基于漸進結構法的散熱通道構建技術

張林森，丁曉紅，熊　敏

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

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基于漸進結構法的散熱通道構建技術

張林森，丁曉紅，熊敏

(上海理工大學 機械工程學院，上海 200093)

摘要:針對高熱流密度問題，基于漸進結構優化方法的基本原理，構建高效的散熱通道。以熱耗散最小為優化目標，建立傳熱結構數學優化模型；通過敏度計算，將低效單元逐步轉換成低導熱材料；以若干平面和三維薄殼結構的典型算例為對象，得出優化結果，并與密度法所得結果進行對比；結果表明，漸進結構優化方法不僅適用于平面結構，而且適用于三維薄殼結構的散熱通道的構建。

關鍵詞：漸進結構法;散熱通道;拓撲優化

0　引　言

隨著微電子領域對產品性能要求的提高，芯片的集成度不斷增加，電子元器件的熱流密度越來越大，而用于表面對流強化散熱的有效空間越來越小，導致器件內部的熱量不能及時排出，引起內部的溫度過高，從而帶來了致命的高熱流密度問題。因此，為了有效控制電子元器件的內部溫度，需要在器件內部填充高導熱材料，構建高效的散熱通道，將內部熱量導出到器件表面，再通過對流或其它方式將熱量帶走。

構建高效散熱通道的方法有：將固體力學領域的拓撲優化方法SIMP法應用到熱傳導結構的優化設計中[1，2]，定義了材料的密度和熱傳導系數之間的關系，將材料密度作為設計變量，利用懲罰因子減少中間密度單元，通過優化準則法得到最優結果；利用SIMP插值的密度法對熱傳導結構進行拓撲優化分析時[3]，應用高階單元來克服數值不穩定性的現象，并進一步將設計域擴展到三維。由Xie和Steven提出的漸進結構優化方法，通過逐漸去除結構中的低效材料或無效材料，最終使整體結構“進化”到最優形態[4-5]。該方法在最小柔順性設計、特定自振頻率等拓撲優化設計中獲得了較大成功，優化結果不產生中間密度單元，結構清晰，可同時實現形狀與拓撲優化，優化結果更易應用于工程實際。

因此，本文基于漸進結構優化方法的基本原理，以熱耗散最小為優化目標，建立傳熱結構數學優化模型，探討典型邊界問題的平面及三維管壁結構的散熱通道優化，通過與密度法所得優化結果的比較，說明此方法的可行性和通用性。

1　傳熱結構拓撲優化數學模型的建立

圖1 二維熱傳導問題

如圖1所示,在設計區域Ωd內有生熱率載荷Q,存在邊界條件為T0。傳熱結構的拓撲優化問題為:高導熱材料如何在區域Ωd中合理分布,形成高效散熱通道,將區域內的熱量傳遞到邊界。

以熱耗散最小為優化目標的傳熱結構優化數學模型為：

(1)

KT=P

(2)

xi∈0 or 1

式中，xi為離散后的設計變量；E為熱耗散；K為熱傳導矩陣；T為節點溫度列陣；vi為第i個單元的體積；P為熱載荷列陣。

求取目標函數的靈敏度：

由式(1)和(2)可得：

(3)

式(3)兩邊對設計變量xi求偏導得：

(4)

由式(2)和K的對稱性可得PT=TTK，結合式(4)可得

(5)

式(5)為結構總靈敏度。漸進結構優化方法是逐漸去除低效單元，即逐步用低導熱材料填充靈敏度小的單元，從而得到熱傳導的最優路徑。則由總體傳熱矩陣可知單元i由高導熱材料轉變為低導熱材料引起目標函數的變化為：

(6)

式中，Ki為偽密度等于1時的單元熱傳導系數陣；Ti為第i個單元的溫度向量。

2　漸進結構法的熱傳導優化流程

漸進結構法的優化思想是將設計域中低效的高導熱材料逐步地由低導熱材料替換，最終實現整體傳熱結構的優化。編程實現上述思想,流程圖如圖2所示。

(1)設定參數，材料刪除率α，進化率b，建立有限元模型，確定邊界條件；

(2)熱分析；

(3)靈敏度分析；

(4)選擇設計域中的單元，將各單元敏度值與設計域中敏度最大值相比，若小于刪除率α則對單元i去除或弱化，即將單元i從高導熱材料改為低導熱材料。如果刪除率已經達到上限，則進化刪除率a=a+b；

(5)判斷是否達到收斂，如果達到收斂則跳出循環，否則返回步驟(2)，直到達到收斂條件。

圖2 優化程序流程圖

3　數值算例

3.1　平面傳熱結構拓撲優化問題

平面設計域Ωs為1 m×1 m的正方形，熱源的生熱率為Q=3×106W·m-3，熱沉溫度T0=0 ℃，高導熱材料Kp=200 w/(m·k)，低導熱材料K0=1 w/(m·k)，刪除率a=0.5%，進化率b=0.5%，高導熱材料體積約束為50%。

(a)單點熱源

在考慮平面設計問題中，首先探討單點熱源條件下不同的熱沉情況。其設計域Ωs內中心點加熱，圖3(a)為四邊邊界熱沉，圖4(a)為四角熱沉，其余邊界絕熱。圖3(b)、4(b)為優化后結果，圖中黑色區域為高導熱材料，白色區域為低導熱材料。

圖3 中心點發熱-四邊熱沉

圖4 中心點發熱-四角熱沉

圖3和圖4分別為中心發熱-四邊熱沉和中心發熱-四角熱沉的情況，漸進結構法的拓撲形態與密度法拓撲形態基本相同，分別呈“十”字和“X”的形態，高導熱材料主要分布在熱源與熱沉連接的最短路徑上，結構形態合理；但漸進結構法的外圍輪廓更清晰，而密度法外圍輪廓存在中間單元。

(b)多點熱源

其次，對平面內多點發熱、不同熱沉的情況進行探討。多點熱源位置分布如圖5(a)、6(a)所示，分別為中心點及中心點到各邊距離的中點，共計5個點熱源，圖5(a)為四邊邊界熱沉，圖6(a)為四角熱沉，其余邊界絕熱。圖5(b)、6(b)為優化后結果，圖中黑色為高導熱材料，白色為低導熱材料。

圖5 多點發熱-四邊熱沉

圖6 多點發熱-四角熱沉

由圖5(b)所示中心多點發熱-四邊熱沉的情況，漸進結構法優化結果：除中心點外的4個點熱源到邊長最短路徑上充滿材料，且材料主要集中在此處，中心點由中心向集中材料處兩邊相切連接，且中心發熱點與其余四處材料非連接處呈鏤空形態。如圖6所示為中心多點發熱-四角熱沉的情況，優化結果與賀丹[8]在同樣工況下得到的拓撲結果相比，拓撲形態相同，但可以看出本文中的拓撲輪廓相對光滑，這是因為網格劃分相對精細的原因，同樣也說明漸進結構優化方法中，也不可避免存在網格依賴的現象。

(c)均勻產熱

如圖7、圖8和圖9所示設計域內均勻產熱，分別對應于四邊熱沉，四角熱沉和單點熱沉的情況。

圖7 均勻產熱-四邊熱沉

如圖7(b)和(c)所示均勻產熱-四邊熱沉的優化結果，密度法中，低導熱材料部分呈現了一個“X”形狀，漸進結構法的低導熱材料不但有“X”形狀，同時出現“十”字的情況。密度法的高導熱材料主要集中在四邊熱沉中心的位置且到四個角點呈遞減分布，相對于漸進結構法，其高導熱材料分布出現更細小的分枝。

如圖8(b)和(c)所示均勻產熱-四角熱沉的優化結果，無論是漸進結構法還是密度法，低導熱材料的分布都有著明顯的“十”字形態，在漸進結構法中，高導熱材料分布體積約束為50%，高導熱材料主要集中在四角，且分布成了類似于“手”的形狀，密度法中體積約束為30%，高導熱材料形成了形似四棵樹的形狀。

圖8 均勻發熱-四角熱沉

如圖9(b)和(c)所示均勻產熱-單點熱沉的優化結果，高導熱材料主要集中在熱沉點上，從熱沉點出發，形成分支形狀，同樣，密度法會得到更為細小的分支，但同時也會存在中間密度單元。

圖9 均勻發熱-單點熱沉

由以上結果可以得出，從單點熱源、多點熱源到均勻產熱，所得到的散熱通道拓撲形態相應地越來越復雜，傳熱分支也越多；不同的熱源和熱沉邊界條件下，漸進結構法所得的散熱通道有著清晰的邊界，密度法所得散熱通道存在中間密度單元，但密度法與漸進結構法相比，其形成的散熱通道有著更為細小的分支，對于降低結構溫度，均勻化溫度梯度，有著更好的效果。

3.2　三維薄壁管傳熱結構拓撲優化問題

如圖10(a)所示為三維薄壁管狀算例模型，管長l=2 m，外徑R=0.4 m，管壁h=0.05 m，管的外表面有尺寸為s=0.04 m×0.04 m方形熱沉，溫度為T0=0 ℃，管體表面有生熱率Q= 3×106W·m-3，高導熱系數Kp=80 w/(m·k)，低導熱系數K0=0.5 w/(m·k)，材料刪除率a=0.1%，進化率b=0.1%，體積約束為30%。由于管壁尺寸相對于管徑尺寸小很多，因而采用殼單元。

圖10 三維薄壁管狀體結構材料分布變化過程

如圖10所示為優化過程中高導熱材料體積分數分別為80%、60%、30%時的拓撲形態，可以看出在遠離熱沉點的位置材料最先去除，高導熱材料主要集中在熱沉點的周圍，呈鋪開的分支狀，拓撲形態清晰，外圍輪廓也無中間密度單元。圖11為迭代過程中體積隨刪除率的變化關系曲線。圖12(a)為漸進結構法的所得優化結果，與密度法的優化結果相比較，在遠離熱沉點的位置材料分布越少，分支也越細小。在中心熱沉處，密度法的高導熱材料對稱斷裂分為兩部分，而漸進結構法的高導熱材料為一個整體。總之，通過三維薄壁管狀結構熱通道的優化可以看出，漸進結構法同樣適用于三維傳熱結構。

圖11 體積比與刪除率的迭代過程

圖12 三維薄壁管狀體結構在漸進結構法與密度法對比

4　結　論

本文基于漸進結構優化方法，建立了傳熱結構拓撲優化數學模型；通過靈敏度分析，分別就平面問題和三維薄殼問題，考慮不同的熱源和熱沉條件，得到優化結果；并與密度法進行了比較。結果表明，漸進結構法不僅對于二維問題的穩態熱傳導具有有效性，對三維薄殼問題也同樣適用，密度法比漸進結構法形成的散熱通道分支更細小，即密度法在降低結構溫度和均勻化溫度梯度上，具有更好的效果；但采用漸進結構法得到的散熱通道無中間密度單元，具有更好的工程實用性。

參考文獻：

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[3]崔天福.基于密度法的傳熱結構拓撲優化理論研究[D].上海：上海理工大學，2014.

[4]Xie Y M, Steven G P. Shape and layout optimization via an evolutionary procedure[C]. In: Proceedings of the International Conference on Computational Engineering Science, Hong Kong, 1992.

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[7]過增元,程廣新,夏再忠.最小熱量傳遞勢容耗散原理及其在導熱優化中的應用[J].科學通報，2003，(01):21-25.

[8]賀丹.漸進結構優化方法的改進策略及應用[D].大連:大連理工大學,2008.

研制開發

Construction Technology of Cooling Channel Based on

Evolutionary Structural Optimization Method

ZHANG Lin-sen，DING Xiao-hong，XIONG Min

(School of Mechanical Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

Abstract:In this paper, evolutionary structural optimization method is applied to high heat flux problem in order to build efficient cooling channels. The optimization model is established with the target of minimizing heat dissipation in design area. During the optimization process, material of the inefficient elements is gradually changed into low thermal conductive material after calculating element sensitivity. Optimization results of some typical examples with plane or three-dimensional thin shell structure are calculated, which are then compared with results from density method. The comparisons show that, evolutionary structural optimization method is not only applicable to cooling channel design of plane structure but also suitable for that of three-dimensional thin shell structure.

Key words:evolutionary structural optimization method; cooling channel; topology optimization

中圖分類號：TK124

文獻標識碼：A

文章編號：1009-3664(2015)02-0013-04

作者簡介：張林森(1988-)，男，碩士研究生，研究方向：結構優化設計。

基金項目：國家自然科學基金資助項目(50875174，51175347)，上海市教委科研創新重點項目(13ZZ114)。

收稿日期：2014-12-15