從高等代數(shù)中引出的問題

杜偉剛　宋傳寧

摘要：在求解解線性方程組Ax=b中，如果b？埸R（A），那么找范數(shù)最小的最小二乘解是一項(xiàng)重要的工作。從[1]中，我們已經(jīng)知道其解為x=A+b，其中A+稱為A的M-P逆。本文就如何求A+歸納成幾個(gè)常用的方法。

關(guān)鍵詞：矩陣；矩陣的初等變換；M-P逆

中圖分類號(hào)：G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2015）02-0194-02

1 背景介紹

在高等代數(shù)的教與學(xué)的過程中，尤其在講到逆矩陣的時(shí)候，學(xué)生往往會(huì)問，如果矩陣A不是方陣，那么是否有逆矩陣呢？為了讓學(xué)生開闊眼界，也是為了求出解線性方程組Ax=b的最佳解，我們特寫此文以饗讀者。至于M-P逆（稱廣義逆）還有何作用，我們這里就不再詳述了。設(shè)A是復(fù)數(shù)域C上的m×n矩陣，R（A）={Ax|x是C上的n維向量}是A的值域，rank（A）表示矩陣A的秩，A*表示A的共軛轉(zhuǎn)置。滿足下列4個(gè)條件的矩陣X稱為A的M-P逆：（1）AXA=A；（2）XAX=A；（3）（AX）*=AX；（4）（XA）*=XA。由于A的M-P的唯一性，用A+表示，A（i）表示滿足上述第i個(gè)條件的X（不唯一）。由[1]我們知道，對于線性方程組Ax=b：當(dāng)A為可逆矩陣時(shí)，有唯一解x=A-1b。當(dāng)A不可逆，但b∈R（A）時(shí)，即rank（A）=rank（A，b）時(shí)，方程組的范數(shù)最小解為A（1，4）b。當(dāng)A不可逆，但b？埸R（A）時(shí)，即rank（A）+1=rank（A，b）時(shí)，方程組的最小二乘解為A（1，3）b。更進(jìn)一步，在求解線性方程組Ax=b時(shí)，范數(shù)最小的最小二乘解為x=A+b。由此可見，如何計(jì)算A+就非常重要。

2 計(jì)算A+的方法

參考文獻(xiàn)：

[1]王國榮.矩陣與算子廣義逆[M].北京：科學(xué)出版社，1998.

[2]北京大學(xué).高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2005.