概率加法公式的簡單推導

盛曉偉

摘要：基于兩個事件的概率加法公式，推導出了3～5個事件的概率加法計算公式。通過總結多個事件概率加法公式的一般規律，得到n個事件的概率加法公式。

關鍵詞：概率；加法公式；歸納法

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）04-0163-02

一、引言

正確的給出事件的概率是概率論學中的最基本問題。然而，基于概率加法公式對多個事件和事件概率的計算一直是個難點問題。因此，關于概率論加法公式的推導和應用受到了廣泛的關注。例如在加法公式推導方面，黃斌[1]利用圖示法推導了概率的加法公式，對加法公式給出了一種較直觀的理解方法。在加法公式應用方面，張守平[2]通過對具體例題的講解，對加法公式在使用過程中的一些技巧給出了詳細的說明[3，4]。本文將利用簡單的兩個事件概率加法公式，推導出3～5個事件的概率加法計算公式，通過總結歸納多個事件概率加法公式的一般規律，給出n個事件的概率加法公式，這將有助于學生對概率加法公式的進一步理解。

二、概率加法公式推導

（一）兩個事件的概率加法公式

設A、B為任意兩個事件，則A和B的事件概率可通過下式計算：

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB） （1）

對該公式的證明可見參考文獻[5]。

（二）三個事件的概率加法公式

設A、B、C為任意三個事件，則A、B、C的事件概率可作如下推導：

P（A∪B∪C）=P[（A∪（B）∪C] （2）

令A∪B=T，則式（2）可改寫成如下形式：

P（A∪B∪C）=P（T∪C） （3）

利用式（1）得：

P（A∪B∪C）=P（T∪C）=P（T）+P（C）-P（TC）

=P（A∪B）+P（C）-P（TC）（4）

=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（TC）

又因為P（T∪C）=P[（A∪B）C]=P（AC∪BC），再次使用公式（1）得：

P（AC∪BC）=P（AC）+P（BC）-P（ACBC）

=P（AC）+P（BC）-P（ABC） （5）

結合等式（2）、（3）、（4）和（5）即得三個事件的概率加法計算公式：

P（A∪B∪C）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（AC）-P（BC）+P（ABC） （6）

（三）四個事件的概率加法計算公式

設A、B、C、D為任意三個事件，則A、B、C、D的事件概率可作如下推導：

P（A∪B∪C∪D）=P[（A∪B∪C）∪D]=P（A∪B∪C）+P（D）-P[（A∪B∪C）D] （7）

又因為P[（A∪B∪C）D]=P（AD∪BD∪CD），利用公式（6）得：

P[（A∪B∪C）D]=P（AD）+P（BD）+P（CD）-P（ABD）-P（ACD）-P（BCD）+P（ABCD） （8）

結合等式（6）、（7）、（8）即得四個事件的概率加法計算公式即：

P（A∪B∪C∪D）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）-P（AB）-P（AC）-P（AD）-P（BC）-P（BD）-P（CD）+P（ABC）+P（ABD）+P（ACD）+P（BCD）-P（ABCD） （9）

（四）五個事件的概率加法計算公式

設A、B、C、D、E為任意三個事件，則A、B、C、D、E的事件概率可作如下推導：

P（A∪B∪C∪D∪E）=P[（A∪B∪C∪D）∪E]=P（A∪B∪C∪D）+P（E）-P[（A∪B∪C∪D）E] （10）

又因為P[（A∪B∪C∪D）E]=P（AE∪BE∪CE∪DE），利用公式（9）得：

P[（A∪B∪C∪D）E]=P（AE）+P（BE）+P（CE）+P（DE）-P（ABE）-P（ACE）-P（ADE）-P（BCE）-P（BDE）-P（CDE）+P（ABCE）+P（ABDE）+P（ACDE）+P（BCDE）-P（ABCDE） （11）

結合等式（9）、（10）、（11）可得五個事件的概率加法計算公式，即：

P（A∪B∪C∪D∪E）=P（A）+P（B）+P（C）+P（D）+P（E）-P（AB）-P（AC）-P（AD）-P（AE）-P（BC）-P（BD）-P（BE）-P（CD）-P（CE）-P（DE）+P（ABC）+P（ABD）+P（ABE）+P（ACD）+P（ACE）+P（ADE）+P（BCD）+P（BCE）+P（BDE）+P（CDE）-P（ABCD）-P（ABCE）-P（ABDE）-P（ACDE）-P（BCDE）+P（ABCDE） （12）

（五）n個事件的概率加法計算公式

基于以上推導過程及結論，利用數學歸納法，不難導出有限個事件的概率加法公式：

三、結論

本文我們基于兩個事件的概率加法計算公式，并結合事件的運算法則，得到了3～5個事件的概率加法計算公式。通過分析和歸納推導過程中的一般規律，得到了n個事件的概率加法計算公式。

參考文獻：

[1]黃斌.用圖示法推導概率的加法公式[J].新疆大學學報：自然科學版，2002，（19）：139-140.

[2]張守平.淺談概率中一般加法公式的應用[J].湖北職業技術學院學報，2004，（4）：78-80.

[3]張海永.概率加法公式新定理[J].西南民族大學學報：自然科學版，2010，（4）：544-546.

[4]張健.逆事件公式與加法公式的運用[J].唐山學院學報，2004，（4）：84-85.

[5]盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計[M].北京：高等教育出版社，2008.

Abstract：Based on the additive formula for two events，the additive formula for three，four and five events are derived. By summarizing the general rules in the above derivation，the additive formula for any n events is got.

Key words：Probability，Additive Formula，Inductive Methodendprint