應用隨機模擬試驗進行概率統計研究性學習一例

楊玲香　姚斌

摘要：本文根據概率統計課程的特點，給出了在課程教學中應用隨機模擬試驗進行研究性學習的一個案例，既加深了學生對書本知識的理解，也鍛煉了學生的應用能力。

關鍵詞：模擬試驗；概率統計；研究性學習

中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2015）07-0167-02

概率論與數理統計是大學生必修的公共數學課之一，它是研究隨機現象統計規律性的一門學科，在現實生活中有著廣泛的應用。與其他數學學科不同的是，概率論與數理統計基本概念和思想的深入理解占有極大的比重，解題方法和技巧并不多。而作為概率統計主要研究對象的隨機現象又特別適合進行統計模擬。因此，筆者通過信息技術開展課程研究性學習，利用計算機及相應的編程軟件對隨機現象進行模擬，制作模擬試驗，讓學生親自動手實踐，可以將課程基礎知識直觀化，增加課程的趣味性，加深學生對基本概念的理解，取得良好的教學效果。

一、應用拋硬幣試驗講解概率的頻率定義

在講解隨機事件的概率這一節內容時，涉及到頻率的穩定性講解。課堂開始時，首先讓學生回憶中學物理上有關頻率的定義。同學們很快就異口同聲地說出：單位時間內振動的次數。接著，告訴同學們數學上也有關于頻率的定義，即在相同的條件下將試驗重復進行n次，在n次試驗中，事件A發生了fA次，fA稱為事件在這n次試驗中發生的頻數，而比值Rn（A）=fA/n （1） 就稱為事件A在這n次試驗中發生的頻率。

講解了這個概念以后，可以讓學生來觀察一個簡單的模擬試驗——拋硬幣試驗。在模擬之前，先讓學生想一想，如果拋一枚硬幣多次，觀察正反面出現的次數。那么，正面出現的概率應為多少？學生立馬就能通過直覺及中學所學的簡單概率知識就能答出：0.5。

接著，請某位同學運用拋硬幣試驗軟件進行模擬，讓學生從直觀上感受不同試驗次數時正面出現的頻率。

再接著，我說歷史上有很多著名的學者也都做過拋硬幣試驗。他們做的結果如表1。

顯然，這些學者所做的結果也體現了我們所得出的結論。

有了這些試驗結果做鋪墊，我自然地引出頻率穩定性的概念及概率的頻率定義：當試驗重復次數n很大時，頻率會穩定在某一常數附近，我們稱這個常數為頻率的穩定值，就是我們所求的概率。

頻率方法提供了概率的一個可供想象的具體值，并且在試驗重復次數較大時，可用于給出頻率的一個近似值。這個概念有兩個關鍵部分，一個是試驗的重復次數要足夠大，另一個是要得出頻率的穩定值。

概念里的試驗重復次數足夠大，這是一個很模糊的字眼，到底多少次是試驗次數足夠大，15000次算不算足夠大呢？如果設拋硬幣試驗的n=15000，統計正面出現的頻率，讓學生將這一試驗重復4次，記錄其結果如表2。

而把概率定義成頻率的穩定值，也就是通過頻率來估計概率，可即使在相同的條件下重復多次試驗，得到的頻率值都是不一樣的，這是由隨機性所決定的，但多次試驗時頻率具有一定的穩定性。

這個概念看似簡單，但背后卻隱藏著不少疑點，如果僅僅將概念在課堂上簡單一講便進入到后續內容，學生將會把這些問題遺忘，最終導致課程沒學到位。但這些疑點在本次課程中也無法從根本上解決。因此，課程內容講完后，我便給同學們留了一道家庭作業，就是希望同學們能夠通過所學的VB程序設計語言，自己開發驗證頻率穩定性的拋硬幣模擬試驗，并在實踐中思考概念的疑點。沒想到，在第二次上課時，就有兩組同學主動告訴我已完成了模擬試驗。兩組同學的拋硬幣試驗，雖然基本原理一樣，但有一個學生設計的相對比較簡單，主要是輸入次數，然后顯示正面出現的次數及頻率。另一位同學的界面就相對豐富一些，既包含了上述這些內容，還包含了柱狀圖，餅狀圖等基于統計學的一些表示方法。

一個簡單的模擬拋硬幣試驗在同學們的手中可以變得如此豐富多彩，也讓我看到了學生們的求知欲和渴求創新的火花。但是，對于概念的疑點，同學們似乎都沒有進行深層次的挖掘。

二、模擬試驗引出大數定律，解釋其理論依據

在講到大數定理這一節的時候，我帶領同學們重溫了概率的頻率定義，并請大家思考，這個概念的理論依據是什么？頻率與概率到底有什么關系呢？同學們表現的很沉默。

1000，10000，m=50。為了節省時間，我讓每組同學只做其中一種情況，最后由學習委員匯總大家的結果，后來，我請同學們觀察表中的結果是否有什么規律？很快就有同學說，隨著試驗次數的增大，在多次試驗中，正面出現的頻率與概率非常接近。我馬上接話：不錯，這一現象用數學的語言來描述其實就是著名的伯努利大數定律。

三、中心極限定理給出估計誤差

再次上課時，我便問同學們，上節課給大家布置的散點圖是否具有規律性？有同學說散點圖有點像正態分布的曲線。我接著說，同學們的理解是對的，下面我們就來介紹關于這一現象的棣莫佛—拉普拉斯中心極限定理：

這個關系式給出了用頻率估計概率的誤差。從這個誤差計算公式中可以看出，試驗次數n的大小決定著估計的誤差大小，隨著n的增大，誤差會逐漸減小。可用于解決用頻率估計概率的計算問題。所以在不同的實際問題中，試驗次數n不是固定的，應根據問題對精度的要求來確定n的最小取值。至此，這一概念的疑點才算是徹底解決了。

以往在講解大數定理和中心極限定理的內容時，我們雖然說這些內容是個概率統計的精華部分，但大多數學生都覺得這些只是些枯燥的定理。在講解上，由于學時的壓縮，只有2～4學時的時間。學生學過后都不知所以然，更不用說去解決課程前面遺留的問題。本文運用現代信息技術強大的計算功能，通過編制簡單模擬試驗開展研究性學習，把概率論的內容從教師的模擬、疑問，轉變為學生自己實踐驗證，再到后來的討論，引入新內容，前后聯系，課內與課外相結合，既解決了前面內容的疑問，又加深了后續內容理論基礎。也為學生學習統計學部分打下了堅實的基礎。

參考文獻：

[1]王金紅.大學數學實施研究性學習的若干途徑[J].大學數學，2007，23（4）.

[2]盛驟，謝式千.概率論與數理統計及其應用[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]張麗華，王穎喆.概率論教學的探索與實踐[J].數學教育學報，2010，19（3）.

[4]張淑梅，張唯一.初中“用頻率估計概率”的教學解析[J].數學通報，2010，49（1）.endprint