利用滑動式切比雪夫多項式擬合衛(wèi)星精密坐標和鐘差

2015-12-11 05:57:36高井祥李增科

測繪通報 2015年5期

王興，高井祥，王堅，李增科

(中國礦業(yè)大學國土環(huán)境與災害監(jiān)測國家測繪地理信息局重點實驗室，江蘇徐州221116)

一、引言

在GPS數(shù)據(jù)處理中，需要精確的衛(wèi)星坐標和鐘差，可以利用精密星歷給出衛(wèi)星在空間的三維坐標及衛(wèi)星鐘改正數(shù)等信息獲得，但是精密星歷是按一定的時間間隔(15 min或5 min)給出的［1］。因此，需要使用合理的數(shù)學模型計算出任意時刻的衛(wèi)星坐標。目前，利用精密星歷求衛(wèi)星坐標和鐘差的方法主要有插值法和擬合法兩類，但是在展開級數(shù)較高的情況下，拉格朗日插值法會產(chǎn)生振蕩，而與之相比，切比雪夫擬合法則較為穩(wěn)定。因此，在使用精密星歷對衛(wèi)星坐標和鐘差進行插值過程中，一般多采用切比雪夫多項式擬合法［2］。

對于普通的切比雪夫擬合來說，大部分擬合時刻的點位誤差都比較小，擬合精度高，但是也有小部分的誤差較大。擬合時段的中間部分所得結(jié)果的精度相對來說比較一致，然而，在計算靠近擬合時段兩個端點時刻時，衛(wèi)星的坐標和鐘差會出現(xiàn)數(shù)據(jù)跳躍的現(xiàn)象，使得端點時刻擬合的結(jié)果精度比較低［3］。為了解決這個問題，提高擬合的精度，本文提出了滑動式的切比雪夫算法。

二、切比雪夫多項式

切比雪夫多項式擬合即根據(jù)已知的數(shù)據(jù)擬合出一個多項式函數(shù)，使得這個函數(shù)在已知點的函數(shù)值與給定的函數(shù)值的方差和最小。根據(jù)精密星歷給出的衛(wèi)星坐標，可以擬合出衛(wèi)星坐標隨時間變化的函數(shù)，從而通過這個函數(shù)求出衛(wèi)星在擬合范圍內(nèi)任意時刻的衛(wèi)星位置。

由于切比雪夫多項式只適用于自變量區(qū)間為［－1，1］的情況，因此用n階切比雪夫多項式來逼近時間段［t0，t0+Δt］中的衛(wèi)星星歷時，要先將變量 t∈［t0，t0+Δt］變換為變量 τ∈［－1，1］，即

于是衛(wèi)星坐標(X，Y，Z)的切比雪夫多項式可表示為

式中，n為多項式的階數(shù);Cxi、Cyi、Czi分別為 X 坐標分量、Y坐標分量、Z坐標分量的切比雪夫多項式系數(shù)。

根據(jù)已知的衛(wèi)星坐標，用最小二乘法擬合出多項式系數(shù) Cxi、Cyi、Czi，就可用式(2)計算出該時段中任一時刻的衛(wèi)星位置［4］。切比雪夫多項式Ti的遞推公式如下

三、滑動式切比雪夫算法

所謂滑動式切比雪夫算法，就是不斷地變換擬合區(qū)間，使要插值的點始終處于插值區(qū)間的中心。如第一次選取1～10這10個已知點，生成9階的切比雪夫多項式進行擬合，但是只使用第5個已知點和第6個已知點之間的插值點的結(jié)果，其他點的結(jié)果舍棄不要;第二次選取2～11這10個已知點，生成9階的切比雪夫多項式進行擬合，同樣只使用第5個已知點和第6個已知點之間的插值點的結(jié)果。也就是相當于選定一個長度固定的區(qū)間，然后不斷地讓這個區(qū)間向右移動，每次擬合都只使用處于區(qū)間中心的插值點的結(jié)果。

如圖1所示，矩形內(nèi)的10個點即為已知數(shù)據(jù)點，而矩形可視為插值區(qū)間，陰影部分為使用的插值點結(jié)果，每次插值后，插值區(qū)間隨之向右移動。

圖1 滑動式切比雪夫算法示意圖

由于在已知點中間部分的插值點的精度最好，這樣就使得所有插值點的值都能獲得較高的精度，更大大減少了端點數(shù)據(jù)點附近的插值跳躍現(xiàn)象［5］。因此，這種滑動式切比雪夫的算法與普通的切比雪夫算法相比，精度有所提高，數(shù)值較為穩(wěn)定，不會出現(xiàn)誤差較大的跳躍點，且通過簡單的程序就可以實現(xiàn)，時間耗費不大，對于獲得高精度的衛(wèi)星坐標和鐘差來說很有意義。

四、算例分析

本文采用的已知數(shù)據(jù)是由JAXA提供的2014年4月 3日間隔 5 min的精密星歷，精密星歷qzfg17864.sp3包含了 2014年 4月 3日 0:00至23:55共288個歷元、29顆衛(wèi)星的數(shù)據(jù)，選取PRN號為01的GPS衛(wèi)星分別進行普通的切比雪夫擬合和滑動式切比雪夫擬合，并對比分析其結(jié)果。從各方面衡量，切比雪夫多項式的階數(shù)選為9階時，求得的GPS 衛(wèi)星坐標效果較好［6］。

1.普通的切比雪夫擬合

選取以下10個時段分別進行切比雪夫擬合:1:00—3:15、3:15—5:30、5:30—7:45、7:45—10:00、10:00—12:15、12:15—14:30、14:30—16:45、16:45—19:00、19:00—21:15、21:15—23:30。

在每個時段內(nèi)，選取15 min的倍數(shù)點作為已知點，如在第一個時段內(nèi)，選取 1:00、1:15、1:30、…、3:15這10個點作為已知點，擬合出5 min間隔的插值點坐標和鐘差，并與5 min間隔的精密星歷提供的坐標和鐘差作對比，得出誤差結(jié)果。為便于與滑動式切比雪夫擬合作對比，截取1:00—22:45時間段內(nèi)的坐標和鐘差的插值結(jié)果。

2.滑動式切比雪夫擬合

選取 0:00、0:15、0:30、…、23:45 這些點作為數(shù)據(jù)點，精密星歷給出了0:00—23:55的以5 min為間隔的衛(wèi)星坐標和鐘差，而滑動式切比雪夫擬合要保證每個擬合區(qū)間的前后都有5個數(shù)據(jù)點，如在擬合1:00—1:15時間段內(nèi)的坐標和鐘差時，向左選取0:00—1:00這5個數(shù)據(jù)點，向右選取1:15—2:15這5個數(shù)據(jù)點。因此，以5 min為間隔擬合出1:00—23:45時間段內(nèi)的衛(wèi)星坐標和鐘差，其中，對于數(shù)據(jù)點處的坐標值和鐘差不進行擬合，沿用精密星歷給出的坐標值和鐘差。將結(jié)果與精密星歷提供的坐標和鐘差作對比，得出誤差結(jié)果。