初中數學歸納法教學方法淺探

■ 唐克明

歸納法是初中數學重要的思維方法之一，它和演繹法、類比法、待定系數法、換元法、數形結合法等都歸屬于數學方法性知識。新版的《初中數學教學大綱》對歸納法的掌握提出了明確的要求：要“會用歸納、演繹和類比進行推理”。可見，初中數學教師要重視教學歸納法的教學。

一、實驗建模，讓學生感悟歸納法的思想

關于歸納法的初始教學，筆者認為可采用實驗建模的方法，引導學生做實驗，經歷觀察——歸納——猜想的過程，由感性認識上升到理性認識，讓學生易于理解和接受，從而提高教學效率。請看以下二個實驗。

實驗一：

【實驗過程】

1.準備十盒長方體香煙；

2.按順序將香煙排成立起來的長方體，每兩個長方體間的距離一定，確保前一個長方體倒下，后一個長方體必定倒下；

3.實驗開始，推倒第一個長方體，讓學生觀察結果。從第二個，第三個，……多次重復上述實驗。

【實驗結果】

推倒第n個（n=1或2等），從第n個以后的所有長方體依次倒下。

以上過程，通過引導學生做實驗，觀察香煙倒下的現象，歸納倒下的規律，猜想出一般性結論。像這樣根據某類事物中每一個對象的情況或者根據對某類事物中的一部分對象的情況而作出關于該類事物的一般性結論的方法，叫做歸納法。歸納法實際上要經歷一個觀察——歸納——猜想——論證的過程。初中只要求學生達到猜想層面水平。

實驗二：

【實驗過程】

1.準備一米長的細線和剪刀；

2.將細線對折，剪去一半，提問剩余的是幾分之幾？

3.將余下細線，再對折，剪去一半，提問剩余的是幾分之幾？

4.重復這樣的的過程多次，提問每次剩余的是幾分之幾？

【實驗結果】

第一次剪去一半，實物觀察剩余1/2；第二次剪去余下的一半，剩余四分之一，即（1/2）2；第三次剪去余下的一半，剩余八分之一，即（1/2）3；第四次剪去余下的一半，剩余十六分之一，即（1/2）4；……

根據實驗結果探索規律，教學中首要先讓學生思考：從上面實驗中你能發現什么規律？讓學生經歷觀察——歸納——提出猜想的過程；接下來鼓勵學生推測出“第五次剪去余下的一半，應剩余三十二分之一，即（1/2）5；”然后做做實驗，檢驗猜想的結論是否正確。最后，教師可以根據學生的實際情況，把這個問題進一步推廣到一般的情形。第n 次剪去余下的一半，會剩余（1/2）n；當然，應該認識到這個結論的正確性有待進一步證明（歸納證明將在高中學習）。

以上過程實際上是引導學生做實驗，經歷觀察現象——歸納規律——猜想出一般性結論的過程，這正體現了歸納法思想的精髓。將實驗二的結論，進一步理論分析，次數n很大時，剩余的（1/2）n會很小很小，趨近于零，但又不為零。此即古人所云“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”之理。

二、創設情境，培養學生數學歸納的思維能力

數學思維能力的培養是教學的重要任務之一。歸納法作為一種方法性知識，在教學中應著重培養學生的思維能力。筆者認為，在歸納法的教學過程中，可以借用經典例題和數學趣史，創設情境，激發興趣，開闊眼界，鍛煉智力，增長知識，從而培養歸納思維的能力。下面舉例說明：

例1：（課程標準102頁的例子）

15×15=1×2×100+25=225

25×25=2×3×100+25=625

35×35=3×4×100+25=1225……

教學中可以借用此例，以計算結果和恒等變形為情境，啟發引導學生探索規律，培養學生數學歸納法的思維能力。首先讓學生思考：從上面這些算式的計算中你能發現什么規律？讓學生經歷觀察、比較、歸納、提出猜想的過程；接下來鼓勵學生推測“45×45，55×55 應該是多少，并計算驗證猜想的結果”。最后，教師還可以根據學生的實際情況，把這個問題進一步推廣到一般的情形：若用字母a代表一個正整數，則應有規律（a×10+5）2=a（a+1）×100+25。但這樣的猜想是否正確，需要給出證明：（a×10+5）2=a2×100+2a×10×5+25=a（a+1）×100+25。這是一個由具體數值計算到符號公式表達的過程，即由特殊到一般的過程。這樣，學生充分體驗了觀察——歸納——猜想——證明的思維過程，形成了數學歸納法的思維能力。

三、剖析真題，讓學生領悟中考歸納法的應用難度

縱觀近五年的中考試題，涉及歸納法應用的考題較多。這與課程標準“教師在教學過程中，應該引導學生通過觀察、嘗試、歸納、類比、圖畫等活動發現規律，猜測結論，發展合情推理能力”的要求是一致的。以下通過剖析真題，讓學生領悟中考試題的難易程度。

例1：（2014中考）觀察下列一組圖形中點的個數，其中第1個圖中共有4個點，第2個圖中共有10個點，第3個圖中共有19個點，……

按此規律第5個圖中共有點的個數是（）

A.31 B.46 C.51 D.66

本題考查學生觀察圖形，歸納變化規律，猜想結論，合情推理的能力。檢測了學生數學歸納法的思維水平，在2014年中考10個選擇題中，排在第9，屬于較難題。

分析：由圖可知：其中第1個圖中共有1+1×3=4個點，第2個圖中共有1+1×3+2×3=10個點，第3個圖中共有1+1×3+2×3+3×3=19個點，…由此規律得出第 n個圖有 1+1×3+2×3+3×3+…+3n個點.

解答：

第1個圖中共有1+1×3=4個點，

第2個圖中共有1+1×3+2×3=10個點，

第 3個圖中共有 1+1×3+2×3+3×3=19個點，

…

第 n個圖有 1+1×3+2×3+3×3+…+3n個點。

所以第5個圖中共有點的個數是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46.

故選：B

數學歸納法作為一種方法性知識，無論從應考的角度還是從培養學生思維能力的角度，都具有重要的意義和研究價值。正如法國數學家拉普拉斯所說：“即使在數學里，發現真理的主要工具也是歸納和類比。”這句話充分體現了歸納法在數學思維中的重要作用。