熱帶風壓場平衡特征及其對GRAPES系統中同化預報的影響研究II：動力與統計混合平衡約束方案的應用

王瑞春 龔建東 張林 陸慧娟

1 南京信息工程大學大氣科學學院，南京210044

2 中國氣象局數值預報中心，北京100081

1 引言

研究I的結果表明，GRAPES（global/regional assimilation and prediction system）全球變分資料同化系統（以下簡稱GRAPES-VAR）采用的風、壓場平衡約束——線性平衡方程（Linear Balance Equation，以下簡稱 LBE）在熱帶地區并不適用，會造成虛假平衡（王瑞春等, 2015）。LBE主要表達了羅斯貝波模態下的風、壓場配置，但該模態在熱帶區域的短期預報誤差中并不占主導，補充考慮其他赤道波動的影響就需要削弱LBE對熱帶風、壓場的約束程度，使得兩者的分析變得更加獨立。作為研究的第II部分，本文致力于在GRAPES-VAR中引入更加合理的平衡約束方案，對熱帶虛假平衡問題做針對性修正，以提高該區域的風場分析效果。

熱帶地區缺少類似中、高緯準地轉這樣的主導機制（Holton, 1992），基于自身動力學特征構造平衡約束的研究進展十分緩慢。目前，這方面研究的一個主要思路是采用相互正交的赤道波動作為特征分量構造預報（背景）誤差協方差矩陣（B矩陣）（Daley, 1993; ?agar et al., 2004; K?rnich and K?llén,2008），也即與研究I中構造風、壓場協相關的方案類似。然而，由于在波動權重的確定、誤差垂直結構的設定以及如何與中、高緯銜接等問題上仍不十分清晰，這些研究僅局限于在正壓淺水模型中做一些理想試驗，距離業務應用有很大距離。另一個努力方向是采用比LBE更加復雜的平衡方程，例如非線性平衡方程。由于考慮了流場曲率的作用，非線性平衡方程在處理強旋轉系統（例如臺風）時要更加精確（Fisher, 2003; 莊照榮等, 2006; 萬齊林和薛紀善, 2007），但由于其仍是基于中、高緯大氣運動的尺度特征簡化得到，因而在熱帶也是不適用的（Daley, 1991; Barker et al., 2004）。

在業務同化系統中，為減小熱帶風、壓場的平衡約束，一個可行方法是采用統計方案。該方案采用線性回歸直接統計不同變量間氣候態的平衡約束，其引入的最初目標是解決Lorenz垂直離散方案下求解溫度的欠定問題（Parrish et al., 1997）。Derber and Bouttier（1999）將該方法應用于歐洲中期數值預報中心（ECMWF）變分同化系統時發現，風、壓場分析在中、高緯與LBE相近，而熱帶地區兩者分析接近獨立。由于構造和計算簡單，統計方案在業務和研究中得以廣泛應用（Berre, 2000; Wu et al.,2002; Huang et al., 2009; Kleist et al., 2009a）。王瑞春等（2012, 2014）在將該方案應用于GRAPES-VAR的研究中也發現，統計得到的平衡約束在熱帶地區要遠小于LBE，可以幫助減小虛假平衡問題。

然而，Kleist et al.（2009b）基于NCEP（National Centers for Environmental Prediction）變分同化系統的研究指出，統計得到的平衡約束在中、高緯并不如LBE穩健。此外，統計方案只能考慮線性約束，無法進一步向非線性擴展。因此，英國氣象局和ECMWF在其變分同化系統中將平衡方程和統計方案結合到一起，構造了動力與統計混合平衡約束方案（以下簡稱“混合方案”）（Lorenc et al., 2000；Fisher，2003）。混合方案先逐層求解線性或非線性平衡方程，并在此基礎上引入垂直方向的回歸統計。平衡方程的使用保證了約束在中、高緯的穩健性，并且還可以向非線性平衡方程擴展；而統計模塊的引入可以減小平衡方程不適用地區的虛假平衡（Barker et al., 2004）。鑒于混合方案具有取長補短的優勢，并有進一步升級的潛力，本文針對GRAPES-VAR的改進也選用該方案。

雖然統計方案與混合方案已有不少業務應用先例，但之前研究主要集中于方案的具體構造以及業務性能評估上，而對方案減小熱帶虛假平衡問題的內在機制缺乏詳細討論。變分同化中，平衡約束主要是在針對B矩陣的物理變換，即獨立分析變量的構造中引入的（Bannister, 2008）。LBE應用于熱帶時，其虛假平衡問題對獨立分析變量以及B矩陣的構造究竟會產生什么樣的不利影響，引入統計模塊后能否避免，目前國內外研究中鮮有這方面的詳細分析。此外，雖然統計方案與混合方案得到的熱帶風、壓場約束遠小于LBE給定的值，但統計過程中并未細化考慮不同赤道波動的影響，那么其結果能否與基于赤道波動模態的理論分析相符，也值得詳細對比與分析。針對該問題，?agar et al.（2004）做過單個個例的對比，其結果表明ECMWF變分系統的混合方案在對流層高層與波動理論分析結果較為一致。為科學認識引入統計模塊對構造熱帶平衡約束的幫助，本文在引入混合方案后，將基于GRAPES-VAR對上述兩個問題做進一步詳細分析。

本文第2節給出混合方案的基本框架以及統計模塊實施的主要技術細節；第3節基于GRAPES短期預報誤差樣本，分析了混合方案對獨立分析變量以及B矩陣構造的影響；第4節則利用單點理想觀測試驗考察了混合方案給定的熱帶風、壓場平衡特征，并與研究I的理論分析結果作對比；第5節通過接近業務實際的同化循環與預報試驗評估了混合方案對GRAPES同化預報性能的影響；最后第6節給出結論和討論。

2 混合方案的引入

2.1 方案設計

GRAPES-VAR采用增量形式的目標函數，變量間的平衡約束在物理變換部分引入（莊世宇等，2005；薛紀善等，2008）。物理變換是針對B矩陣的預條件變換之一，通過抽取分析變量間的預報誤差協相關獲取一組誤差不相關的獨立分析變量（Bannister, 2008）。

目前，GRAPES-VAR的分析變量包括水平風場（u，v），質量場π（Exner函數，也稱無量綱氣壓）以及比濕q。由于緯向風u與徑向風v的預報誤差存在高度相關，利用赫姆霍茲速度分解定理將它們轉換為旋轉風和散度風，分別用流函數ψ和勢函數χ表示。此外，本文關于平衡約束的討論不涉及水汽，為簡化敘述將GRAPES-VAR的（動力學）分析變量記為x=[ψ,χ,π]T。為構造獨立分析變量，GRAPES-VAR采用旋轉風ψ的全量表征大氣運動中的平衡部分，將質量場π拆分為與ψ相平衡的πb以及非平衡的πu，并暫不考慮散度風和其它變量間的相關，也即：式中，平衡算子N表達了旋轉風與質量場之間的平衡約束，也即抽取了ψ與π間的預報誤差協相關。新的獨立分析變量可以表示為x=[ψ,χ,π]T，同

u u化框架中假設它們之間不再相關。上述物理變換方案與英國氣象局變分系統一致（Lorenc et al.,2000），與ECMWF變分系統相比則缺少了散度風與旋轉風、質量場之間的約束（Derber and Bouttier,1999），不過上述兩項均是小量，它們與本研究的關系將在討論部分給出。

在現有框架中，GRAPES-VAR采用線性平衡方程LBE求解算子N（下文將該方案稱作“LBE方案”）。目前，LBE方案在模式面（地形高度追隨坐標面）上直接求解LBE，表達式（具體推導參見薛紀善等，2012）為

式中，cp是摩爾定壓熱容，θB是整層平均的背景場位溫，f是科氏參數。為下文比較的方便，這里將LBE方案計算得到的π的平衡部分記為了πb1，相應的非平衡部分記為πu1。

研究I的理論分析表明，式（2）在熱帶地區并不適用，與實際情形相比其約束過強，因而會造成虛假平衡。為克服該問題，并保留LBE在中、高緯穩健的優點，本文引入動力與統計混合平衡約束方案。混合方案將N算子的求解分為兩步實施：第一步是在模式面上利用原有的動力學推導得到的平衡方程，目前就是式（2）給出的 LBE，逐層計算一個初步的平衡氣壓πb1；第二步是利用線性回歸統計得到的系數R（統計方法在下文給出）對πb1的垂直廓線作加權求和處理，得到最終的平衡氣壓πb2，其在第p層上的值為

式中，K為總的模式層數。從式（3）的表達可以看出，混合方案計算每一層上πb2時用到了所有層次上πb1的信息，但權重較大的主要為相鄰層次上的信息（見下文）。混合方案引入后，π的非平衡部分也會發生相應改變，被記為πu2。

式（3）與式（2）相結合，就構成了變分框架中混合方案的主要計算公式，其結構十分簡明。不過，混合方案順利實施的關鍵在于統計得到一個實用、穩健的系數R。

2.2 系數R的統計

統計R的值需要獲取一組短期預報誤差樣本，與研究I一樣仍采用NMC方法，也即采用模式預報到同一時刻，不同預報時效（48 h和24 h）的預報場的差值作為短期預報誤差的替代樣本（Parrish and Derber, 1992）。樣本獲取的具體設置與研究I相同，模式水平分辨率為1°×1°，垂直層次為36層。不過與研究I的理論分析工作不同，這里的系數R會在業務系統中被反復調用，需盡可能減小統計噪音的影響。為此，本文選取一年的NMC樣本，具體時間段為2009年12月至2010年11月。

NMC方法首先獲取的是模式預報變量u、v、π的短期預報誤差樣本，之后將u、v轉換為ψ，并進而采用式（2）計算得到πb1的誤差樣本。在剔除π和πb1樣本中的時間平均后，逐層、逐緯圈建立如下的多元線性回歸模型：

逐層統計是考慮了大氣垂直分層對平衡特征的影響，例如研究I中不同層次上赤道波動模態的比例有很大差異；逐緯圈統計是考慮科氏參數隨緯度變化對平衡約束的影響，這對于區分中、高緯和熱帶不同的大氣運動特征十分關鍵。

注意到，式（4）的多元回歸模型中，預報因子是K個層次上的πb1(k)。由于大氣具有三維連續性，臨近層次上πb1的值一般均比較接近，也即相鄰預報因子的相關系數很大。此時，統計求解會面臨所謂的多重共線性問題，統計結果嚴重依賴具體樣本，穩健性差（Wilks, 2006）。為改善統計結果，這里與王瑞春等（2014）關于純粹統計方案的研究一樣，采用Lorenc et al.（2000）使用的嶺回歸方法（Ridge Regression method）替代經典的多元線性回歸求解式（4）。關于該方法的詳細的討論可參考上述兩者的工作，這里不再展開。下面我們主要分析統計得到的系數R的基本特征。

圖1a給出了在第13層上（約為532 hPa）統計得到的回歸系數隨緯度變化的情況。從圖中可以看出，回歸系數在南北半球具有較好的對稱性。以北半球為例分析，系數R的一個主要特征是大值區主要集中在與 13層相毗鄰的幾個層次上，也即混合方案計算得到的πb2主要由相鄰層次上的πb1加權求和得到，其他層次統計得到的情形與之類似。另一個主要特征是，從中、高緯向熱帶地區推進時，R的值逐步減小。中、高緯地區R的數值較大，特別是在40°N北的地區；而從40°N逐漸向熱帶靠近的過程中，R的數值不斷減小，在赤道上已幾乎完全等于零。在該情形下，根據式（3），混合方案在熱帶計算得到的πb2將遠小于LBE方案中的πb1。

對流層大部分區域的統計結果均與圖1a相近，但到平流層低層之后，熱帶地區的R值出現較大變化。圖1b給出了第28層（約為71 hPa）的統計結果，其與圖1a的主要差異是赤道附近的R出現明顯的負值。根據研究I，熱帶地區70 hPa上，赤道羅斯貝波比例最小，Kelvin波比例大大增加，風、壓場平衡特征由 Kelvin波主導。LBE主要表達赤道羅斯貝模態下的風、壓場配置，與Kelvin波主導的情形相反，因而統計中系數R出現明顯負值。這種情形在平流層低層的其他層次上也有所表現，與研究I圖3b中赤道羅斯貝波比例大幅減小的層次相對應。

另外，對比圖1兩幅圖可以發現，在中、高緯區域，28層統計得到R值要小于 13層的相應值，北半球表現得更為明顯。說明即使在中、高緯區域，平流層LBE的適用性也要小于對流層中層。這一現象在多個業務中心關于B矩陣的統計分析中均有表現（Ingleby, 2001; Polavarapu et al., 2005），其具體原因仍有待進一步研究。

至此，我們已經給出了混合方案的基本公式和系數R的離線統計方案。根據R隨緯度變化的特征來看，熱帶地區 LBE方案求得的πb1經式（3）之后會被大幅減小。那么這對獨立變量以及B矩陣的構造會產生什么樣的影響，下一節將具體分析。

3 混合方案對B矩陣構造的影響

本文2.1節中已經指出，風、壓場的平衡約束是通過物理變換引入的，該變換將分析變量間的協相關關系（或稱平衡約束）以平衡算子的形式抽取出來，將它們轉換為獨立分析變量。理想的獨立分析變量的預報誤差間完全獨立，不存在交叉協相關，但這難以實現。在業務系統中，物理變換的目標是尋找一組預報誤差協相關盡可能小的分析變量，并忽略該組變量間剩余的相關，也即假設它們之間相互獨立（下文稱為“獨立性假設”）（Parrish and Derber, 1992; Derber and Bouttier, 1999; 朱宗申和胡銘, 2002）。這樣的假設顯然會帶來誤差，而如果物理變換抽取的平衡約束關系越合理、全面，其設計的獨立分析變量間的誤差協相關越小，那么假設帶來的誤差也就越小。

圖1 模式（a）13層（約為532 hPa）和（b）28層（約為71 hPa）上根據式（4）統計得到的系數R的結構（等值線間距0.02）Fig. 1 Structures of R in equation (4) at model levels (a) 13 (approx. 532 hPa) and (b) 28 (approx. 71 hPa), contour intervals are 0.02

圖2 模式13層的GRAPES短期預報誤差樣本中不同變量間的相關系數（r）（緯向平均值）Fig. 2 Zonally averaged correlation coefficients (r) between different variables of short-range forecast errors in GRAPES system at model level 13.ψandπrepresent original stream function and Exner pressure, respectively; πb1and πu1represent balanced and unbalanced Exner pressure in LBE (linear balance equation) scheme, respectively;πb2 andπu2represent balanced and unbalanced Exner pressure in hybrid scheme, respectively

基于獨立性假設，GRAPES-VAR中分析變量x=[ψ,χ,π]T對應的B矩陣可以用獨立分析變量xu=[ψ,χ,πu]T以及平衡算子N來表示：

式中，C( ·)表示各獨立分析變量的自協方差矩陣，NC(ψ)和C(ψ)NT表示旋轉風和質量場間的交叉協方差矩陣，而NC(ψ)NT表示由旋轉風和給定平衡約束導出的πb的自協方差矩陣（記為C(πb)），其與C(πu)累加后構成分析變量π的自協方差矩陣（記為C(π)）。而根據統計學知識，如果任意拆分π為πb與πu兩部分，那么C(π)應該由三部分組成：C(πb)、C(πu)以及πb與πu的交叉協方差C(πb,πu)（黃嘉佑，2010）。之所以略去C(πb,πu)，其依據就是獨立性假設忽略了ψ與πu間的相關，那么由ψ線性導出的πb與πu間也就相互獨立，C(πb,πu)自然為零。通過這里的分析可以看出獨立性假設對B矩陣構造十分重要，因而可以通過比較該假設成立的好壞分析不同方案的性能。

我們以對流層中層為例，圖2給出了短期預報誤差樣本中不同變量在北半球13層上的相關系數，均為緯圈平均值。其中，r(ψ,π) 給出的是分析變量ψ和π間的相關系數，可以看到其數值很大，需要采用物理變換將它們轉換為獨立分析變量。LBE方案獲得的r(ψ,πu1)與r(ψ,π)相比，中、高緯地區的相關被成功壓制，除極地以外的大部分地區已接近于零。這說明基于LBE的物理變換在中、高緯是成功的，獨立性假設能較好成立。然而，隨著緯度的減小，r(ψ,πu1)的絕對值逐漸增大，在熱帶地區已超過r(ψ,π) 相應值，也即獲取的獨立分析變量間的相關反而超過了分析變量間的相關。注意到，r(ψ,πu1)的值在赤道上再次接近零值，這并非說明LBE方案在赤道附近變好，而是由于r(ψ,π)的值在南北半球符號相反，赤道附近的值本身為零。為進一步說明問題，圖2b給出了r(πb1,πu1)的值，它在熱帶地區一直保持較大的負相關，赤道附近也是如此。上述情形說明，LBE方案中獨立性假設在熱帶地區不成立。

進 一 步 的，考察混合方案中r(ψ,πu2)與r(πb2,πu2)值。在中、高緯地區，上述值與LBE方案表現相當（北極附近的絕對值有所減小）；而在熱帶地區以及副熱帶地區，它們的絕對值與 LBE方案相比大幅減小，更加接近于零。其原因在于，在式（4）的多元回歸模型中，最小二乘理論要求預報變量π的方差要等于回歸估計值πb2的方差與殘差πu2的方差之和，這也意味著πb2與πu2間的交叉協方差必須為零（黃嘉佑，2010）。注意到，圖2b中r(πb2,πu2)的值并不完全等于零，這是由于本文計算中采用嶺回歸替代了經典回歸，方差最小原則有所放松。但總體而言，混合方案的確能更好地保證獨立性假設的成立，熱帶地區尤為如此。其他層次的情形與上述分析類似。

那么獨立性假設成立好壞對B矩陣量值的影響如何，我們通過對比兩個方案統計得到的預報誤差方差予以說明。由于兩個方案在中、高緯差異較小，這里主要關注熱帶地區。首先對比兩個方案統計得到的π平衡部分的預報誤差方差（圖3a），它們是根據同樣的ψ樣本經不同的平衡約束獲取。如圖，混合方案πb2的方差要明顯小于LBE方案πb1的值，這可與圖1中系數R的值在熱帶地區接近零的情形相互印證。注意到，πb1的方差在許多層次上已超過了π樣本本身的方差值（黑色空心圈），而如果將πb1與πu1的方差的方差相加，得到 LBE方案系統中實際使用的π的誤差方差（見式（5）），其值更要遠遠大于NMC樣本值。這種不合理情形出現的原因在于，πb1和πu1在熱帶具有過高的負相關（見圖2b），兩者的交叉協方差（負值）已大到不可忽略。而混合方案由于引入統計模塊，πb2和πu2幾乎不相關，因而兩者方差的和恰好等于NMC樣本中π的方差。進一步的，圖3b給出了π平衡部分方差占同化系統中實際使用的π總方差的比例，混合方案也要明顯小于LBE方案。

綜上，在熱帶地區，LBE方案由于存在虛假平衡問題，獨立性假設不成立；混合方案通過引入統計模塊保證了該假設的成立，系統中實際使用的π的總方差更真實反映了NMC樣本應有值，π平衡部分方差及其占總方差的比例均明顯減小。那么這些變化對同化系統中的信息傳遞會產生什么樣的影響，下一節將通過單點理想觀測試驗做進一步考察。

圖3 GRAPES熱帶預報誤差樣本中（a）π（空心圈）和π平衡部分（黑色線）的預報誤差方差（單位：10-7），以及π平衡和非平衡部分的方差和（灰色線）（單位：10-7），(b)π平衡部分方差占同化系統中π總方差的比例。上述結果均為熱帶地區（20°S～20°N）的平均值，其中實線是LBE方案的結果，虛線是混合方案的結果Fig. 3 (a) Averaged forecast error variances of different variables in GRAPES system in the tropics (20°S-20°N) (units: 10-7) and (b) ratio of variances(variance of balanced π/ variance of totalπused in the assimilation system)

4 單點理想觀測試驗

單點理想觀測試驗是資料同化框架設計中考察、評估B矩陣結構的簡單、有效方案。熱帶地區觀測以質量場觀測為主，風場直接觀測很少，這里主要考察給定理想氣壓觀測（均低于背景場1 hPa），LBE方案和混合方案強迫出的u風分析增量（分析場減去背景場）的差異，并將這里的結果與研究 I的理論分析作對比。

圖4中理想觀測均位于模式13層的180°（經度），而緯度分別設定為45.5°N、20.5°N和0.5°N。可以看到，在中、高緯45.5°N處，由于LBE本身適用性很好，混合方案加入統計模塊后對原有的平衡約束影響很小，兩個方案強迫出的u風幾乎完全一致。而到了20.5°N，由于LBE適用性已不如中、高緯，混合方案對原有LBE做了一定程度削弱，強迫出的u風比LBE方案已有一定程度的減小。再進一步到赤道上，混合方案強迫出的u風已遠遠小于LBE方案，該區域上的風、壓場分析接近獨立。這樣的結果與第2.2節和第3節對混合方案性能的分析是相對應的，熱帶地區原有LBE給定的虛假平衡約束被大幅削弱。兩個方案中，由氣壓增量導出的v風間的差異與u風情形相一致。

圖4 理想氣壓觀測（低于背景場1 hPa）位于模式13層的180°（經度）時強迫出的同一層上的u風分析增量（單位：m s-1）：（a）、（c）、（e）LBE方案；（b）、（d）、（f）混合方案。緯度：（a、b）45.5°N；（c、d）20.5°N；（e、f）0.5°NFig. 4 Analysis increments (units: m s-1) of zonal wind at model level 13 generated by a simulated pressure observation that is 1 hPa lower than the background at the same level at 180°, and at (a, b) 45.5°N, (c, d) 20.5°N, (e, f) 0.5°N. (a), (c), (e) The results of the LBE scheme; (b), (d), (f) the results of the hybrid scheme

圖4中不同緯度上u風分析增量的差異與Daley（1996）采用奇異向量方案削弱LBE虛假平衡的理論研究結果相一致（見其文中Fig. 7）。進一步的，圖4中單點位于赤道的情形與研究I在該區域的理論分析結果也具有較好的對應關系。LBE方案圖4e的結果與單純考慮赤道羅斯貝波情景下風、壓場協相關特征（研究I的圖4a）相近，氣壓（或位勢高度h）與u風間存在顯著負相關，且緯圈方向的相關尺度很大。而混合方案圖4f的結果雖未如研究I考慮所有赤道波動模態后的情形那樣，h與u風的相關轉為很弱的正值（研究I圖的5b），但協相關相對于單純羅斯貝波情形大幅減小至接近于零的特征是相符的。

與圖4e、4f一樣，圖5中單點觀測也位于0.5°N，但其垂直層次移到了第 28層上，也即由對流層中層移至了平流層低層。在圖5中，混合方案強迫出的u風也是遠小于LBE方案。然而，與圖4f不同的是，圖5b中強迫出了負的u風增量。上述情形說明，在赤道平流層低層，混合方案中氣壓與u風的協相關為正。這與圖1b中該區域負的R值相對應，也與研究I中70 hPa上h與u正的協相關特征相一致（見研究I的圖6）。不過，與研究I的結果相比，這里給出的正相關偏小，結合圖4f未能表現弱的正相關，說明不區分具體波動的混合方案可能只部分反映了短期預報誤差樣本中 Kelvin波的特征。

綜上，混合方案與LBE方案相比，質量觀測信息向風場傳遞的基本特征在中、高緯變化很小，但熱帶地區的傳遞范圍和量值均大幅度減小，風、壓場分析接近獨立。上述情形與研究I的理論分析結果具有較好的對應關系，其對GRAPES的同化預報的影響將在下一節中給出。

5 同化循環與預報試驗

5.1 同化結果檢驗

為綜合考察混合方案性能，特別是其對熱帶風場同化預報的影響，本文設計了接近實際業務的同化循環與預報試驗。同化循環時段選取在2013年5月1日06時至31日18時，同化分析場經數字濾波后提供給模式作為預報初始場，模式的6 h預報場又提供給同化系統作為下一時次分析的背景場，如此往復循環。預報模式以及同化內、外循環分辨率均為 1°×1°，垂直層次為 36層。同化中使用的觀測資料包括了目前 GRAPES-VAR能業務使用的大部分常規和非常規觀測資料，具體情形見表1。

圖5 同圖4e、4f，但垂直層次移到了模式28層Fig. 5 As Figs. 4e and 4f, but for the results at model level 28

表1 同化循環試驗中使用的觀測資料種類Table 1 Types of observations assimilated in the analysis cycle experiments

首先考察本文期望改善的熱帶地區的風場分析效果。圖6給出了試驗時段內，熱帶地區（20°S～20°N）u風分析的均方根誤差和偏差的垂直廓線，均相對FNL（final）再分析資料檢驗得到。從圖中可以看出，LBE方案的u風分析在平流層低層（50 hPa～70 hPa）出現了異常大的分析誤差和偏差，這與研究I給出的GRAPES短期誤差樣本中赤道羅斯貝波占比最小的區域剛好保持一致，LBE在該區域最不適用。而混合方案通過大幅削弱LBE在該區域的虛假平衡，顯著改進了u風分析效果。與之對應，混合方案對該區域v風分析也有明顯改進。

LBE方案之所以在熱帶平流層低層出現異常大的風場分析誤差，一方面當然與其自身在該區域的虛假平衡有關。但另一個重要原因也必須指出，也即 GRAPES系統自身的氣壓預報在該區域存有一定的正偏差。圖7給出了第28層（約為71 hPa）上經時間和緯圈平均的氣壓分析增量（Δp）和u風分析增量（Δu）。可以看到，該區域Δp為一致的負值，根據圖5a給出的LBE方案的信息傳遞機制，會在赤道附近強迫出很強的正的Δu，使得u風分析的正偏差不斷增加。而混合方案中Δp雖然仍為負值，但根據圖5b顯示的信息傳遞機制，其強迫出的Δu要小得多，且方向還發生了改變，變為負的增量，這有助于控制該區域風場的正偏差。

熱帶地區平流低層的模式偏差是 GRAPES發展過程中的現實問題，而同化系統中不合理的平衡約束LBE使得該問題在同化循環中被不斷放大。混合方案通過給定合理的平衡約束減小了模式偏差的影響，使得整個GRAPES同化預報系統變得更為穩健、可靠。混合方案在顯著改善熱帶地區風場分析效果的同時，也部分提高了該區域內高度場和溫度場的分析效果，這可以從圖8中看出。

圖6 2013年5月，熱帶地區（20°S～20°N）u風分析相對于FNL再分析資料的（a）均方根誤差（RMSE）與（b）偏差（Bias）Fig. 6 Analysis verification scores of u wind in the tropics (20°S-20°N) for the period of May 2013: (a) RMSE; (b) bias. Analysis results for each experiment were verified against FNL (final) data

圖7 2013年5月，模式28層上的（a）氣壓分析增量（Δp）和（b）u風分析增量（Δu）的緯向、時間平均值Fig. 7 Zonal and time averages of (a) pressure and (b) u wind analysis increments at model level 28 for the period of May 2013

圖8 2013年5月，熱帶地區（20°S～20°N）位勢高度分析（a）和溫度分析（b）相對于FNL再分析資料的均方根誤差（RMSE）Fig. 8 Analysis (a) geopotential height and (b) temperature RMSE in the tropics (20°S-20°N) for the period of May 2013. Analysis resultsfor each experiment were verified against FNL (final) data

與LBE方案相比，混合方案對赤道外地區的同化分析呈中性偏正的效果，這可從下文針對預報效果的檢驗中一并看出。另外，值得補充說明的是，混合方案中的系數R是事先離線統計好的，同化系統直接使用，增加統計模塊對同化分析的耗時影響很小，在多核并行條件下幾乎可以忽略。

5.1 預報結果檢驗

利用上述同化循環得到的分析場，在每天 12時（UTC）做 72小時預報，進一步檢驗混合方案對GRAPES預報性能的影響。這里預報效果的檢驗也是相對于FNL再分析資料進行的，具體指標采用中國氣象局數值預報中心的標準化預報檢驗工具GETv1.01計算得到。

首先檢驗赤道外地區（20°N～90°N，20°S～90°S）的情形，表2給出了兩個方案的72 h預報場在對流層中層（500 hPa）和高層（100 hPa）常用檢驗指標上的對比。為方便比較，表2給出的是混合方案的相對提高率，對于距平相關（Anomaly Correlation, AC）而言，計算方法是混合方案的評分減去LBE方案的評分，結果除以LBE方案的評分；而對于均方根誤差（RMSE）而言，計算方法是LBE方案的值減去混合方案的值，結果除以LBE方案的值。根據上述計算方式，表中正值表示引入混合方案后有正效果，負值表示有負效果。從表2中可以看出，混合方案在赤道外區域與 LBE方案差異很小，表現為略微偏正的效果，這與前文討論的LBE本身在中、高緯適用性較好，引入統計模塊后對其修正很小的結論相一致。

表2 赤道外地區（20°N～90°N，20°S～90°S）72 h 預報場中，混合方案與LBE方案相比，距平相關（AC）的相對提高率以及RMSE的相對減小率Table 2 Rate of AC (anomaly correlation) scores increase and RMSE decrease in hybrid scheme compared to LBE scheme for 72-h forecasts in the extratropics (20°N-90°N，20°S-90°S)

對于熱帶地區風場而言，經72 h預報之后，混合方案較 LBE方案仍有明顯改進，這可以從表3看出。與圖6針對分析結果的檢驗相一致，混合方案對高層風場的改進大于低層，平流層低層的改進尤為明顯。在出現分析異常的50 hPa上，混合方案中u風72 h預報場的均方根誤差要比LBE方案小一半以上，v風相應值也大幅減小，LBE方案中虛假平衡造成的同化預報異常被基本消除。

表3 赤道地區（20°S～20°N）72 h預報場中，與LBE方案相比，混合方案風場RMSE的相對減小率Table 3 Rate of RMSE decrease in hybrid scheme compared to LBE scheme for 72-h forecasts in the tropics(20°S-20°N)

6 結論與討論

針對線性平衡方程LBE作為風、壓場平衡約束在熱帶應用時出現的虛假平衡問題，本文在GRAPES-VAR中引入了動力與統計混合平衡約束方案，以改善熱帶地區風場的分析效果。混合方案分為兩步來實施：第一步利用LBE根據流函數ψ逐層計算初步的平衡氣壓πb1；第二步利用逐層、逐緯圈統計得到的系數R對πb1的垂直廓線做加權處理，以得到最終平衡氣壓πb2。統計樣本采用NMC方法獲得，樣本長度達到一年，回歸方案采用嶺回歸技術。通過樣本統計與數值試驗，主要得到以下結論：

（1）根據統計得到的系數R，混合方案求得的πb2主要由與其相鄰幾層的πb1加權求和得到，相距較遠層次上的權重很小。而從R在不同緯度上的變化來看，熱帶地區的值與中、高緯相比大幅度減小，在對流層中層其數值接近于零，而在平流層低層轉為負值。上述情形表明，在熱帶地區，混合方案第一步采用 LBE引入的虛假平衡會在第二步的統計模塊被大大削弱。

（2）變分同化中B矩陣構造的一個基本假設是：獨立分析變量間的預報誤差不相關。LBE方案在中、高緯能較好的保證假設的成立，但其在熱帶獲得的獨立分析變量高度相關，假設完全不成立。混合方案通過引入統計模塊，減小了LBE在熱帶使用時的虛假平衡，保證了該區域內假設的成立。這樣的差異使得，混合方案在熱帶地區實際使用的π的總方差更真實的反映了NMC樣本應有情形，π平衡部分方差及其占總方差的比例都要明顯減小。

（3）單點理想觀測試驗的結果表明，與 LBE方案相比，混合方案對中、高緯風、壓場協相關修正很小，但大幅減小了熱帶地區風、壓場的約束程度，兩者分析接近獨立。這一結果與研究I中基于赤道波動模態的理論分析結果相匹配。尤其是在平流層低層，新方案能部分反映該區域風、壓場協相關由Kelvin波主導的特征。

（4）2013年5月的同化循環與72 h預報試驗結果表明，混合方案在赤道外地區呈中性偏正效果；而在熱帶地區，混合方案通過減小虛假平衡，避免了質量觀測信息向風場分析的不合理傳播，提高了同化系統的穩健程度，進而顯著改善了該區域內風場的同化預報效果，平流層低層的效果最為顯著，LBE方案在該區域的同化預報異常被基本消除。

在本文撰寫期間，混合方案由于整體性能較優，已被GRAPES平行試驗系統選為平衡約束的首選方案。不過本文研究主要針對現有N算子進行了優化，未涉及散度風與旋轉風以及散度風和質量場間的平衡約束算子（分別記為M和L）。關于M算子對GRAPES-VAR的影響，我們已做初步研究，它的作用主要集中于中、高緯邊界層上，對熱帶地區的分析影響很小（王瑞春等，2012）。而對于L算子，Derber and Bouttier（1999）研究表明它對熱帶地區同化分析具有一定影響，但Chen et al.（2013）的工作表明，引入L算子對WRF在熱帶地區的預報效果影響很小。后續工作中將研究和評估L算子對GRAPES-VAR同化預報的影響。

最后，從本研究工作中可以看出，熱帶地區風、壓場間的聯系要遠小于中、高緯。這也意味著，熱帶地區的風場分析難以從大量衛星質量觀測中獲取有用信息。為根本改善該區域風場分析就需要進一步挖掘云導風的潛力，并高度關注有關國際組織的星載多普勒雷達直接測風計劃（Riishojgaard et al., 2012）。

致謝 感謝中國氣象局數值預報中心各位專家老師給予本研究的指導和幫助，感謝兩位匿名審稿專家和編輯老師對文章提出的寶貴意見。

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