用數學語言寫就的物理之詩
——重溫傅里葉《熱的解析理論》

■ 葉夢姝

用數學語言寫就的物理之詩
——重溫傅里葉《熱的解析理論》

■ 葉夢姝

【編者語】

熱的作用服從于一些不變的規律，如果不借助于數學分析，就不可能發現這些規律。傅里葉闡明的這個理論的目的就是要論證這些規律：它把熱傳導的所有物理研究都歸結為已經有實驗所給出的那些積分運算問題。

法國物理學家、數學家傅里葉（1768—1830年）的論著《熱的解析理論》是科學史上公認的劃時代經典著作。從研究對象上來看，它突破了牛頓以來所規定的理論力學范圍，開創了數學物理學的嶄新領域；從研究方法上來看，它記載著傅里葉級數與傅里葉積分的誕生經過，被恩格斯和麥克斯韋評為“一首優美的數學的詩”。本書的另一個震撼之處在于其命題的宏大與數學處理的普遍性，傅里葉希望解釋的熱現象是包括大氣、海洋、地殼等在內廣泛的自然熱現象，他希望為這個太陽輻射籠罩的星球上無處不在的熱對流和熱交換建立一個基于數學的統一理論體系。

一、熱學：19世紀物理學的使命

19世紀初時，力學已經發展到了一個較為完善的階段，歐拉和拉格朗日引入了更多數學方法使得矢量力學發展成為了分析力學，并得到了適用于廣義坐標和廣義力的拉格朗日方程，力學研究的范圍大大擴展了。但于此同時，熱學和電學等現象的研究仍然游離于數學方法之外，一方面由于其本質尚未被人類透徹了解，另一方面表達其物理過程的數學模型較為復雜。對于熱學來說，幾個世紀以來，人們一直為熱到底是一種物質還是一種運動而爭論不休。整個18世紀，人們都用熱質說來解釋能量守恒定律、比熱、潛熱等現象，甚至在拉瓦錫的元素列表中，也把熱算作是一種無重量流體。雖然18世紀末時，倫福德和戴維通過實驗向“熱質說”和“燃素說”發起了有力的挑戰，但直到1860年能量守恒及轉化定律建立之前，“熱質說”一直支配著主流的熱學研究。

二、適用于廣泛熱現象的數學規律

傅里葉對熱現象的興趣來源于其對氣候、天氣、天文、潮汐等自然現象的觀察。他在《熱的解析理論》的緒論中聲稱，“和重力一樣，熱貫穿在宇宙間一切物質之中，它的射線充斥于空間的所有部分”，他思考了氣候帶與緯度、海拔、地形、盛行風向的關系，觀察到了太陽輻射引起的空氣的大規模運動，以及不同高度的氣溫差異。但是，他并沒有陷入到對熱本質的糾纏中，也沒有執著于某個熱定的熱現象（當時的觀測資料也不足夠），而是致力于從現象出發建立關于熱的普遍理論，集中解決了熱在非均勻加熱的固體中的分布傳播問題。“當熱貫穿到流體物質中，并在它們之中以不斷改變每一分子的溫度和密度而決定內部運動時，我們能夠用微分方程來表示這樣的復雜作用的規律嗎？流體動力學一般方程中的有效變化是怎樣的”，傅里葉希望“揭示這種元素（熱）所服從的數學規律”，因為熱的理論是“構成物理學的最重要的分支之一”。對于物理學來說，他把物理問題表述為線性偏微分方程的邊值問題來處理，也極具創新。

三、造福后人的數學工具

數學分析是傅里葉的工具。原書題目下面柏拉圖的名言“數控制著火”表明了傅里葉新柏拉圖主義者的身份，他聲稱“數學的分析同自然界本身一樣廣闊” ，早年作為中學數學教員和拉格朗日助教的經歷使得傅里葉對于線性偏微分方程的處理駕輕就熟。為了解析熱的過程，他開創了“傅里葉分析”這一數學分支：即任意函數通過一定的分解，都能夠表示為正弦函數的線性組合的形式，而正弦和余弦函數在物理上是已被充分研究的一類函數，其性質和計算方法都相對簡單。正如傅里葉所說，“對自然的深入研究是數學發現最豐富的源泉”，他從大氣等的熱現象抽象出來的數學問題推動了純數學的研究。現代數學發現，傅里葉變換具有非常好的性質，它既有用、又好用，以至于各學科科研與工程技術中，傅里葉積分和傅里葉變換都是廣泛應用的數學方法。

四、未完成的數學與物理之詩

作為一名理論學家，傅里葉論著的簡潔性、清晰性和普遍性一直為人稱道。他的理論有很強的幾何直觀，每一個數學表達式都有其對應的物理意義。科學史家認為，這與傅里葉廣泛參與社會活動，而非在象牙塔中苦心孤詣有關。傅里葉的科學研究幾乎都是業余完成的，年輕時他曾是一名文學愛好者，后來成為了一名數學助教，而后從政，以埃及研究院秘書的身份隨拿破侖遠征埃及，并作為地方行政長官歷經多次宦海沉浮，年近半百才到科學院任職，有時間專心完成學術專著。

傅里葉對熱現象的研究并沒有隨著《熱的解析理論》一書的出版而畫上句點， 大氣的熱現象持續吸引著這位科學家的好奇心，使他成為了大氣層保溫效應的發現者。在閱讀了洪堡的《論等溫線的溫度報告》后，傅里葉計算出，一個物體，如果有地球那樣的大小，以及到太陽的距離和地球一樣，如果只考慮入射太陽輻射的加熱效應，那它應該比地球實際的溫度更冷。傅里葉猜測，是星際輻射或者地球的大氣層的隔熱作用使得大氣保持了現在的溫度。事實上，他原計劃將他對熱的相關研究的物理工作也擴充成一本書，名為《熱的物理理論》，這也是他晚年一直鉆研的問題。此書或許能對《熱的解析理論》中未能充分討論的熱的動力效應進行解釋，大氣熱力學和動力學的發展歷史或許能夠改寫。然而傅里葉于1830年溘然長逝，本書最終未能完成，在科學史上留下了永恒的遺憾。