GRAPES_MESO中時間步長和空間分辨率對于預報效果的影響1

劉德強 馮杰 李建平 王金成

1 中國科學院大氣物理研究所大氣科學和地球流體力學數值模擬國家重點實驗室，北京100029

2 中國科學院大學，北京100049

3 北京師范大學全球變化與地球系統科學研究院，北京100875

4 全球變化研究協同創新中心，北京100875

5 中國氣象局數值預報中心，北京100081

6 福建省氣象臺，福州350001

1 引言

數值天氣預報模式方程組是一組非線性偏微分方程，一般不能求得解析解，多采用數值方法求其近似解。數值計算過程中會不可避免地引入截斷誤差和舍入誤差（von Neumann，1960）。前者的產生是由于離散化時使用了差分格式（Henrici，1962,1963; Gear, 1971），后者則是來源于計算機的有限精度這一固有屬性（Henrici, 1962, 1963; Wilkinson,1971）。一般情況下，初始時刻舍入誤差很小，但模型的長時間積分勢必會造成舍入誤差的累積，從而有可能改變真解的根本性質（Quinn, 1983; Skeel,1992）。20世紀末，Li et al. (2000，2001) 研究了舍入誤差對非線性常微分方程解的影響，驗證了最長積分時間和最優時間步長的存在，并且提出了“計算不確定性原理”的概念。王鵬飛和黃剛（2006）研究了數值模式的預報時效與計算精度和時間步長的依賴關系。穆穆等（2002）指出模式的可預報性研究必須考慮機器精度的影響。

對于復雜的數值天氣預報模式，在利用差分方案對其進行離散化的時候，時間步長與空間分辨率的選取均會影響截斷誤差和舍入誤差等，從而對預報技巧產生影響。李勇和王雨（2007）比較了不同空間分辨率對 GRAPES_MESO預報效果的影響；劉寶超等人（2013）在研究數值模式對于長江口海域M2分潮的模擬中發現，空間分辨率的調整對于潮汐的模擬技巧具有重要影響。從模式運行穩定度的角度來看，柯朗條件是模式數值求解收斂的必要條件，它要求時間步長和空間分辨率必須相協調，才能保證積分的穩定性。因此，研究不同時間步長與空間分辨率對模式預報效果的影響及二者間的協調關系具有重要意義。

針對時間步長的影響，前人提出計算不確定性原理，指出非線性常微分方程組求解中存在最優時間步長使得預報效果最好，但是這一結論在非線性偏微分方程組中是否仍然適用則需要進一步驗證。中國氣象局的區域中尺度模式GRAPES_MESO自2004年3月發布以來，經過不斷地系統完善、效能評估和優化改進（李勇和王雨，2007；陳德輝等，2008；徐國強等，2008），如今已在業務上運行，并且得到廣泛的應用。本文的主要工作就是利用GRAPES_MESO業務模式研究時間步長和空間分辨率對于模式預報效果的影響。利用這一業務模式進行研究可以對其有效積分和預報提供指導和改進，具有實際意義。

2 計算不確定性原理

計算不確定性原理由Li et al. (2000, 2001) 提出，它反映了微分方程數值計算中由數值方法的不準確導致的不確定性與由機器精度有限帶來的不確定性之間的關系。其理論和數值研究結果表明(Li et al., 2000, 2001; 李建平, 2000)，截斷誤差和舍入誤差隨步長的變化是反向的，數學表達式為

其中Δe和Δr分別代表截斷誤差和舍入誤差，C和η在機器精度有限時為正數。從公式可以看出，截斷誤差和舍入誤差可以被看作是一對“共軛”量，其中一個量不確定性的減小，必然導致其共軛量不確定性的增大，在實踐中，由于機器精度的限制，舍入誤差不可避免的存在，因此Δe和Δr不可能同時趨近于零，所以總誤差不可能任意的小 (Li et al.,2000, 2001; 李建平, 2000)。這兩種不確定性之間存在的固有關系，使得數值解的有效區間長度受到限制，所以必然存在最大有效計算時間T，在區間 [0，T] 內數值解可以較好的表現出來，而最大有效計算時間對應的時間步長則為最優時間步長，此時預報總誤差最小 (Li et al., 2000, 2001; 李建平, 2000)。

計算不確定性原理從理論上給出了達到模式最好預報效果的途徑。它強調了在現有初始誤差和模式誤差的水平下，空間分辨率和時間步長的選取對于預報效果的重要性。最合適的空間分辨率及與之匹配的時間步長將最大程度地提高模式的預報技巧，尤其是對于業務模式具有更重要的意義。

3 模式簡介、試驗方案設計和評估方法

本文選用的模式版本為GRAPES_MESO 3.0。關于 GRAPES_MESO詳細的介紹可參考薛紀善和陳德輝（2008）的專著。

由于2011年8月期間發生的超強臺風“梅花”具有強度大、影響范圍廣、路徑難預測等特點，給人們的生命、經濟和財產安全造成了重大損失，所以本文選取了該時段內的 16個積分穩定的數值回報試驗個例進行評估，每個個例的起始時刻均為12時（北京時，下同），積分132小時（5天半），每12小時輸出一次。為了使結果更有說服力，除了對所有個例平均的結果進行了分析，還選取了此次臺風事件發展強盛時期的一個個例（8月5日12時）進行了單獨分析。分析的變量分別是700 hPa、500 hPa和200 hPa的位勢高度場H，溫度場T，風場緯向分量U, 經向分量V和地面的降水場。分析的區域為（15°N～64.2°N，70°E～145°E）。

本文著重于給定模式物理過程條件下，時間步長和空間分辨率對于預報效果的影響。首先研究了給定空間分辨率[0.3°×0.3°（經度×緯度）]時，不同時間步長對預報效果的影響。隨后取出空間分辨率為0.3°×0.3°時對應的最優時間步長的預報結果，與目前業務中空間分辨率為 0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的預報結果進行比較。在本文的試驗中沒有使用 GRAPES_MESO中的同化系統，而是直接利用 T213得到區域模式積分的初始場和邊界條件，將 GRAPES_MESO的初始場作為真實場與模式預報的結果進行比較。

本文采用均方根誤差（RMSE）和距平相關系數（ACC）兩個指標，對各變量的預報場和分析場的一致性進行評估。其公式如下：

這里，M代表模式的模擬結果，O代表分析場，N為總的格點數。在計算時，均考慮了格點的權重系數cosα，α為格點的緯度。對于地面降水場采用降水客觀評分方法（Threat Score, TS和Bias Score,BIAS）進行檢驗（黃卓，2001; 王雨，2003），公式為

其中，Af代表模式預報的降水面積，Ao代表實際觀測的降水面積，Ac代表模式預報正確（擊中）的降水面積。TS評分方法是衡量降水預報水平的重要標準，但是容易忽視降水的空報和漏報現象，所以不能準確了解模式降水預報的能力（管成功等，2006）。從圖1b和 1c可以看出，當預報誤差較大（BIAS=2.0）時的TS評分（TS=0.5）要大于預報誤差較小（BIAS=1.0）時的結果（TS=0.3）。聯合公式（3）和（4）來看，出現這種現象的可能原因是，較大的預報誤差會導致較大的預報降水面積，而預報面積增大就會增加隨機預報正確的站點數目，使得預報和觀測的交叉面積增大，進而導致TS評分增大。因此在衡量不同時間步長和空間分辨率對應的模式降水預報能力時，為了結果的客觀公平性，應保證模式的預報降水面積相等，所以考慮對降水預報面積大即預報誤差大的結果進行懲罰，采用TS/BIAS的標準進行檢驗。此外，還利用絕對誤差方法考察了區域平均的模式預報降水總量與實際觀測的降水總量之間的差異。全國降雨檢驗取400個雨量站。使用的實測資料來自全國400個臺站逐日24小時實況降水量。

4 模擬結果分析

4.1 不同時間步長對模擬的影響

空間分辨率為 0.3°×0.3°時，不同時間步長條件下，200、500和700 hPa對應的位勢高度場H，溫度場T，風場緯向分量U和經向分量V的預報的RMSE隨時間的演變如圖2所示。有些時間步長出現未完全積分的情況，這是由于一些極大或極小的時間步長出現了積分不穩定而溢出。最穩定的步長是 120、180和 240 s。從圖2可以很明顯的看出三層的H,U,V以及高層的T均表現出一個共同的特征：隨著時間步長的增加，RMSE逐漸減小；而到了一定的時間步長240 s附近時，這種減小就非常不明顯，誤差曲線幾乎重合，甚至有的還有向相反方向增加的趨勢，這和計算不確定性原理中提到的最優步長理論非常吻合。對于低層的溫度場，其呈現出了相反的規律，這可能是因為模式物理過程與時間和空間分辨率在溫度變量上不匹配有關，需要進一步分析。盡管如此，表1結果顯示，在采用最優時間步長時的預報結果相對時間步長為 120 s時的結果，接近90%的不同高度的變量預報技巧均

有改進。其中，改進最大的是高層的溫度場，其次是位勢高度場，風場U，V的改進相對較小。以上結果說明了最優步長在復雜的偏微分方程組中的存在性，初步表明計算不確定性原理在復雜業務模式中的適用性。ACC的結果表現出同樣的規律（圖略）。結合積分穩定性和統計評分，我們確定最優時間步長為240 s。

圖1 模式預報降水和實際觀測降水呈（a-c）三種極端分布時對應的TS評分和BIAS評分大小。Af代表模式預報降水面積，Ao代表實際觀測降水面積，Ac代表預報擊中的降水面積Fig. 1 (a-c) Values of threat score (TS) and BIAS corresponding to three kinds of extreme distributions of model forecasts and observed precipitation. Af, Ao,and Ac denote the forecast precipitation area, the actual observed precipitation area, and the common area between the two, respectively

圖2 空間分辨率為0.3°×0.3°時，不同時間步長條件下，200、500和700 hPa對應的位勢高度場H、溫度場T、風場緯向分量U和經向分量V的預報場與分析場間所有個例集合平均的RMSE隨預報時間（單位：d）的演變。四列從左至右分別為位勢高度H、溫度場T和U、V風場；三行從上至下分別為200、500和700 hPa。時間步長分別為60、90、120、180、240、300和360 sFig. 2 The RMSE averaged over all case studies between the forecasted and observed geopotential height (H) as a function of forecast time (d) at (a1) 200,(a2) 500, and (a3) 700 hPa. Panels (b1-b3), (c1-c3) and (d1-d3) are the same as (a1-a3), but for temperature (T) and the zonal (U) and meridional (V)components of wind, respectively. Time-step sizes were 60, 90, 120, 180, 240, 300, and 360 s. Spatial resolution was 0.3°×0.3°

表1 空間分辨率為0.3°×0.3°時，將時間步長從120 s替換為240 s后，200、500和700 hPa的位勢高度場（H）、溫度場（T）、緯向（U）和經向（V）風分量的預報場和分析場間的 RMSE變化百分率（正值代表預報改進，負值代表預報下降）。H200、H500和H700分別代表位勢高度場在200、500和700 hPa上的結果，其他變量應用溫度場、緯向和經向風場在200、500和700 hPa上的結果Table 1 Percentage change in the RMSE of forecasts(positive values indicate an improved forecast, negative values a worse forecast) of geopotential height (H),temperature (T), and the zonal (U) and meridional (V)components of wind at 200, 500, and 700 hPa after changing the time-step size from 120 to 240 s. Spatial resolution was 0.3°×0.3°. H200, H500 and H700 represent the result of geopotential height at 200, 500 and 700 hPa,repectively, while other variables represent that of temperature, the zonal and meridional components of wind.

進一步地，為了更清楚地了解這種預報效果隨時間步長的變化，我們對預報誤差隨時間步長的變化做了剖面分析。如圖3所示，和圖2分析的結果類似，預報誤差具有隨時間步長的增大而減小的趨勢，并且這種現象在高層更為明顯。雖然時間步長較小時，離散積分更接近于偏微分方程中對于時間的連續積分，但積分次數的顯著增加，必然導致舍入誤差的增大。而選擇較大的時間步長時又會伴有截斷誤差的相應增大，所以存在最優的時間步長。并且較大或較小的時間步長都容易造成積分不穩定，而最優時間步長也是最穩定的積分步長。

4.2 改變空間分辨率對模擬的影響

GRAPES_MESO不同空間分辨率對于臺風模擬的結果表明高分辨率可以將臺風的螺旋云帶模擬得更為精細（薛紀善和陳德輝，2008），但是是否分辨率越高預報效果越好，仍然需要一個定量的評估。目前GRAPES_MESO業務上采用0.15°×0.15°的空間分辨率和90 s的時間步長。本部分對業務預報結果與空間分辨率為0.3°×0.3°，時間步長為240 s時的預報結果進行比較。如圖4所示，空間分辨率為 0.3°×0.3°時，無論是位勢高度H、氣溫T還是風速U，V，在高中低三層的預報結果都比空間分辨率為 0.15°×0.15°時的預報結果要好。整體來看，相對空間分辨率為0.15°×0.15°時的預報結果，0.3°×0.3°時的預報對位勢高度場的改進是最大的，溫度場其次，風場最小。ACC的結果表現出同樣的規律（圖略）。可以用類似時間步長的原理來解釋，當空間分辨率較高時，模式對差分格式的離散化越逼近連續微分的形式，舍入誤差越大；當空間分辨率較低時，截斷誤差的影響又會加劇，所以空間分辨率提高可能會導致舍入誤差增大進而使預報效果變差。但是我們必須考慮的是區域模式的最本質的目的就是對中小尺度天氣現象的精細模擬，因此能夠令整體預報結果都較為精確的高分辨率才是最優的。

4.3 對降水預報結果的評估

降水預報的正確與否對人類的生產和生活活動更具有現實意義。本部分針對該試驗里不同空間分辨率和時間步長條件下模式的降水預報能力進行了重點評估。

所有個例平均的降水 TS/BIAS值隨時間的變化如圖5所示。針對 0.3°×0.3°時的不同時間步長及業務預報的結果，分別對小雨（≥0.1 mm）、中雨（≥10 mm）和大雨（≥25 mm）三個雨量等級進行了檢驗。由于在該試驗中，模式對于暴雨（≥50 mm）和大暴雨（≥100 mm）預報能力不好，所以略去了對該等級降水的檢驗。從結果可知，當空間分辨率為 0.3°×0.3°時，三個雨量等級降水的TS/BIAS值均隨著時間步長的增大而增大，并且在時間步長為240 s附近變化非常小，這與變量H、T、U和V類似。而且隨著時間步長增加，積分穩定度減小，所以240 s為最優時間步長。空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為 90 s時的業務預報的TS/BIAS值明顯小于空間分辨率為 0.3°×0.3°、時間步長為240 s時的值，表明并非是模式空間分辨率越高，降水的預報效果越好。所有個例平均的觀測降水和模式預報降水間 RMSE隨時間的演化亦表現出了相同的規律（圖略），說明給定物理過程的參數方案，空間分辨率相同時，存在最優的時間步長能夠使得降水預報評分最高、預報誤差最小；空間分辨率不同時，各自最優時間步長對應的降水預報結果，并非是空間分辨率越高時降水預報技巧越高。

圖3 空間分辨率為0.3°×0.3°時，三個垂直層次的各個變量在不同預報時刻的預報場和分析場間的RMSE隨時間步長的變化。四列從左至右分別對應位勢高度場H、溫度場T和U、V風場；四行從上而下分別是預報24、36、48、60 h的結果。空心圓圈實線代表的是200 hPa，實心圓點實線代表的是500 hPa，空心方框實線代表的是700 hPaFig. 3 The RMSE between forecasted and observed geopotential height (H), temperature (T) and the zonal (U) and meridional (V) components of wind at different forecast times and levels as a function of time-step size. Open circles, solid circles, and open squares represent the results at 200, 500,and 700 hPa,respectively. Panels (a1-a4) show H at forecast times of 24, 36, 48, and 60 h, respectively. Panels (b1-b4), (c1-c4) and (d1-d4) are the same as (a1-a4), but for variables T, U, and V, respectively. Spatial resolution was 0.3°×0.3°

為了考察區域平均的預報降水總量與實況降水總量之間的差異，選擇了觀測站點較為稠密的中國中東部（100°E以東）國界內區域進行區域平均。圖6為不同空間分辨率和時間步長條件下，區域平均的預報降水總量與實況降水總量之間的絕對誤差（AE）隨時間的變化。可以看出，當空間分辨率為0.3°×0.3°時，AE隨時間步長的增加而逐漸減小，至時間步長為240 s附近時，這種減小不再明顯，AE增長曲線幾乎重合，同時模式運行穩定性變差，所以存在最優時間步長使得模式降水預報總量的誤差最小，這與位勢高度場H、風速U,V場和溫度場T中的結果是一致的。此外，當空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為90 s時，降水預報總量的AE值要明顯大于空間分辨率為0.3°×0.3°、時間步長為240 s時的AE值，這說明模式的空間分辨率和時間步長之間存在一定的協調關系，并非是模式精度越高，降水總量的預報效果越好。

4.4 個例分析

本文前面分別針對16個個例的位勢高度場H，溫度場T，風場緯向分量U，經向分量V和地面降水場的預報的平均結果進行了整體評估，發現時間步長和空間分辨率之間存在一定的協調關系。下面選取臺風“梅花”發展強盛時期的一個個例，試驗初始時刻為2011年8月5日12時，考察了500 hPa位勢高度場以及地面降水場的預報技巧隨時間步長的變化情況。對于500 hPa位勢高度場，空間分辨率為 0.3°×0.3°的不同時間步長及業務空間分辨率條件下，預報60小時（2011年8月8日00時）后的誤差空間分布呈現在圖7中。從圖中可以很明顯地看出，空間分辨率為 0.3°×0.3°時，預報誤差隨著時間步長的增加而減小，尤其是中國華東至華南一帶，預報誤差從70左右減小到30附近。而到了240 s以后，誤差大小則基本不再變化。從圖7還可以看出，空間分辨率為 0.3°×0.3°，時間步長為240 s時的預報誤差要明顯小于業務上的空間分辨率為0.15°×0.15°，時間步長為90 s時的結果。

圖4 同圖2，但實心圓點實線（空心圓圈實線）代表空間分辨率為0.3°×0.3° (0.15°×0.15°) 和時間步長為240 s（90 s）時的結果Fig. 4 As in Fig. 2, but the solid circles (open circle ) line represents results with a spatial resolution of 0.3°×0.3° (0.15°×0.15° ) and time-step size of 240 s(90 s)

預報 36～60小時累積降水預報誤差的空間分布如圖8所示，當空間分辨率為 0.3°×0.3°時，降水預報誤差隨著時間步長的增大而減小。特別是東北地區，在時間步長為240 s時的降水預報誤差要明顯小于時間步長為60 s時的結果。與空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的降水預報誤差相比較，空間分辨率為 0.3°×0.3°、時間步長為240 s時的誤差明顯減小。圖9為該個例預報與觀測降水間RMSE隨時間的演化，其結果與所有個例平均的結果類似，驗證了最優時間步長的存在，說明了并非是模式空間分辨率越高，降水預報效果越好。

圖10是與該個例預報36～60小時相對應的觀測累積降水量的空間分布，可以看出降水主要集中在東北（區域 D1），膠東半島（區域 D2）至華南（區域 D3）一帶，將雨帶分為三個區域便于定量考察空間分辨率以及時間步長對于模式預報降雨帶和極值的影響。圖11為三個主要降水區域里，空間分辨率和時間步長對于站點平均降水（Stn_ave）和最大降水極值（MaxV）的影響，可以看出觀測的雨帶分布型為膠東半島雨量最大，華南次之，東北最小；最大降水極值位于膠東半島，東北地區極值最小。在空間分辨率為 0.3°×0.3°，時間步長為 60、90和 120 s時，雨帶的分布型為膠東半島最大，東北次之，華南最小，與觀測雨型明顯不符，隨著時間步長增大到180 s后，雨型分布與觀測一致，同時降水極值分布亦與觀測相同。而對于業務中空間分辨率為 0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的預報結果，雨型分布與觀測明顯不同。

圖5 不同空間分辨率和時間步長條件下，地面降水場的TS/BIAS評分結果。(a-c) 分別為小雨、中雨和大雨的檢驗結果。OPER代表空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的檢驗結果。60、90、120、180、240、300和360分別代表空間分辨率為0.3°×0.3°、時間步長為60、90、120、180、240、300和360 s時的檢驗結果Fig. 5 The TS/BIAS scores for surface precipitation at various spatial resolutions and time-step sizes. Panels (a-c) show the results for light, moderate,and heavy rain, respectively. OPER is the result for a spatial resolution of 0.15°×0.15° and a time step of 90 s, while the lines labeled 60, 90, 120, 180, 240, 300 and 360 are the results for those time steps (in s) at a spatial resolution of 0.3°×0.3°

圖6 中國中東部區域平均的預報降水總量與實況降水總量之間的絕對誤差（AE, 單位：mm）隨時間的變化Fig. 6 The absolute error (AE, units: mm) between the forecasted and observed precipitation averaged over east-central China as a function of time (d)

圖12是空間分辨率為0.3°×0.3°，時間步長分別為 60、90、120、180、240、300 和 360 s時的三個區域的站點平均降水的預報誤差，OPER則代表空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的結果，可以看出，空間分辨率為 0.3°×0.3°時，三個區域的站點平均預報誤差均隨著時間步長的增大而減小，說明時間步長越大時，預報降水的雨帶分布型與觀測越為符合，而且這種誤差減小在時間步長達到240 s附近時明顯變緩。當時間步長進一步增大時，積分穩定度下降，所以存在最優的時間步長使得雨帶預報誤差最小；此外，空間分辨率為0.3°×0.3°、時間步長為240 s時的雨帶預報誤差要明顯小于空間分辨率為 0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的結果；圖12亦表明，膠東半島和華南地區的站點平均降水預報誤差隨時間步長的變化較小，而東北地區對時間步長比較敏感，變化較大，說明降水的預報誤差大部分集中在東北地區。

圖7 初始時刻為2011年8月5日12時，預報60小時后（2011年8月8日00時，北京時，下同）500 hPa位勢高度場預報誤差 (單位：gpm) 的空間分布：（a）空間分辨率為0.15°×0.15°和時間步長為90 s時的結果(OPER)；（b-h）分別對應空間分辨率為0.3°×0.3°，和時間步長為60、90、120、180、240、300和360 s時的結果Fig. 7 Spatial distribution of error between the observed and forecasted 500-hPa geopotential height fields (gpm) at a forecast time of 60 h [0000 BT (Beijing time, same as below) 8 August 2011]. Panel (a) is the result for a spatial resolution of 0.15°×0.15° and a time step of 90 s (OPER). Panels (b-h) are the results for a spatial resolution of 0.3°×0.3° and time steps of 60, 90, 120, 180, 240, 300, and 360 s, respectively. The initialization time was 1200 BT 5 August 2011

圖8 同圖7，但是為降水預報誤差(單位：mm)的空間分布情況Fig. 8 As in Fig 7, but for precipitation error (mm)

為了從環流場特征的角度闡明該個例中東北地區降水預報誤差較大的原因，本文考察了位勢高度場與地面降水場之間的配置關系。圖13為 500 hPa位勢高度場的分析場和不同空間分辨率、時間步長的預報場的空間分布（等值線）以及對應時刻的地面降水場的空間分布（陰影），容易看出，500 hPa位勢高度場的分析場中，5840（單位：gpm）脊線位于東北地區上空，其對應的東北地區的觀測降水較少。而對于500 hPa位勢高度場的預報場，與空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的情形類似，當空間分辨率為 0.3°×0.3°、時間步長為60、90、120和180 s時，5840脊線預報的位置偏于海上，此時東北地區的預報降水較大，與實際降水不符；而當時間步長取為240、300和360 s時，5840脊線預報位置與觀測十分相似，均位于東北地區上空，對應的東北地區的預報降水雨量較小，與實際相符。其原因可能是當空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為 90 s時或者空間分辨率為0.3°×0.3°、時間步長分別為60、90、120和180 s時，模式對實際位于東北地區的高壓脊線強度的模擬偏弱，導致模擬的下沉氣流強度偏弱，使臺風云系向東北地區過度延伸，預報雨量偏大。而對于空間分辨率為0.3°×0.3°、時間步長分別為240、300和360 s時，模式對于東北地區高壓脊線的模擬強度與實際觀測相符，此時下沉氣流較強，雨量較小。

圖9 初始時刻為2011年8月5日12時的個例的降水預報場與觀測場間的RMSE（mm）隨時間（單位：d）的演化Fig. 9 The RMSE (mm) between the forecasted and observed precipitation as a function of forecast time (d) in the case study beginning at 1200 BT on 5 August 2011

5 結論和討論

數值天氣預報的模式方程組是一組非線性偏微分方程組，在數值求解過程中會不可避免地要受到截斷誤差和舍入誤差的影響，而這兩種誤差大小依賴于時間步長和空間分辨率的大小。Li et al.(2000，2001)提出了“計算不確定性原理”的概念，研究了舍入誤差對于非線性常微分方程解的影響。本文在前人工作基礎上，利用中國氣象局的GRAPES區域中尺度數值預報系統（GRAPES_MESO）針對700、500和200 hPa的位勢高度場H，溫度場T，風速U,V場和地面降水場等變量，給定模式的物理過程，考察了時間步長和空間分辨率對于模式預報效果的影響，得到以下結論。

圖10 初始時刻為2011年8月5日12時的預報個例中，與預報36～60小時累計降水量相對應的觀測的累計降水量（單位：mm）分布的三個主要區域：東北地區（D1; 40°N～50°N，120°E～130°E），膠東半島（D2; 30°N～40°N，115°E～125°E），華南地區（D3; 20°N～30°N，110°E～120°E）Fig. 10 Three regions of 24-h observed accumulated precipitation corresponding to the forecasted accumulated precipitation (mm) between forecast times of 36 and 60 h: northeastern China (D1; 40°-50°N, 120°-130°E); Shandong peninsula (D2; 30°-40°N, 115°-125°E); southern China (D3; 20°-30°N,110°-120°E). The initialization time of the case study was 1200 BT 5 August 2011

圖11 初始時刻為2011年8月5日12時的預報個例中，三個主要降水區域內（D1，東北地區；D2，膠東半島；D3，華南地區）站點（a）平均降水量（mm）和（b）最大降水量極值（mm）隨時間步長的變化。OBS代表觀測的結果，OPER代表空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的模式預報結果Fig. 11 (a) Station averaged precipitation (mm) and (b) its maximum value as (mm) a function of time steps in the three main rainfall regions (D1,northeastern China; D2 Shandong peninsula; D3, southern China). OBS indicates the observed results, while OPER represents the forecasts based on a spatial resolution of 0.15°×0.15° and a time step of 90 s. The initialization time of the case study was 1200 BT 5 August 2011

圖12 初始時刻為2011年8月5日12時的預報個例中，三個主要降水區域內（D1，東北地區；D2，膠東半島；D3，華南地區）站點平均降水的預報誤差（mm）隨時間步長的變化。OPER代表空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的模式預報結果Fig. 12 Prediction error (mm) of station-averaged precipitation versus time-step size in the three main rainfall regions (D1, northeasternChina;D2 Shandong peninsula; D3, southern China). OPER represents the forecasts based on a spatial resolution of 0.15°×0.15° and a time step of 90 s. The initialization time of the case study was 1200 BT 5 August 2011

（1）當空間分辨率為 0.3°×0.3°時，時間步長的選取對于變量H、U、V、T和地面降水場的預報效果具有明顯影響：隨著時間步長的增加，變量H、U、V和高層溫度場的預報技巧逐漸提高，而到了一定的時間步長240 s附近時這種提高就非常不明顯，甚至有的還有向相反方向下降的趨勢；在對地面降水場的考察中發現，無論是TS/BIAS評分、區域平均的預報降水總量與實況降水總量之間的絕對誤差（AE）還是所有個例平均的降水預報RMSE，均與變量H、U、V、T類似，存在最優時間步長，在240 s附近。初步說明計算不確定性原理中的最優時間步長理論在復雜的偏微分方程組中的適用性。

（2）在相同的試驗配置條件下，將空間分辨率為0.3°×0.3°時對應的最優時間步長（240 s）的預報結果與當前業務中的空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的預報結果比較發現，前者中變量H、T、U、V的預報技巧均高于后者。而且在針對地面降水場的評估中，無論是TS/BIAS評分、區域平均降水總量的絕對預報誤差（AE）還是降水預報誤差（RMSE），也是如此。可見，在本文試驗配置條件下，并不一定是空間分辨率越高，預報效果越好。

圖13 500 hPa位勢高度場（等值線，單位：gpm）以及與其相匹配的地面降水量（陰影，單位：mm）的空間分布。500 hPa 位勢高度場為預報60小時后的結果，地面降水量為預報36～60小時的累計降水量。(a) OBS代表與預報時刻相對應的觀測結果，(b) OPER代表空間分辨率為0.15°×0.15°、時間步長為90 s時的模式預報結果，(c-i) 分別代表空間分辨率為0.3°×0.3°，時間步長為60、90、120、180、240、300和360 s時的模式結果。紅色曲線為位勢高度場5840線。該個例初始時刻為2011年8月5日12時Fig. 13 Spatial distribution of 500-hPa geopotential height field (contours, units: gpm) and the corresponding surface precipitation (color shading, units: mm).The 500-hPa geopotential height field is the forecast result at a forecast time of 60 h, while the surface precipitation is the forecasted accumulated precipitation between forecast times of 36 and 60 h. (a) OBS indicates the observed result, while (b) OPER denotes the operational forecast based on a spatial resolution of 0.15°×0.15° and a time step of 90 s. Panels (c-i) are the forecast results for a spatial resolution of 0.3°×0.3° and time steps of 60, 90, 120, 180, 240, 300, and 360 s, respectively. The red line indicates the 5840 gpm line of the 500-hPa geopotential height field. The initialization time of the case study was 1200 BT 5 August 2011

（3）初始時刻為2011年8月5日12時的個例分析結果表明：空間分辨率為0.3°×0.3°時，500 hPa位勢高度場和地面降水場的預報誤差均隨著時間步長的增大而逐漸減小，在時間步長達到240 s后，這種減小不再明顯，而且在針對地面降水場的評估結果中，觀測場和預報場間的RMSE以及站點平均降水的預報誤差都是在時間步長為240 s附近時較小，同時位勢高度預報場和降水預報場與觀測較為接近，預報技巧較高。此后，隨著時間步長繼續增大，模式運行穩定度變差，說明在該個例里最優時間步長仍然存在；隨后比較了空間分辨率為0.3°×0.3°，時間步長為 240 s時和空間分辨率為0.15°×0.15°，時間步長為90 s時的預報結果，得到與所有個例平均分析中相同的結論。

為了保證模式積分的穩定性，本文依據模式數值求解收斂的必要條件——柯朗條件，將空間分辨率為0.3度時的時間步長分別選取為60、90、120、180、240、300和 360 s，并得到最優時間步長為240 s左右這個結論。在該試驗里，240 s只是最優時間步長的近似值，要想得到其更精確的數值，應該將時間步長的間隔進一步細化。由于本文所關注的問題是最優時間步長的存在性問題，所以對于時間步長間隔的選取較大，而在實際業務應用當中，應該盡量選取較小的時間步長間隔，從而得到與空間分辨率相匹配的最優時間步長的精確值。

另外，本文中的結論均是在給定模式物理過程的條件下得到的。對于模式預報效果的影響，除了計算不確定性原理外，也可能與時間步長和模式物理過程（包括不確定參數）的匹配、模式物理過程和動力框架的相互作用或者三者之間的共同作用有關。對于模式物理過程與時間步長和空間分辨率之間的相互作用，還需要進一步的研究。

最后，本文重點討論了時間步長對于模式預報效果的影響，但由于計算資源的限制，空間分辨率僅僅考慮了 0.15°×0.15°和 0.3°×0.3°時的兩種情形。在未來的工作中，可以考慮選取更多的空間分辨率，重復該試驗，更進一步考察空間分辨率對于模式預報效果的影響。

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