淺析公路控制測量中央子午線設計

陳陽亮

(福建省交通規劃設計院 福建福州 350004)

1 概述

公路、鐵路、輸電線路、地下管線等都是帶狀的線路，它們的規劃和設計都是結合國家計劃及實地自然地理情況而優化布設的。在勘察設計過程中的控制測量因線路長、地形起伏較大，不可避免會造成投影變形。在《公路勘測規范》規定:選擇路線平面控制測量坐標系時，應使測區內投影長度變形值滿足1kn邊長小于2.5cm;大型構造物平面控制測量坐標系，其投影長度變形值應滿足1km邊長小于1cm;所以在公路平面控制測量中對中央子午線的設計，應根據測區所處地理位置、高程等因素，合理選擇中央子午線及度帶分段和投影高程面。

2 投影變形和分帶投影

地球是個地表凹凸不平的橢球體，將橢球面上的地物、地貌按一定的數學法則投影到平面上，叫投影。投影后所產生和原來的角度、距離和圖形上的差異，這種差異叫做投影變形。我們平常所用的地形圖一般采用橫切圓柱投影——高斯-克呂格投影，就是設想用一個橫橢圓柱面套在地球橢球體外面，并與旋轉橢球體面上某一子午線相切，相切的子午線稱中央子午線，同時使橢圓柱的軸位于赤道面內并通過橢球體中心，然后將中央子午線附近的旋轉橢球面上的點、線、面投影到橫切圓柱上，再順著過極點的母線，將橢圓柱面展開形成的投影面(圖1)簡稱高斯投影平面。

圖1 高斯投影平面

在高斯投影中，除了中央子午線投影為直線且長度不會發生變化，其余的子午線均為凹向中央子午線的曲線，其長度大于投影前的長度，且離中央子午線越遠長度變形越大。為了控制這種長度變形，使變形滿足1/40000精度允許范圍內，通常采用分帶法投影，即在相隔一定地區另外設立一條中央子午線，以滿足工程建設及施工的要求。我國通常采用6°和3°兩種分帶投影方法，一般來說，對于 1/25000～1/100000的地形圖采用6°帶 ，對于1/10000或更大比例尺的地形圖采用3°帶。

假設某一線路較長，線路可能會穿越多個的投影帶，因為我們知道了越靠近投影帶的邊緣，高斯投影變形就會越大，我們必須采取一定的方法對變形加以限制，采取分帶投影。方法就是通過移動投影帶的中央子午線，將一個投影帶邊緣的線路坐標轉換到另一個投影帶中進行處理計算，從而達到減小變形、將變形控制在允許的范圍之內，并在成果中加以說明。如(圖2)所示，有一條線路穿過兩個3o帶的情況，因為越靠近投影帶的邊緣長度變形越大，所以為了減小長度變形，我們向左適當移動2號帶的中央子午線 x＇，這樣就可以使2號帶邊緣的點通過移動就轉到靠近1號帶中央子午線x的附近，因為這兩個帶有重疊部分，所以這兩個帶之間就存在著共同的幾何關系，由這一幾何關系和相鄰帶的坐標換算就可以計算出該點在1號帶的相應坐標，由此，我們實現了減小線路在投影帶邊緣的長度變形和坐標換算的目的。

圖2

3 由投影改正公式反算測距邊中點的橫坐標

《公路勘測規范》規定:測量距離應按式1-1和1-2分別進行歸化改正和投影改正。

式中:D0——觀測邊長度(m);

D1——歸化改正后的邊長(m);

Rm——參考橢球體在測距邊方向上的法截弧曲率半徑(m);

Hm——測量邊的平均高程(m);

hm——測區大地水準面高出參考橢球面的高差(m);

D2——投影改正后的邊長(m);

Ym——測距邊中點的橫坐標(m);

△y——測距邊兩端點橫坐標的增量(m);

由上兩式可以反求Ym，其中1-1式可以不用，1-2式中的第三項可忽略不計，當投影長度變形值要求小于 2.5cm/km，Ym=45km(Rm取值6365338m)，這就要求在選定中央子午線時，距中央子午線兩邊的距離最大不能超過45km，否則投影長度變形值會大于2.5cm/km，即這個度帶覆蓋的最大范圍為90km，當測區所處位置在北緯26°時(福建省的平均緯度)所覆蓋的經度范圍約為54＇;當投影長度變形值要求小于1cm/km，Ym=28.5km，這就要求在選定中央子午線時，距中央子午線兩邊的距離最大不能超過28.5km，否則投影長度變形值會大于1cm/km，即這個度帶覆蓋的最大范圍為57km，當測區所處位置在北緯26°時(福建省的平均緯度)所覆蓋的經度范圍約為34＇。

4 由歸算測距邊長度公式反算測距邊平均高程與測區平均高程之差

測距邊兩端點平均高程面上的水平距離要歸算到測區平均高程面上的測距邊長度，應按式1-3計算。

式中:D0——測距邊兩端點平均高程面上的水平距離(m);

D——歸算到測區平均高程面上的測距長度(m);

Hm——測量邊兩端的平均高程(m);

Hp——測區平均高程(m);

RA——參考橢球體在測距邊方向上的法截弧曲率半徑(m);

由1-3式可以反算測距邊平均高程與測區平均高程之差(Hp-Hm)，當要求歸算到測區平均高程面上的測距邊長度變形值小于2.5cm/km，(Hp-Hm)=159m(RA取值6365338m)，這就要求測距邊平均高程與測區平均高程之差(Hp-Hm)不能大于159m時，否則歸算到測區平均高程面上變形值會大于2.5cm/km;當要求歸算到測區平均高程面上的測距邊長度變形值小于1cm/km，(Hp-Hm)=64m，這就要求當測距邊平均高程與測區平均高程之差(Hp-Hm)不能大于64m時，否則歸算到測區平均高程面上變形值會大于1cm/km。

由上面兩個反算可以得出如下結論:①當投影長度變形值要求小于2.5cm/km，應根據公路測區長度合理選擇中央子午線，使其兩邊邊緣距中央子午線的距離不超過45km，當測區所處位置在北緯26°時(福建省的平均緯度)所覆蓋的經度范圍約為54＇;當投影長度變形值要求小于1cm/km，應根據公路測區長度合理選擇中央子午線，使其兩邊邊緣距中央子午線的距離不超過28.5km，當測區所處位置在北緯26°時(福建省的平均緯度)所覆蓋的經度范圍約為34＇。②在做公路平面控制設計時，還應考慮測區平均高程，當要求歸算到測區平均高程面上的測距邊長度變形值小于2.5cm/km，測距邊平均高程與測區平均高程之差(Hp-Hm)不能大于159 m，否則就要歸算到測區平均高程面上的測距邊長度;當要求歸算到測區平均高程面上的測距邊長度變形值小于1cm/km，測距邊平均高程與測區平均高程之差(Hp-Hm)不能大于64 m，否則就要歸算到測區平均高程面上的測距邊長度。

5 案例分析

京臺高速公路福建建甌至閩侯、古田至屏南連接線段測區東起東經 119°10＇50″，西至東經 118°21＇00″;北起北緯 27°03＇57″，南至北緯 26°07＇34″。路線主線全長約100 km，橫跨經度 49＇50″(約82 km)。線路在測區內為西北-東南走向，路線范圍內的地面高程在7m～1100m之間，特別地延平區與古田縣交界處、古田縣與閩清縣交界處的地面高程在1000m以上，高差較大。設計線路京臺線建甌至閩侯段平均設計高程約為300m，古田至屏南連接線平均設計高程約為600m。為保證測區所選平面坐標系內投影長度變形值不大于2.5cm/km，根據上述計算所得結論，本線平面控制設計如下:在1980年西安坐標系的基礎上建立京臺線建甌至閩侯段、古田至屏南連接線抵償坐標系，中央子午線采用東經118°45＇(測區邊緣離中央子午線最大橫跨經度為 25＇50″，小于 27＇)，京臺線建甌至閩侯段抵償投影面的高程為300m，古田至屏南連接線抵償投影面的高程為600m。所選抵償投影面的高程雖然不能使歸算到測區平均高程面上的測距邊長度變形值小于2.5cm/km，但從測區的平均高程來看，這是最好的選擇。如遇大型構造物，平面控制測量設計需另外設計，則可按投影長度變形值小于1cm/km進行設計。

總結:在線狀跨區域大的控制測量中，對中央子午線的選取非常重要，如果中央子午線選取不合理，投影的中央子午線就會偏離實際坐標系正確的中央子午線，且離中央子午線越遠，變形就越大，誤差也就越大。

[1]張鳳舉等.控制測量學[M].北京:煤炭工業出版社.2001.

[2]JTG/T C10-2007，公路勘測規范.

[3]彭先進.測量控制網的優化設計.武漢:武漢測繪科技大學出版社.1991.