提高思維含量 深化數(shù)學(xué)思考

劉發(fā)昌 張冬蘭

摘要：“數(shù)學(xué)思考”是數(shù)學(xué)課程四大目標(biāo)之一。教師要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)思考”的探索活動，就得提高“問題”、“材料”、“操作”、“習(xí)題”的思維含量，使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，養(yǎng)成數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣。

關(guān)鍵詞：思維含量；數(shù)學(xué)思考

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：B 文章編號：1674-9324（2015）05-0235-02

現(xiàn)代教育理念把“數(shù)學(xué)思考”列入數(shù)學(xué)課程四大目標(biāo)之一。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》總目標(biāo)中指出：“學(xué)生能運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考”。在專項(xiàng)目標(biāo)中對“數(shù)學(xué)思考”作了具體闡述：建立數(shù)感、符號意識和空間觀念……學(xué)會獨(dú)立思考，體會數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式。用著名學(xué)者鄭毓信教授的話來講，數(shù)學(xué)教學(xué)就是通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考。作為教師，應(yīng)透過“熱鬧”的表面對課堂進(jìn)行理性分析，努力提高課堂教學(xué)的思維含量，深化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。

一、提高“問題”思維含量，引發(fā)數(shù)學(xué)思考

問題是數(shù)學(xué)的“心臟”，是課堂教學(xué)的“課眼”，也是課堂教學(xué)的主線。有效的問題具有引領(lǐng)、導(dǎo)向的作用。而問題的有效性很大程度就是看它含有多少數(shù)學(xué)思考的內(nèi)涵，能否引發(fā)不同層次學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。例如，教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時，我將導(dǎo)入問題情境稍作改編：

兩個問題情境都直接指向數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)：不同走法的路線圍成三角形，不同走法的路程分別是三角形的一條長邊和另兩條短邊之和，這樣的情境有利于引導(dǎo)學(xué)生將“路程問題”抽象成“三角形三邊關(guān)系”問題，啟發(fā)學(xué)生對“三角形三邊長度關(guān)系”的思考。

進(jìn)一步分析對比，我們發(fā)現(xiàn)改編后的問題情境思維含量更高。第一，外延大。兩個核心問題：走哪條路最近？走哪條路最遠(yuǎn)？迫使學(xué)生進(jìn)行兩次比較：第一次是大三角形的長邊與兩條短邊之和作比較；第二次是小三角形的長邊與兩條短邊之和作比較。通過一大一小兩個三角形的呈現(xiàn)，學(xué)生必然思考：是不是所有三角形三邊之間都存在這樣關(guān)系呢？滲透從具體到一般的數(shù)學(xué)思想方法。第二，問域?qū)挕Ｕ疹櫟讲煌瑢哟螌W(xué)生差異發(fā)展。思維水平較低的學(xué)生會思考“走哪條路最近”的問題，而思維水平較高的學(xué)生還能思考“走哪條路最遠(yuǎn)”問題，通過匯報交流產(chǎn)生思維碰撞，使不同層次學(xué)生都能得到不同的發(fā)展。第三，挑戰(zhàn)性強(qiáng)。原情境中的問題，學(xué)生憑生活經(jīng)驗(yàn)或視覺直覺（直路最近）就能即問即答。而改編后的問題，學(xué)生必須通過獨(dú)立思考或同伴互助才能做出相應(yīng)的回答。

可見，“問題”思維含量的高低，決定學(xué)生數(shù)學(xué)思考的廣度和深度。提高“問題”思維含量，應(yīng)抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，使問題直接指向教學(xué)中的主要矛盾，可以從知識的連接點(diǎn)、教學(xué)的重難點(diǎn)、學(xué)生疑惑點(diǎn)、數(shù)學(xué)思想的聚焦點(diǎn)等方面設(shè)問，豐富問題內(nèi)涵，拓寬問題的外延，實(shí)現(xiàn)以“問”引思，激發(fā)不同層次的學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考。

二、提高“材料”思維含量，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，數(shù)學(xué)知識具有高度抽象性和概括性，而小學(xué)生以形象思維為主，其認(rèn)知活動需要直觀材料作支撐。合理開發(fā)、精心制作學(xué)具材料要以思維含量的高低為衡量標(biāo)準(zhǔn)。例如，“三角形的三邊關(guān)系”這課，書中展示的學(xué)具材料是三組不同長度的“紙條”。仔細(xì)分析，用“紙條”圍三角形，探索三邊關(guān)系有一定的局限性。請看我自制的學(xué)具材料：

①黑線段：

②紅線段：

制作方法：分別用紅黑句號筆在有刻度的透明軟墊板沿邊畫線段，根據(jù)需要的長度剪成長條形。

并引導(dǎo)學(xué)生對“材料”進(jìn)行如下剪拼：

1.剪一剪：

①拿出兩條黑線段，引導(dǎo)思考：圍成三角形要3條線段，只有2條怎么辦？（生：剪其中一條）

②為了研究方便，只剪整厘米數(shù)，記住自己剪的是長線段還是短線段？

2.圍一圍：注意端點(diǎn)相連，圍在展板上，用磁扣扣好，看是否圍成了三角形？

3.再剪圍：拿出紅線段剪，要求：如果剛才剪長（短）線段，這次剪短（長）線段。

4.展一展： ……

不管是紙條還是線段，其目的都是為了生成“圍成”與“圍不成”素材，為進(jìn)一步觀察、探究提供物質(zhì)基礎(chǔ)。但自制的學(xué)具材料具有獨(dú)特、豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。第一，動態(tài)化。原材料的數(shù)據(jù)是給定的、固定的，而自制的材料通過學(xué)生動手剪，動態(tài)生成不同的數(shù)據(jù)，因此也比原材料更加開放。第二，精細(xì)化。原材料是紙條，改編后是線段。在實(shí)際操作中，因紙條有一定的寬度，當(dāng)它們的長為5、7、12這種情況時，很難用眼睛看出“圍不成”的現(xiàn)象，而線段精確、細(xì)小，減小了誤差，避免了視覺上的錯覺。第三，隱含數(shù)形結(jié)合思想。自制的線段是畫在有刻度的軟墊板上，數(shù)形結(jié)合，學(xué)生很容易從數(shù)據(jù)上去分析“圍成”與“圍不成”的原因。

可見，運(yùn)用于數(shù)學(xué)操作的材料不同于工藝材料，不追求外表華麗，而講究“數(shù)學(xué)味”。提高“材料”的思維含量，應(yīng)從知識內(nèi)容特點(diǎn)，可操作性、數(shù)學(xué)思想、教學(xué)細(xì)節(jié)等多方面考慮，使得通過材料的操作推動學(xué)生進(jìn)行分析、綜合、比較、抽象、概括，深刻理解知識的本質(zhì)意義。

三、提高“操作”思維含量，學(xué)會數(shù)學(xué)思考

數(shù)學(xué)課堂，要引領(lǐng)學(xué)生親身經(jīng)歷將操作經(jīng)驗(yàn)內(nèi)化為數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就得充分調(diào)動學(xué)生的手和腦，手腦并用，讓外顯的動作與內(nèi)隱的思維緊密結(jié)合，使操作活動成為思維的動作和動作的思維。

例如，“平行四邊形面積”的教學(xué)，開始學(xué)生所暴露出來的原生態(tài)思維是：底×鄰邊=平行四邊形面積，學(xué)生很難想到將它沿高剪拼成長方形來計(jì)算的轉(zhuǎn)化方法。為了突破這一難點(diǎn)，我引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行如下操作、思考：

1.拉一拉。

①實(shí)踐：捏住平行四邊形模型的兩個對角，往外拉一拉。

②想象：如果把每次拉動后的平行四邊形拍下來，比較這幾個平行四邊形，什么沒有發(fā)生變化？什么發(fā)生了變化？

③交流：（媒體呈示拉動后的平行四邊形圖形）

……

生1：周長沒有變。

生2：底和鄰邊長度不會變。

生3：面積變小了。

師追問：既然面積變了，那你們剛才的猜想：底×鄰邊=平行四邊形面積，還成立嗎？

2.作高。

①實(shí)踐：在作業(yè)紙上分別作出它們的高，觀察高有什么變化？

……

②思考：面積為什么變小？面積的大小可能與平行四邊形的什么有關(guān)？

生1：平行四邊形面積可能與高有關(guān)。

生2：平行四邊形面積可能等于底乘高。

……

3.計(jì)算。

師：想辦法計(jì)算平行四邊形的面積，驗(yàn)證你的猜想。

……

案例中，我抓住了知識的生長點(diǎn)，順著學(xué)生思維開展操作活動。在操作中，通過啟發(fā)想象、組織交流、點(diǎn)撥追問，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)自己所想的與操作結(jié)果不一樣，思維產(chǎn)生矛盾沖突。此時學(xué)生處于“心求通而未得，口欲言而未達(dá)”的憤悱狀態(tài)。再引導(dǎo)學(xué)生分別作出它們的高，觀察拉動平行四邊形過程中高的變化規(guī)律，學(xué)生自然調(diào)整猜想：平行四邊形的面積可能與底和高有關(guān)系。再讓學(xué)生計(jì)算平行四邊形的面積時，由于學(xué)生只學(xué)過長方形的面積計(jì)算，學(xué)生想到“沿高剪拼成長方形”來計(jì)算，可謂是水到渠成了，學(xué)生不僅“知其然而且知其所以然”。

提高“操作”思維含量，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握教學(xué)難點(diǎn)，加強(qiáng)操作前、操作中、操作后的啟發(fā)、點(diǎn)撥、交流活動，使操作活動始終與數(shù)學(xué)思考有機(jī)結(jié)合，通過動態(tài)操作引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，實(shí)現(xiàn)以操作啟迪思維，以思維引領(lǐng)操作。

四、提高“習(xí)題”思維含量，內(nèi)化數(shù)學(xué)思考

習(xí)題與例題一樣，既承載鞏固知識、形成技能的功能，也有為學(xué)生積累基本的活動經(jīng)驗(yàn)、明晰數(shù)學(xué)基本思想、鍛煉思維的價值。但長期以來，因習(xí)題以靜態(tài)的測試形式呈現(xiàn)，許多教師、學(xué)生僅滿足“做題”的層面，使得習(xí)題功能弱化，教材意圖不能凸顯。

提高“習(xí)題”的思維含量，就是要透過“做題”表面，挖掘習(xí)題背后隱藏的思維內(nèi)涵為學(xué)生所用，通過習(xí)題內(nèi)化學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，發(fā)展學(xué)生思維。

教學(xué)中，我不再停留在就題論題的層面上，而是通過有序呈現(xiàn)和巧設(shè)不完整結(jié)構(gòu)，給學(xué)生提供更廣闊的探索、思考空間，不僅深化乘法意義的理解，還培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和估算意識。

《新課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“獨(dú)立思考、學(xué)會思考是創(chuàng)新的核心”。沒有數(shù)學(xué)思考，就沒有真正意義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。教師要引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷“數(shù)學(xué)思考”的探索活動，就得提高“問題”、“材料”、“操作”、“習(xí)題”的思維含量，使學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)思考，養(yǎng)成數(shù)學(xué)思考的習(xí)慣。