variable cutoff linear phase digital filters[J].IEEE Trans.CircuitsSyst.，1976:199-203.

[4]Saramaki T.Design of FIR filters as a tapped cascadedinterconnection of identical subfilters[J].IEEE Trans.Circuits Syst.，1987:1011-1029.

[5]Daneshgaran F，Laddomada M.A novel class of decimation filtersforΣ△A/D converters[J].W ireless Communications and MobileComputing，2002:867-882.

[6]HOGENAUER E B.An economical class of digital filters fordecimation and interpolation[J].IEEE Trans.Acoust.Speech SignalProcess.，1981:155-162.

Design of digitalfilter for Sigma-Delta ADC based on MATLAB

DONG Yang，PENG Xiao-hong，WU Yan-wei
（Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

In order to down-sample the output codes of SDM（Sigma-Delta Modulator）to Nyquist frequency within Sigma-Delta ADC.In this paper，two types of digital filters have been shown and the comparison of the FIR（Finite Impulse Response）and IIR （InfiniteImpulse Response）digital filter are presented based on MATLAB in the actual program AUDIO CODEC，the input signal need to be coped is 11.2896 MHz digital codes and 256 times down-sampling will be realized by digital filters to achieve 44.1MHz at the final output，both of the simulation results achieved SNDR above 14bits in audio frequency range.

Sigma-Delta ADC；down-sample；FIR；IIR

TN302；TN432

A

1674－6236（2015）10-0175-04

2014-08-30 稿件編號：201408114

國家自然科學基金(61204040,60976028)；北京市自然科學基金(4123092)；教育部博士點基金(20121103120018)

董 陽（1989—），男，河北廊坊人，碩士研究生。研究方向：模擬集成電路設計。