變權組合預測模型在大壩沉降監測中的應用

謝朋朋，黃 騰，劉 陽

（河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京210098）

將幾種單一預測模型進行有效的組合，可以綜合利用不同預測模型的優勢，從而構成具有較高預測精度的組合預測模型。變權組合預測模型是提高預測精度、增強預測模型適用性的有效途徑。本文將線性回歸預測模型和灰色模型GM（1，1）進行變權組合，結合某大壩沉降監測實例來進行大壩位移規律的擬合和預測。

1 變權組合預測模型的建立

變權組合預測模型建立的基本思路，首先根據樣本點數據建立樣本點的組合優化模型，根據某種最優化原則解算各單一模型在樣本點處的最優組合權系數，然后由這些權系數確定各預測模型在預測時點的權系數，從而構造出變權組合預測模型。

記eit為第i個預測模型在第t期的預測誤差，則

其中，Yt表示第t期的實測值。記et為組合預測模型在第t期的預測誤差，則

變權組合預測模型建立的關鍵是組合權重系數的確定，基本原則是保證樣本點處的組合預測誤差最小。確定變權系數的方法有3種：①以相對誤差的最大值達到最小為目標確定最佳變權系數；②以絕對誤差和達到最小為目標確定最佳的變權系數；③以誤差平方和達到最小為目標函數確定最佳變權系數［1］。本文采用第三種方法即以組合預測模型的預測誤差平方和最小為目標函數來得到組合預測優化模型：

對上述模型進行求解，便可得到各預測模型在樣本點處的最優加權系數ωit。

由優化模型可以得到預測模型在樣本點處的最優加權系數，據此得到組合模型在預測時點處的最優組合權系數ωi，m＋j（i ＝ 1，2，…，n；j ＝ 1，2，…，n）。目前，存在多種方法可以確定變權組合模型在預測時點處的最優組合權系數，常用的方法主要有兩種［2］：

由計算過程可知，ωi，m＋j滿足限制條件ωi，m＋j≥此種方法適用于樣本量較少，或者各方法在時點序列上的權系數無明顯規律性的情況。

2）利用回歸法擬合權系數函數W（t），如取W（t）＝b0＋b1t，然后確定各預測時點處的組合預測權系數［3］。

第一步：記第i種預測模型在各樣本點處的最優組合權系數：ωi1，ωi2，…，ωim；

第二步：以ωi1，ωi2，…，ωim為樣本數據，采用回歸模型求取權系數函數Wi（t）；

第三步：利用權系數函數Wi（t），計算t＝m＋j時各預測方法的組合權系數函數值Wi（m＋j）；

2 實例分析

本文選取某大壩12號點2012年1月～2013年6月的監測數據，以2012年1月～2012年10月的監測數據為樣本（見表1）建立模型并預測沉降數值，使用2012年10月～2013年6月的實測數據來進行模型精度的檢驗。在建模之前，采用文獻［4］敘述的方法均已將非等時距序列轉化為等時距序列。

根據觀測數據分別建立線性回歸模型和灰色模型 GM（1，1），得到

從而得到線性回歸模型和灰色模型GM（1，1）在樣本點處的反向預測值，如表2所示。

表1 大壩壩內12號點沉降監測實測數據

表2 模型反向預測值

由此，可得到線性回歸模型和灰色模型GM（1，1）在樣本點處的預測誤差，見表3。

表3 預測模型在樣本點處的預測誤差

由于觀測數據量較少，因此，在確定樣本點處的最優組合權系數時，采用式（1）進行求解，由此便可得到各預測模型在預測時點的最優組合權系數，如表4所示。

表4 各預測模型在預測時點處的最優組合權系數

由此，可得到實測值和各預測模型的預測值見表5，各自預測誤差見表6。

表5 實測值和各預測模型預測值

從表6可以看出線性回歸模型、灰色模型GM（1，1）、變權組合預測模型的預測誤差平方和分別為0.019 1、0.026 5、0.018 3。這表明變權組合預測模型在大壩沉降監測中的預測精度比任一單一模型的預測精度都要高［5-8］。

表6 各模型預測誤差

3 結束語

在變權組合預測模型中權重是隨時間不斷變化的函數，因此預測結果更接近實測結果。結合某大壩的沉降監測實例，論證基于線性回歸模型和灰色模型GM（1，1）的變權組合模型的預測精度比單一預測模型的預測精度要高。因此，利用變權組合預測模型進行大壩沉降預測是可行的。

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