GPS/INS緊組合導航姿態計算方法選取分析

黃運乾，程鵬飛，成英燕

(1.武漢大學測繪學院，湖北武漢430079;2.國家測繪工程中心，北京100039;3.國家測繪產品質量檢驗測試中心，北京100830;4.中國測繪科學研究院，北京100830)

一、引 言

GPS/INS緊組合導航是一種僅僅依靠GPS原始觀測數據(偽距、偽距率)來和INS數據進行組合導航的一種模式。它的優點在于直接提取衛星接機中偽距、偽距率信息作為觀測量，降低了量測噪聲的相關性，并能在GPS可見衛星數小于4顆的情況下確保一定的導航精度;同時用補償后的偽距、偽距率信息輔助接收機進行衛星捕獲，有助于提高系統的導航精度、魯棒性及抗干擾性能。

在慣性導航系統(INS)中，通過慣性測量單元陀螺和加速度計分別測得載體的角運動和線運動信息，導航計算機根據這些測量信息解算出載體的航向、姿態、速度和位置等導航參數。其中，姿態矩陣的解算相當于建立起數學平臺，姿態矩陣一方面把加速度計的輸出從載體坐標系變換到導航坐標系，然后進行導航計算;另一方面利用姿態矩陣的元素可以提取水平姿態角與航向角信息。姿態矩陣的計算，涉及載體姿態的實時解算，也關系到慣性導航平臺的即時修正，姿態矩陣實時更新的速度和精度對導航系統的性能有著直接的影響，因此姿態更新算法性能的優劣直接影響捷聯慣性導航系統的導航精度，是捷聯慣性導航系統算法的核心。

姿態更新算法有方向余弦法、四元數法等，本文將方向余弦算法和四元數算法應用在GPS/INS緊組合仿真數據處理過程中，并對其結果進行比較，從而選擇一種更適用于GPS/INS緊組合數據處理的姿態更新算法。

二、方法分析

1.方向余弦法

方向余弦矩陣(direction cosine matrix，DCM)用示，為3×3階矩陣，矩陣的列表示載體坐標系中單位矢量在參考坐標系中的投影

DCM表示矢量變換

DCM隨時間變化率

載體系b系相對導航系n系在載體軸系的轉動角速度為

其分量形式為

從上式可看出，方向余弦矩陣求解姿態矩陣時規避了歐拉方程退化的現象，未分方程是線性且非常簡單的，可以全姿態工作，但同時要求解9個一階微分方程，計算量大。

2.四元數法

四元數最早由Hamilton于1843年提出，四元數由1個實數和3個虛數組成，它是四維空間中的一個矢量，但其3個虛數又具有三維空間中的矢量性質。因此，任何三維空間中的一個矢量，都可以看作是一個實部為零的四元數，這個四元數是三維空間中的一個矢量在四維空間中的映象。

四元數是由4個元素構成的數

式中，q0、q1、q2、q3為實數;i、j、k 既是相互正交的單位向量，又是虛數單位。

并由它建立的微分方程組為

上述微分方程組中沒有奇點，因此可以表述載體的所有姿態，同時其約束方程為

三、GPS/INS緊組合模式下的姿態方法選擇

GPS/INS緊組合是一種依靠GPS原始觀測數據(即偽距/偽距率)來進行組合導航的模式。它以INS相對GPS衛星的距離、速度與接收機測量獲得的偽距、偽距率之差作為觀測量，采用Kalman濾波等算法對慣導誤差進行估計，并對慣導進行補償。其算法流程如圖1所示。

圖1 GPS/INS緊組合模式

GPS/INS緊組合導航狀態方程為

一般取15個狀態變量，即

式中，δVx、δVy、δVz為慣導 3 個軸向的速度誤差;δφ、δλ、δh分別為捷聯慣導緯度、經度和高度誤差;δk為游移角誤差;Φx、Φy、Φz為平臺姿態角誤差;εx、εy、εz為陀螺漂移;δρ為接收機鐘偏對應的偽距誤差;δρv為接收機頻漂對應的偽距率誤差。

緊組合模式下，INS計算過程最主要的作用是通過計算姿態矩陣來給出載體的姿態和導航參數，以便將誤差傳遞到濾波過程，并使GPS接收機向INS提供精確的位置和速度信息，輔助并幫助克服INS的長時間漂移誤差積累;INS同時向GPS接收機提供實時的位置和速度信息，輔助GPS接收機內部的碼/載波跟蹤回路，提高GPS接收機的抗干擾能力和動態跟蹤能力。

為了更好地對兩種算法進行評估，應對姿態誤差進行量化，并簡約到幾階以內，可使結果保持在一個較好的精度水平。

1.方向余弦算法計算姿態矩陣誤差

式中，Ck為第k次計算b系相對于n系的方向余弦矩陣;Ak為循環變換間的方向余弦矩陣;σ=為時間間隔內載體的旋轉量，取

對式(10)進行指數項展開為

它的精度評估指標定義為Ddc，Ddc/δt可用來度量計算姿態矩陣的漂移。單一軸旋轉情況下有

角增量(σ)最大值為0.1 rad 和0.05 rad 的情況下，假定載體最大角速度為10 rad/s，分別計算1、2、3、4階下的漂移誤差，可以得到姿態漂移誤差在不同階次使用方向余弦矩陣算法的大小變化，如圖2所示。

圖2 不同階次下方向余弦算法計算的姿態漂移誤差

2.四元數法計算姿態矩陣誤差

當四元數表示的微分方程建立之后，可以通過在給定條件下用數值法來求解。設漂移誤差參數為Dq，其表達式定義為

其中

采用第1種算法在相同參數下，計算使用四元數算法的姿態漂移誤差，可以得到姿態漂移誤差在不同階次四元數算法的大小變化，如圖3所示。

四、結 論

1)通過以上對比分析可以得出，角增量最大值越小，計算的更新間隔越小，得到的精度也越高，這說明減小更新間隔可以得到更好的精度。在考慮軸旋轉條件下，相同舍位階數下四元數方法計算后得到的姿態漂移值要小于方向余弦法得到的結果。比如，同樣計算三階，最大角增量為0.1 rad的情況下，使用四元數算法得到的姿態漂移誤差比方向余弦算法少 6.4°/h。

圖3 不同階次下四元數算法計算的姿態漂移誤差

2)從算法解算方程可以看出，方向余弦算法需要解求9個參數，參數之間有6個約束方程，同時要解9個一階微分方程，計算量大。而四元數所用參數為4個，參數之間有1個約束方程，而且四元數不論剛體處于任何狀態都不會退化，所得到的方程組線性化程度高。因此，在GPS/INS組合導航過程中，四元數方法在適當環境下要優于方向余弦矩陣算法。

［1］周坤芳，李德武，周湘蓉.干擾環境下GPS/INS組合模式的研究［J］.中國慣性技術學報，2004，12(4):24-27.

［2］郭杭，劉經南.GPS/INS組合系統數據處理方法［J］.測繪通報，2002(2):21-23.

［3］陳哲.捷聯慣導系統原理［M］.北京:宇航出版社，1986.

［4］秦永元.慣性導航原理［M］.北京:科學出版社，2006.

［5］李斐，束蟬方，陳武.遙感技術中GPS/INS組合系統的應用［J］.測繪通報，2004(12):1-4.

［6］鄭辛，付夢印.SINS/GPS緊耦合組合導航［J］.中國慣性技術學報，2011，19(1):33-37.

［7］張曉亮.GPS/SINS組合導航系統應用研究［D］.南京:南京理工大學，2013.

［8］GREWAL M，WEIL L，ANDREWS P.Global Positioning Systems，Inertial Navigation and Integration［M］.New York:Wiley，2001.

［9］TITTERTON D H，WESTON J L.Strapdown Inertial Navigation Technology［M］.London:Institution of Electrical Engineers，1997.

［10］WANG C.Development of a Low-cost GPS-based Attitude Determination System［D］.Calgavy:University of Calgary，2003.

［11］ROGERS R M.Applied Mathematics in Integrated Navigation Systems［M］.2rd ed.［S.l.］:American Institute of Aeronautics and Astronautics Inc.，2003.